《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2

1、3.1.5空间向量运算的坐标表示教学案2【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】：课件教学过程设计】：教学

2、环教学活动设计意图一温故知新平面向量的坐标运算一新课讲授1.空间向量的直角坐标运算律a+b=(a+b,a+b,a112233注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运算规律和结论的本质是一样的。ab二(ab,ab,ab)112233九a二(九a,九a,九a)(九eR)123(2)若A(x,y,z)，B(x,y,z)，则111222AB=（x-x,y-y,z-z）.212121一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2数量积：即ab=abcos：a-b:=IaI-1bI3夹角:2+a2+a2、：b2+b2+b2TOC o 1-5

3、h z1231234模长公式：若a（，）,则Ia1=：a-a=&a2+a2+a21235平行与垂直：a/boa二九b,a二九b,a二九b（九wR）112233FF-a丄boa-b=0oab+ab+ab=01122336距离公式:若A（x1，y1，z1）,B（X2,y2,Z2），则丨AB1=AB2=（x一x）2+（y一y）2+（z一z）2,212121或d=.-（x-x）2+（y-y）2+（z-z）2.A,Bv212121讲练典例例1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E1,f分别是A1B1,C1D的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值。解：不妨设正方体的棱长为1,分别以DA,D

4、C,DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz,则B（1,1,0）,丄FAiCiCB3E1（1，4，1），D（0,0,0），f1（0,4，1）将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。所以be1=（o，-4，1），DF1=（0,4，1）丨码丨=手，丨件丨=BE1-DF1=16101所以cos=,15因此,BEi与DFi7例2如图，正方体ABCD-ABCD中E1111F分别是BB,DB的中点，证：EF丄DA11-A1Bi求EO1_LJ证明：不妨设正方体的棱长为A巩固四练习五拓展与提咼CB1,分别以DA,DC,DD1为单位正交

5、基底建立空间直角坐标系Oxyz,则E（1，1，）21）所以EF=(-2,-2，2)，又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，所以所以EF-DA二0,因此EF丄DA】，即EF丄DA课本P105练习1,2,3CM、N分别是AAj、BB1的中点，求直1如图在正方体AC】中,(-学习注意触类旁通，举一反三,引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办OP值.点P的坐标x,y,z满足的条件4x-8y+6z+7=0的系数构成一个向量a=(4,-8,6)，发现与AB=(一2,4,3)共线。4,已知三角形的顶点是A(1,-1,1)，B(2,l-1),C(-l,-l,-2)，试求这个三角形的面积。分析：可用公

6、式S=丄丨ABI-1ACI-sinA来求面积2解：JAB=(1,2,-2)，AC=(-2,0,-3)，IAB1=：12+22+(2)2=3，IAC1=-2)2+0+(-3)2=13，AB-AC=(12,-2)-(-2,0,-3)=-2+6=4，cosA=cosAB,AC=IABI-1ACIsinA=sinAB,AC=、”1cos213八而39sA冬卫12A.55B.3点C.D.11T所以S=11ABI-AC-1AABC2TOC o 1-5 h z5.已矢口a=(cos0,1,sin0),b=(sin0,1,cos0)，则向量a+b与ab的夹角是()A.90B.60C.30D.06.已知a=(1-1,1-1