2023年福建省龙岩市第九中学高三数学文下学期期末试题含解析

1、2023年福建省龙岩市第九中学高三数学文下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为（）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】展开，利用向量的数量积公式，解得，进而求解的值.【详解】因为，解得，由，得，所以故选D【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及向量的夹角，考查了运算求解能力；在解题时要注意两向量夹角的范围是.2. 在等比数列an中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a8+a9=（）A128B128C256D256参考答案：C【考点】等比数列的性质【专题】计算

2、题【分析】将已知两等式相除，利用等比数列的性质化简，求出q2的值，将所求式子提取q4，利用等比数列的性质变形后，将q2的值及a4+a5=16代入计算，即可求出值【解答】解：a2+a3=4，a4+a5=16，=q2=4，则a8+a9=q4（a4+a5）=1616=256故选C【点评】此题考查了等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键3. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）A. （1,+） B. 4，8） C. （4，8） D. （1，8）参考答案：B4. 给出右面的程序框图，那么输出的数是( ) A2450 B2550 C5050 D4900参考答案：A略5. 在极坐标系

3、中，圆=-2sin的圆心的极坐标系是A. B. C. (1,0)D. (1，)参考答案：B【详解】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,，圆心坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.6. 在ABC中，若a=2，b=2，A=30，则B为（）A60B60或120C30D30或150参考答案：B【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B【解答】解：由正弦定理可知=，sinB=B（0，180）B=60或120故选B【点评】本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系属于基础题7. 已知等差

4、数列an中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A100B210C380D400参考答案：B【考点】等差数列的通项公式【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果【解答】解：d=，a1=3，S10=103+frac10942=210，故选B【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解8. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）A. B. C. D. 参考答案：D设,则，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.9. 设变量a，b满足约束条件：若za3b的最小值

5、为m，则函数f(x)x3x22x2的极小值等于（ ）A B C2 D参考答案：A略10. 曲线y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为AB CD参考答案：C因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a=，b=20.6，c=log43，则a，b，c的大小关系从小到大为参考答案：a，c，b略12. 已知，则_参考答案：313. 函数的定义域为_。参考答案：略14. 函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_.参考答案： 15. 已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且，则ABC周长

6、的最小值为_。参考答案：【分析】化简，求得角的大小，用三角形的面积公式列式，然后利用基本不等式求得周长的最小值.【详解】由得，故.由三角形面积公式得.所以三角形的周长，当且仅当时，等号成立.故周长的最小值为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.16. 已知角的终边经过点，点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，则的值是 .参考答案：17. 复数z满足（1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则复数z= 参考答案：1i【考点】复数相等的充要条件 【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算性质、共轭复

7、数的定义即可得出【解答】解：（1+i）z=（1+i）2，z=（i1）=1i故答案为：1i【点评】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在四棱锥OABCD中，AD/BC，ABAD2BC，OBOD，M是OD的中点（1）求证：MC/平面OAB；（2）求证：BDOA参考答案：证明：（1）设N是OA的中点，连结MN，NB因为M是OD的中点，所以MN/AD，且2MNAD2分又AD/BC，AD2BC，所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC/NB4分又MC平面OAB，NB平面O

8、AB，所以MC/平面OAB；7分（2）设H是BD的中点，连结AH，OH因为ABAD，所以AHBD又因为OBOD，所以OHBD9分因为AH平面OAH，OH平面OAH，AHOHH，所以BD平面OAH12分因为OA平面OAH，所以BDOA14分19. 如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动的探照灯，其照射角EOF始终为，设AOE=，探照灯照射在长方形ABCD内部区域的面积为S；（1）当时，求S关于的函数关系式；（2）当时，求S的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且

9、转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）根据题意过点O作OHBC于H再讨论的范围，可得当0时，E在边AB上，F在线段BH上，因此S=S正方形OABHSOAESOHF；当时，E在线段BH上，F在线段CH上，因此S=SOEF由此即可得到当0时S关于的函数表达式；（2）利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；（3）求出在“一个来回”中OE共转动的角度，并求出其中点G被照到时共转的角度，结合题意列式即可求出“一个来回”中点G被照到的时间【解答】解：（1）过O作OHBC，H为垂足当，E在边AB上，

10、F在线段BH上（如图），此时，AE=tan，FH=tan（），S=S正方形OABHSOAESOHF；当，E在线段BH上，F在线段CH上（如图），EH=，FH=；（2）当，；即S=2，0tan1即11+tan2，当tan=1时，S取得最大值为2（3）在“一个来回”中，OE共转了2=，其中点G被照到时，共转了2=，在“一个来回”中，点G被照到的时间为9=2分钟；20. （12分）（2014?重庆模拟）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成

11、六段：60，65）65，70）70，75）75，80），80，85）85，90），得到如图的频率分布直方图问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值（3）若从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在65，70）的车辆数的分布列及其均值（即数学期望）参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（

12、2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数（3）从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，根据题意抽出的2辆车中速车在（65，70）的车辆数可能为0、1、2，求出相应的概率，即可求得分布列和期望解答：解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2分）（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估

13、计值等于77.5 （4分）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.015+0.025+0.045+0.06（x75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5 （6分）（3）从图中可知，车速在60，65）的车辆数为：m1=0.01540=2（辆），（7分）车速在65，70）的车辆数为：m2=0.02540=4（辆） （8分）=0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为：012P（11分）数学期望E=0+1+2=（12分）点评：解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个

14、小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视21. 已知函数 （）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；（）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（）求证参考答案：解：（）因为，则， 1分当时，；当时， 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值 2分 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得 4分（）不等式，即为记所以 6分 令则， 在上单调递增，从而 故在上也单调递增，所以 8分（）由（）知：恒成立，即 令，则， 所以 叠加得： 10分则，所以 12分略22. (本小题满分12分)如

15、图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1) 证明：APBC；(2) 在线段AP上是否存在点M，使得平面AMC平面BMC？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由参考答案：方法一：(1)证明：如右图，以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即APBC.4分(2)解：假设存在满足题意的M，设，1，则(0，3，4)(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)，(4,5,0)6分设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由 得即可取n1(0,1，)8分由即得可取n2(5,4，3) 10分由n1n20，得430， 解得，故AM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3. 12分方法二：(1)证明：由ABAC，D是BC的中点，得ADBC.又PO平面ABC，所以POBC.因为POADO，所以BC平面PAD，故BCPA. 4