数学相关微积分

1、上节内容回顾1. 定义2. 性质( 曲线弧 的长度)(4) 与积分路径的方向无关，中值定理，对称性质3. 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧一代，二换，三定限（上大于下） 对空间曲线L：4. 应用几何：弧长，柱面侧面积物理：质量，质心，转动惯量，引力练习题弧长例11. 有一半圆弧其线密度 解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1) 求它关于 z 轴的转动惯量(2) 求它的质心 .解: 设其密度为 (常数).(2)(1)例12质心坐标公式为：所以重心坐标为:第二节 第二类曲线积分一、概念与性质二、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的应用四、

2、两类曲线积分的关系一、概念与性质1、引例: 变力沿曲线所作的功一质点在连续变力作用下，沿光滑曲线L从起点A运动到终点B，求变力 所做的功W。特例：常力沿直线所作的功“大化小” “常代变”“近似和” “取极限”解决办法:向量函数的曲线积分1）大化小2)常代变3）近似和任取4）取极限注意：2、定义类似地定义3.存在条件：4.组合形式变力所做的功：有向弧微元向量函数的曲线积分5.特例6.性质即对坐标的曲线积分与路径的方向有关.（1）路径的有向性关于积分路径具有可加性！对封闭曲线取逆时针方向为正方向！说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !对坐标的曲线积分不能利用积分路径的对称性与被积函数的

3、奇偶性简化计算。 定积分是第二类曲线积分的特例.二、第二类（对坐标的）曲线积分的计算计算思路：曲线积分转化定积分特别注意：积分路径的方程 积分路径的方向1、若L是参数方程一代，二换，三定限（下限对应起点） （上限对应终点） 注：下限对应于L的起点的参数值，上限对应于L 的终点的参数值，下限不一定小于上限。一代，二换，三定限（与第一类曲线积分的区别）。组合形式：2、若L为一般方程：L的端点A,B的横坐标为a,b，则3、若积分路径是平面曲线，类似可转化为定积分。参数方程形式；直角坐标形式；极坐标形式需将它化为参数方程（选择x,y,z中某一个为参数）。即： 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧例

4、1解不能利用对称性质！积分路径方程为：例2解法2：注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.例4解在AB上：在BC上：例5解直线L的参数方程为例6. 求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解: 取 的参数方程三、第二类曲线积分的应用物理应用：变力沿曲线对质点所做的功变力所做的功：例7解在AB上：例8解由题意知：其中（此题的关键）将引力用向量表示出来路径的参数方程：自算！有类似的牛顿-莱布尼茨公式作业P178: 1, 3, 5, 6, 7, 8设有向曲线弧L:四、 两类曲线积分的关系有第二类曲线积分有切向量可用向量表示有向曲线元；同样有例9.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周 例10：设曲线C为曲面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解: (1)(2) 原式