《微分几何》课程教学大纲

1、微分几何课程教学大纲一、课程概况所属专业:数学与应用数学开课单位：数学计算机科学学院课程类型:专业方向课程课程代码:07411130开课学期:5学分：3学时：51核心课程:是拟使用教材：1、陈维桓. 微分几何初步. 北京大学出版社.2013.国内(外)现有教材：1、梅向明,黄敬之. 微分几何. 高等教育出版社. 2010.2、彭家贵, 陈卿. 微分几何. 高等教育出版社. 2010.学习参考资料1、Do Carmo M. Differential Geometry of Curves and Srufaces. Prentice-Hall.1976.2、Millman R S, Parker

2、G D. Elements of Differential Geometry.Prentice-Hall.1977.二、课程描述本课程是数学与应用数学专业的核心课程，与其它一些数学课程如：分析学、代数学、微分方程联系紧密。课程的主要内容是以微积分和线性代数为工具研究三维空间中曲线和曲面的几何形状，这里最重要的是刻画几何体的弯曲，找到决定曲线和曲面几何形状的完全不变量系统。通过课程的教学，一方面要使学生掌握微分几何的一些基本概念、理论和方法，能熟练地运用微积分和线性代数工具解决几何问题。另一方面也要培养和提高学生对于几何图形的直观和想象能力、具体到抽象的能力以及理论联系实际的能力，为进一步学习微

3、分流形等后继课程打好基础。三、课程目标理解和掌握曲线弧长、曲率、挠率等概念及相关的计算方法。理解和掌握Frenet-Serret公式以及曲线论的基本定理，并能以此为工具研究曲线的几何性质。理解和掌握掌握曲面的第一基本形式和第二基本形式的概念及计算方法。理解和掌握曲面上各种不同类型曲率和三种特殊曲线（渐近线、曲率线、测地线）的概念及计算方法。理解曲面几何中外在和内蕴的区别，了解内蕴的本质。理解和掌握曲面论基本定理并能加以应用。理解和掌握内蕴几何中一些基本的概念，如：等距对应、协变导数、平行移动、测地线等，能对测地曲率和Gauss曲率进行内蕴计算。理解和掌握Gauss-Bonnet定理，并能加以应

4、用。培养和提高空间思维和几何直观想象能力，熟悉若干经典曲线和曲面的几何形状和几何性质。培养和提高多种数学工具综合运用的能力。培养和提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。四、教学要求微分几何是以微积分和线性代数为主要工具研究空间曲线和曲面几何形状的一门数学课程，这里最重要的是刻画几何体的弯曲，找到决定曲线和曲面的完全不变量系统。教学中教师应实行启发式，课堂讲授做到重点突出，将曲线和曲面的附属标架场放在中心地位，在语言叙述上尽可能与流形上的几何学统一，为学生进一步学习现代微分几何做好准备。同时对于若干经典曲线和曲面，课堂教学中可结合多媒体进行演示，适当保持抽象概念和具体事实的均衡。学生在学习本课

5、程中应着重体会如何运用微积分和线性代数等数学工具刻画曲线和曲面的弯曲，掌握微分几何的一些基本概念、理论和方法，深刻理解课程的一些重要数学思想，并能灵活运用。课堂学习中应积极与授课教师进行教学互动，同时利用课余时间做好预习、复习、阅读相关文献资料等工作，主动与同学开展合作学习，认真完成任课教师布置的课程作业。五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：出勤率占10%，点到不少于3次，其中缺席1次，按无成绩计算；随堂测验1次，测验成绩按10%折算后计入总成绩；课程作业按批改成绩10%折算后计入总成绩；教师随堂检查学生课堂笔记记录情况并打分，按10%计入总成绩；期末闭卷考试，按卷

6、面成绩60%计入总成绩。六、课程内容第一章：预备知识（授课时间：第五学期第一、二周）教学目标：熟练掌握学习本课程的必备知识，同时初步了解微分几何的教学要求和学习方法，为曲线论和曲面论的学习做好准备。教学重点：线性空间的基、线性映射的矩阵表示、中的欧式变换、中内积、外积和混合积的计算、拓扑空间及拓扑不变性质、向量值函数及其分析性质。教学难点：中的欧式变换的概念及分类、拓扑空间的连通性和紧致性、向量值函数的可微性、反函数定理。学时：课堂教学8学时，课外自主学习时间不少于5学时教学方法：讲授法主要内容：（1）线性空间的概念；（2）线性映射的概念及矩阵表示；（3）内积空间的概念；（4）中的欧式变换；（

7、5）中内积、外积和混合积的计算；（6）拓扑空间及连续映射；（7）连通性和紧致性；（8）向量值函数的连续性和可微性。学习方法：课堂听讲、课后复习、小组讨论课后作业：完成下列练习题，并在第三周课前提交。1.混合积的符号有何意义？2.用分析学的方法证明中的欧氏变换必为正交变换和平移的复合。3.证明二维平面上的单位圆周取的相对拓扑时是连通的。4.判断欧氏空间与球面是否同胚，并说明理由。第二章：曲线论（授课时间：第五学期第三、四周）教学目标：掌握正则参数曲线以及容许参数变换的概念，能熟练计算曲线的弧长、曲率和挠率，灵活运用Frenet-Serret公式研究曲线的几何性质，掌握曲线论的基本定理。教学重点：

8、正则参数曲线的概念、曲线的弧长参数化、曲率和挠率的概念及计算方法、Frenet-Serret标架的概念及计算方法。教学难点：Frenet-Serret公式的推导与应用、曲线论基本定理及其应用。学时：课堂教学6学时，课外自主学习时间不少于4学时教学方法：讲授法主要内容：（1）正则参数曲线的概念；（2）曲线弧长、曲率、挠率的概念及计算；（3）Frenet-Serret标架的概念及计算；（4）Frenet-Serret公式的推导及应用；（5）曲线论基本定理。学习方法：课堂听讲、课后复习、小组讨论课后作业：完成教材第33页练习题1（1）、（2），第41页练习题1（2）、（3），第42页练习题7，第47

9、页练习题1、5，第48页练习题9、11，第55页练习题1，并在每周第一次课前提交。第三章：正则曲面（授课时间：第五学期第四至第六周）教学目标：掌握正则曲面的概念以及正则曲面在一点的切平面和正则曲面上的光滑映射在一点微分的概念，能熟练地计算正则曲面的第一基本形式，并由此处理曲面上一些简单的度量问题。教学重点：正则曲面的概念、曲面的切平面、曲面上的光滑映射及其微分、曲面第一基本形式的概念及计算。教学难点：切平面上的自然基、曲面上光滑映射微分的计算、利用第一基本形式求解曲面上曲线的弧长、夹角及区域的面积。学时：课堂教学10学时，课外自主学习时间不少于7学时教学方法：讲授法主要内容：（1）正则曲面的概

10、念和例子；（2）正则曲面上的光滑映射及光滑同胚；（3）正则曲面的切平面；（4）正则曲面上光滑映射的微分；（5）第一基本形式的概念、计算及应用。学习方法：课堂听讲、课后复习、小组讨论课后作业：完成教材第89页练习题7，第95页练习题3、5，第104页练习题1、2，第105页练习题7、8，并在每周第一次课前提交。第四章：曲面的外在几何学（授课时间：第五学期第七至第九周）教学目标：掌握曲面外在几何的有关概念，如：Gauss映射、Weingarten变换、第二基本形式、法曲率、主曲率、主方向、Gauss曲率、平均曲率等，理解这些概念的几何意义，并能熟练利用曲面的参数表示进行计算。研究几种特殊的曲面全脐

11、曲面、可展曲面和极小曲面，掌握它们的概念和几何性质。教学重点：Gauss映射的概念及计算、Weigarten变换的概念及计算、第二基本形式的概念及计算、曲面法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率的概念及计算、曲面渐近线和曲率线的概念及计算。教学难点：Weigarten变换的几何意义及矩阵表示、曲面上几种曲率的几何意义及相互关系、渐近线和曲率线的几何意义及计算、利用外在几何的理论研究全脐曲面、可展曲面和极小曲面的弯曲性质。学时：课堂教学12学时，课外自主学习时间不少于8学时教学方法：讲授法主要内容：（1）Gauss映射的概念和几何意义；（2）Weigarten变换的概念、几何意义及矩阵表示；（

12、3）曲面第二基本形式的概念和计算；（4）法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率的概念、几何意义和计算；（5）渐近线和曲率线的概念、几何意义和计算；（6）全脐曲面的分类；（7）可展曲面和极小曲面的性质。学习方法：课堂听讲、课后复习、小组讨论课后作业：完成教材第136页练习题1（1）、（2），第137页练习题5、第148页练习题1、4，第157页练习题1、6，第158页练习题7，第166页练习题2、5，第175页练习题3、6，第190页练习题1，第191页练习题4（1），并在每周第一次课前提交。第五章：曲面的内蕴几何学（授课时间：第五学期第十至十七周）教学目标：体会曲面内蕴性质和外在性质的区别，

13、掌握等距和共形的概念，理解内蕴性质在等距对应下保持不变。掌握曲面自然标架的运动方程以及曲面的Gauss方程和Codazzi方程，并由Gauss方程推导Gauss绝妙定理，充分理解这一结果的深刻理论意义，掌握曲面论的基本定理。通过协变导数的学习，掌握平行移动和测地线的基本概念、基本性质，理解它们是平面上平行移动和平面上直线在一般曲面上的推广。掌握Gauss-Bonnet定理（包括局部形式和整体形式），并能进行相关应用。教学重点：等距对应和共形映射的概念及几何意义、曲面自然标架的运动方程、曲面的Gauss方程和Codazzi方程、曲面论基本定理、Gauss绝妙定理、协变导数的概念和性质、测地曲率的

14、概念和几何意义、测地线的概念和性质、Gauss-Bonnet定理。教学难点：内蕴和外在的区别、理解等距的曲面具有相同的内蕴几何性质、曲面Gauss方程和Codazzi方程的推导、Gauss绝妙定理的的理论意义、曲面论基本定理的理论意义、协变导数的计算、测地曲率的计算、测地线的方程、Gauss-Bonnet定理及应用。学时：课堂教学15学时，课外自主学习时间不少于10学时教学方法：讲授法主要内容：（1）等距对应和共形映射；（2）曲面自然标架的运动方程；（3）曲面的Gauss方程和Codazzi方程；（4）Gauss绝妙定理；（5）曲面论基本定理；（6）协变导数；（7）平行移动和测地线；（8）Gauss-Bonnet定理。学习方法：课堂听讲、课后复习、小组讨论课后作业：完成教材第126页练习题1，第