北师大版高中数学必修5《三章不等式3基本不等式31基本不等式》教学案

1、基本不等式教学设计教材：北师大版必修5课题：3.4基本不等式(第一课时)课时：1课时一.教学内容分析基本不等式是高中教材北师大版必修五第三章第三节的内容，是不等式这一章 中继一元二次不等式，从几何背景(赵爽的弦图)中抽离出的基本结论，是证明其他不等式 成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性 上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入 手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法(比较法、综合法、分析 法)，并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.基本不等式的学

2、时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部 分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比 较、抽象概括，提炼出不等式a2+b222ab(a,bw R).在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合 的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课 的核心内容.因此，我认为本节课的教学重点为： 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角 度探索基本不等式的

3、证明过程.二.教学目标设置课程标准对本节课的要求有以下两条：探索并了解基本不等式的证明过程；会 用基本不等式解决简单的最值问题.根据课标要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能 力，我将本节课的教学目标确定为：(1)通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；(2)让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的 数学思想.(3)通过运用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题，加深学生对基本不等式的理解, 认识数学的对称性与完整性.三.学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高一学生具

4、备了良好的图形分析能力、 抽象概况能力以及一定层次上的交流沟 通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于 用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理 解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部 的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑 推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现 .因此，我以为本节课的教学难 点为

5、：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.四.教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探 究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本 研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发 展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力 .五、教学重点a b . ab三应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2的证明过程及应用。六、教学难点1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求

6、解实际问题中的最大值和最小值。七、教学方法本节课采用观察一一感知一一抽象一一归纳一一探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息 技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。a b基本不等式：ab 2简要教学思路【学习目标】知识与技能了解基本不等式的证明过程。会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。.过程与方法探索并了解基本不等式的证明过程，体验基本不等式在实际中的应用.情感、态度与价值观通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实 践能力。【学习重点】应用数形结

7、合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。【学习难点】用基本不等式求最大值和最小值。【知识结构】基本不等式的几何a b基本不等式：a ab 2Vab TOC o 1-5 h z 生2:（分析法）（只要证a a+b-2Vab 0 _ 2（只要证 y, （/a-7b ） 0上式显然成立。a+b之2jOb,当且仅当a=b时，等号成立只要证a+b至要证，只要证a+b-之0要证，只要证（-）2之0显然，是成立的。当且仅当a=b时，中的等号成立。（告诉学生，这种证明方法称之为分析法）点评：证明方法叫做分析法，实际上是寻找结论的充分条件，执果索因的一种思维方法.-一 、一 4一一 ，,一

8、 一 .，,2-2-4、本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a +b 2ab0在此基础上，引导学生认识基本不等式。通过ppt课件，让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：【过渡】实际上，在许多图形中都蕴含着基本不等式.【问题81如图，取线段AB=a+b ,其中AC =a, BC =b ,以AB为直径做圆O,过点C做垂直于AB的弦DE连接AD BD.图中你能找到长度为 亘与 屈的线段吗？它们分别有2什么几何意义呢？.移动点C在线段AB上的位置（几何画板），你有什么结论 呢？（请学生合作探究完成，并展示说明：生1:直角三角形中，斜边大于直角边；生2:在直角三角形中，斜边上的中线

9、不小于斜边的高.生3:在圆中，半径不小于半弦.）【设计意图】通过对图形的探究多角度说明基本不等式的几何意义，由于学生对问题的 分解能力不足，不知如何入手探究，并且表示 面的线段及其几何意义学生不易发现.为了 帮助学生，我将探究分解为两个小问题， 从运动变化的角度帮助学生观察、归纳.一方面，帮 助学生建立数学结合的基本思想；另一方面，培养学生从运动变化的角度思考问题、解决问 题的能力，多角度认识基本不等式的几何解释 .【过渡】基本不等式的代数意义是什么呢？【说明】我们通常把a上叫做两个正数的算术平均数， 同 叫做两个正数的几何平均数.基 2本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几

10、何平均数.借助初中阶段学生 a bab _(a, b 0)熟知的几何图形，引导学生探究不等式2的几何解释，通过数形结合，赋 a b ab(a, b 0)予不等式2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。二、抽象归纳： TOC o 1-5 h z 2. 2一般地，对于任意实数a,b,有a +b之2ab ,当且仅当a=b时，等号成立。问你能给出它的证明吗？学生口答。特别地，当a0,b0时，在不等式a2+bb 2ab中，以 八、五分别代替a、b,得到什么？ 设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的 来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学

11、习奠定基础答案： Jab Wa_b(a,b 0)。2若aA0,b0,则有vabw叱b,当且仅当a=b时，Yab = a。22我们称此不等式为 基本不等式。其中 山称为a,b的算术平均数,而称为a,b的几何平均 2数。三.应用举例【过渡】怎样运用基本不等式解决生活中的不等问题呢？【例11学校用篱笆围一个面积为100平方米的矩形花圃，问：如何设计花圃的长和宽，所用篱笆最短，最短篱笆是多少?（请学生尝试完成，并表述解题过程，教师板书.强调能取得最小值的原因及等号成立的条件. 再把课件上过程过一遍，教师适度归纳：根据基本不等式发现，两个正数积为定值时，和存 在最小值.积定和最小）【变式】如图，用一段长

12、为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多 少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（请学生上台板演，根据学生板书加以解释，强调能取得最小值的原因及等号成立的条件.教师适度归纳：根据基本不等式发现，两个正数和为定值时，积存在最大值.和定积最大）【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，一方面，让学生知道可以利用基 本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，强化学生对基本不等式的理解，特别是等号 成立的条件，同时培养学生形成严谨的思维习惯，具备反思的意识，也为后续提出“一正， 二定，三相等”做铺垫.四.课堂小结.两个重要的不等式 TOC o 1-5 h z 2（1）一般

13、地，对于任意实数a,b,有a +b 2ab,当且仅当a=b时，等号成立。a ba b（2）右a0,bA0,则有Jab M,当且仅当a=b时，4ab =。22我们称此不等式为基本不等式。2.利用基本不等式求最值已知x, y 都是正数,P, S 是常数.xy=P x+y 2 P（当且仅当 x=y 时，取二”号）.x+y=S xy 0,x + 一的最小值为此时乂=.(学生指出正、定、等)x(1)若a0,b0,且a+b=2,则ab的最大值为 此时a=,b=。(学生指出正、定、等)六、反思总结，整合新知：通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训 ？还有哪些问题需要请教？设计意图：通过反思、归纳，

14、培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.老师根据情况完善如下：一个不等式：若aA0,b0,则有了abwab,当且仅当a=b时，abb = ab 022两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”九、布置作业：课本P100习题A组1、2题十、课下,思、考：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？十一、教学反思教学指导方针为：“低起点，高观点，高目标”。新课程标准中对知识的发生的过程提出 了较高的要求，多次使用了 “经历”、“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词， 重视学生对问题的探究能力。在证明基本不等式时，2 .2x y2- Xy xy一般方法：x, yC R, (x-y)占02,当且仅当x=y时，等号成立。22,令x=7a , y=Jb,所以一 ab2之xy= 2，当且仅当a=b时，等号成立。接下来提问学生能否有别的方法证明该不等式，没想到学生思维活跃，提出了两种证法,令我始料不及，收获很大。证法 2：当 a0,b0 时，有（ab）2 20 = a2