《3.1.3 空间向量的数量积运算(1)》教学案1

1、空间向量的数量积（1）教学案教学目标1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.教学重难点空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神教学过程学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA=aOB出，则ZAOB叫做向量a与b的夹角，记作；且规定on，显然有=；若=，则称a与b互相垂直，记作：a丄

2、b；2向量的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：丨aI；3向量的数量积：已知向量a,b，则IaIlbIco叫做a,b的数量积，记作a-b，即ab二IaIlbIco已知向量ab=a和轴1，e是1上与1同方向的单位向量，作点a在1上的射影a，作点B在1上的射影B，则AB叫做向量AB在轴1上或在e上的正射影；可以证明AB的长度IABl=lABIcos=la-eI.(2)a丄boa-b=0.丨a2=a-a.5空间向量数量积运算律：（1）（九a）-b=X（a-b）=a-（九b）.a-b=b-a（交换律）.a-（b+c）=a-b+a-c（分配律）.（三）例题分析：例1用向量方法

3、证明：直线和平面垂直的判定定理.已知：m，n是平面a内的两条相交直线，直线1与平面a的交点为b，且1丄m,i丄n求证：1丄a./gng.n证明：在a内作不与m，n重合的任一直线g,在1,mn,g上取非零向量I,m,n,g，丁m，n相交,.向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对（x,y），使g=xm+yn，/.f-g=xf-m+yf-n，又f-m=0,f-n=0，1-g=0,1丄g,1丄g，所以，直线1垂直于平面内的任意一条直线，即得1丄a.例2.已知空间四边形ABCD中，AB丄CD，AC丄BD，求证：AD丄BC.证明：（法一）AD-BC=（AB+BD）-（Ac-AB）AB-AC+

4、BD-AC-AB2-AB-BDAB-(AC-AB-BD)=AB-DC=0.(法二)选取一组基底，设AB=a,AC=b,AD=c-*-*-*.*AB丄CD，.:a-(cb)=0，即a-c=b-a,同理：a-b=b-c,:a-c=b-c,c-(ba)=0,AD-BC=0，即AD丄BC.说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明.例3.如图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，ZOAC=45。，ZOAB=60。，求OA与BC的夹角的余弦值.解：BC=ACAB，A.BCOA-BC=OA-ACoa-ab=1OAI-1ACI-cosIOAI-1ABI-cosOA,AB=8x4xcosl35。一8x6xcosl20。=2416p2cos=0BC=24一16巨=上空,I