北师大版高中数学必修5《二章解三角形1正弦定理与余弦定理12余弦定理》赛课导学案

1、2.1.2 余 弦 定 理一、教材依据北师大版普通高中课程标准实验教科书必修（五）第二章解三角形第二节第二课余弦定理 。二、设计思想教材分析：通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角” ，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。 在此基础上利用向量方法探求余弦定理， 学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入

2、， 知识的系统性不完善， 使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。设计思想新课程的数学提倡学生动手实践， 自主探索， 合作交流， 深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力， 发展学生的数学应

3、用意识和创新意识， 深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。三、教学目标1、知识与技能目标：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法， 并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2、过程与方法目标：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论， 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两 类基本的解三角形问题。3、情感、态度与价值观目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、 向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。四、教学重点与难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：用向量的数量积推导

4、余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。五、教学过程：教学 划、节合作探究活动学情分析与设计意图知识 回顾三角形的正弦定理内容 一a_ = _b_ = _J,主要解决 sin A sin A sinC哪几类问题的三角形？回顾旧知，防止遗忌创设 引入在 ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和/C,求边c学生可能比较茫然，帮 助学生分析相关内容，提出 问题你能够有更好的具体的量化方法吗？帮助学生从平间几何、三角函数、向量知识、坐标法等 方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的 积极讨论。引导学生从相关知识 入手，选择简洁的工 具。合作 探究利用向量法推导余

5、弦定理：A如图：设 cB = a,cA = b, aB = C, ,由三角形法则有c = a -bNbC =c c=(ab),(ab)a=a a +b b -2a b2 , , 2-，=a +b -2abcosc即： ABC 中:c2 = a2 +b2 -2abcosc同理，让学生利用相同方法推导，a2 =b2 +c2 -2bccosA,b2 =a2 +c2 -2acosB学生对向量知识可能 遗忘，注意复习；在利 用数量积时，角度可能 出现错误，出现/、同的 表示形式，让学生从错 误中发现问题，巩固向 量知识，明确向量工具 的作用。同时，让学生 明确数学中的转化思 想：化未知为已知。归纳 概括

6、余弦定理：a2 =b2 +c2 2bccosA1 22.2c-b =a +c -2accosB22一2 八，八c =a +b 2abcosC三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。知识归纳比较，发现特 征，加强识记结构 分析观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系， 并发现a与A, b与B, C与c之间的对应表述，同时 发现三边长的平方在余弦定理中同时出现使学生明确对应关系， 树立方程思想，解决 “边、角、边”问题知识 联系h222余弦定理的推论：cosA = b-c-2bc2,2,22 , , 22- a +c b八 a +b ccos B -

7、cosC -2ac2ab解决“边、边、边” 问题方法 应用怎样准确地解答引入中的两个问题？ 怎样利用已知条件判断三角形的形状？用准确的量化关系去 解决问题，用边长去判 断三角形形状，勾股定 理是余弦定理特例。知识 应用例1、在AABC 中，已知 b = 3,c = 2V3,2A = 30： 求求B、C和边a的值例 2、在AABC 中，已知 a=般,b=2,c= 73+1, 解三角形（依次求解A、B、C）.巩固好正弦定理，余弦 定理知识，发现两种知 识方法在解三角形中 的综合应用。知识 深化例 3、在4ABC 中，若 a2 b2 +C2则4ABC的形状为（）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三

8、角形D、不能确定继续深化正弦、余弦定 理练习 检测发式11、若 b = 3, c = 1, A = 60，则 a =32、在 AABC 中，AB =寸2, BC =1, cosC =二则 AC =4义式2.在三角形 ABC 中，若 a =d3,b =1,c=2A =.在三角形ABC中，a2 -c2 +b2 =ab,则角C的大小为A.60 二 B.45 戢 135 二C.120 ,D30 二义式3三角形三边长分别为4,6,8,则此三角形为（）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定用练习去巩固所学知 识，使学生逐步形成良 好的知识结构，加强数 学知识应用能力的培 养。课堂 小结从本

9、课中你学到了哪些知识和方法？通过知识回顾，使学生 各自体会收获。板书 设计1、推导余弦定理及其推论2、例 1、3、练习指导作业 设计在 ABC中，边a、b的长是方程x25x+2 0的两个根，C 120 ,贝U边 c=.巩固知识六、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。 因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系， 又 要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、 结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的 本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型） ，质（实质、本 质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几 何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工 具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。 因此在本课的教学设计中抓住前后知识的 联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会 应用