基于时差观测量的三维定位坐标解算

1、基于时差观测量的三维定位坐标解算分析的 GUI 仿真实现摘要：在各个领域有广泛应用，本项目为基于时差观测量的三维定位坐标解算研究。其中包括对中的相关观测数据进行建模和求解，对定位的误差，精度分析设计相应算法。文中给出一种基于时差观测量的定位方法。通过观测量得到一组非线性超定方程组，用 Newton 迭代法求解并对定位精度作简交互界面，使整个定位过程可以在 GUI 中单分析，利用语言设计出仿真实现。关键字： 时差观测量， 定位，非线性超定方程组， Newton 法GUI Simulation of The Three-Dimenalitioning Coordinateysis Based on

2、 Time Difference ObservationCalculationAbstract:itioning technology is widely appd in various fields.This project is acalculating research of three-dimenalitioning coordinates based on the amount of timeobservation,including theitioning technology for ming and solving the relevantobservation data, t

3、heitioning error, preciysis and design correspondingalgorithm.A method of base sion itioning based on time difference observation is presented his pr. A group of nonlinear overdetermined system of equations is obtained by observation，and is solved by the Newton iteration method . ast,a software erfa

4、ce is designed by MATALB, so t the whole pros simulation can be showed he GUI.Keywords: Time difference observation，Base ，Nonlinear overdetermined system of equations，Newton method2sionitioning1.引言：移动具有广泛的用途，使得移动的作用与商业利益并举。随着电子的突飞猛进， 移动定位对人们衣、食、住、行等各方面产生了巨大的影响。本项目是基于时差观测量的三维定位坐标解算研究，定位方法为：在无线自组织网的管理

5、下， 基主站通知各基从站和待定位的移动节点 R 在设置的时间窗口期间开启射频电路， 基主站通过信道 u 发射定位脉冲序列， 移动节点 R 将该序列频变后通过信道 v 发射出去。多个基从站对定位脉冲经两条路径时差进量。在系统坐标中， 各基主站和基从站的具置事先都被精确确定，则移动节点 R 的坐标服从椭圆曲线方程， 为一非线性函数。由多个基从站测量值得到一组超定非线性方程。对该方法将进行模拟， 基于此定位方法进行解算分析， 设计仿真程序描述该定位过程。模型分析建立模型图 2.1 定位坐标和路径示意图上图所示为定位的一种情况(用 1 个主站+4 个从站实现定位)，从站个数 n（n=4）可随实际情况来

6、设置。空间直角坐标系中，移动点 R 的坐标向量待求。3记为已知主站 A 坐标向量记为各从站坐标向量 B1Bn坐标矩阵记为或写为为了操作方便，记则2.2 非线性方程组的建立根据时差观测数据得到路径和路径距离之差，代表的任意一个。路径和路径示意图如下：因实际测量的是存在误差的，记式中为真实距离差，为误差干扰。可推算的距离之和，记为，式中，用表示的距离；表示真实的的距离之和。4由以上条件，空间坐标关系满足如下方程组：结合式可依次简记为或记为显然为该方程组为非线性超定方程组。3求解实现3.1线性方程组的迭代算法由以上分析得到的非线性方程组，一般为非线性超定方程组，很难直接精确求解。一般求解方法是首先将

7、方程组线性化，然后利用数值方法求得近似解。解非线性方程组的算法有有 Newton 法和 Bronyden 法，均属于迭代算法。即从给定的初始值出发，按照一定规律产生一个迭代序列，直到该序列收敛到方程组的精确解。当迭代次数足够多时，对应迭代值即可作为方程组的近似解。Broyden 法是一种拟 Newton 法，步骤稍多，本质上将非线性方程求解的割线法推广到求 线性方程组。因在有些计算中 Newton 法对非线性方程组求偏导不容易实现的，而 Broyden 法克服了 Newton 法需要求导求逆的缺点。本文采用经典的 Newton 迭代法。因为由以上分析产生的是椭圆方程组，如(6)式所示，各个方程

8、形式一致，各个未知项形式也一致，求偏导数是容易的。综上使用 newton法可以快速收敛，是适合本方法的定位求解的。以下对 Newton 法原理进行简单分析，详情可以参考相关算法资料。5记则非线性方程组为或若给出近似根在 rk 处进行多元函数的 Taylor 展开，取线性部分。则 F(r)可近似表示为令右端为零，得线性方程组的偏导，又称为的 Jacobian 矩阵，求得后，方程组(7)的解其中为就可从更新为。3.2 超定方程组求解的最小二乘法上述 Newton 算法分析中，给出了非线性方程组的解的公式，针对的是方程个数等于未知数的情况来分析的，若方程式个数等于未知数个数，可直接求解解得而在本定位

9、求解中未知数个数为 3，方程式个数 N3，方程个数大于未知量个数的方程组即为超定方程组。超定方程组一般是不存在解的方程，无法求出其精确解，只能求其最小二乘解。利用最小二乘法，得到其解的形式为如果矩阵可逆，可化简为式(11)。6最小二乘法解为其中 W 为权重矩阵为 N*N 的对角矩阵；;为对应测量值的权重。F(R)由上面的分析已给出，为椭球方程组形式，dF(R)为 F(R)的偏导数，或称为 jacobian 矩阵，接下来对 jacobian 矩阵进行求解分析。3.3 求解 jacobian 矩阵对(6)式给出的 F(R)的表达式进行分析，因其各方程形式一致，现以式为例，求其偏导记向量则，同理得j

10、acobian 矩阵表示如下：初值可以根据实际情况有多种取法，这里取其中两个的中心点坐标设为初值 ，考虑误差权重设置方法；不妨假设距离值 越大，误差概率也随之增大，则权重越小。这里定义误差 为某一范围的随机数，其范围大小 跟 成比例关系，7定义权重 为 的倒数；在实际应用中可以做相应修改。4仿真实现语言进行编程，可在 Windows 操作系统下运行。本选用了有强大的数学计算能力和丰富的数据处理工具，编程语言接近数学表达，操作简单。设计 GUI 界面也很方便。另外，时不能编译符号运算，应全部使用数值运算。生成独立可执行程序1、总体框图结构分析图 4.1.输入数据初步处理框图首先构造仿真数据。如开

11、头分析所述实际中获得的是路径和路径距离之差( 对应图中 Distn) ，由 n+1 个坐标( 对应图中Basen+1)和移动点坐标(对应图中 r)计算得到。接着再进一步进行如下图所示的建模和求解。图 4.2 求解框图8n+1 个坐标 Basen+1为已知，而实际测量得到的是存在误差的，故在图中 Distn加入了随机噪声 Noisen，下一步创建非线性方程组 Equan，使用Newton 法或Newton 都能够就出近似解，记 r1 为近似解，r2 为解。两种结果可以进行对比和相互验证。因本程序加入的噪声是均值噪声，为减小噪声的影响，在如框图所示进行 k次求解(每次加入的噪声都是随机数)，然后对

12、求得的 k 个解取平均分别得到解 r1和 r2.为了更接近真实值，k 取值应适当大一点。另外，为了便于观察分析，除了给出定位的近似解外，界面另外显示一下信息：1、创建的 n 个超定方程组表达式；2、方程平均误差，该值越小，则计算误差越小；3、迭代次数和是否收敛的备注(针对于调用 Newton 法对 r1 的求解)；4、各点坐标示意图。以便帮助对本定位算法进行更好的分析和理解。2、程序思路分析及结果演示程序流程图如下所示，9图 4.3 程序流程图10本程序运行时界面如下：图 4.4 求解结果演示图 4.5 对应坐标演示11本程序直观展现了椭圆曲线方程组求解定位坐标的方法，定位误差跟噪声参数设置有

13、关，并用三维坐标图显示各坐标的位置关系。程序的求解误差如上图所示中噪声系数为 0.01，若移动点到主站和从站的距离值之和为 500，则变为范围为 5005 的一个随机值，最大误差距离为 5。图 4.4 的六个方程式中可知观测到的最大误差距离(取 3 位有效数字)分别为 6.49，8.39，6.71，9.15，12.7；本次计算中得到近似解 r1 与实际点 r 的误差距离为 2.40，法得到的近似解 r2 对应的误差距离则为 1.66。其中这里进行了 10 次重复求解，再对结果取平均，从而使结果的误差更小，等同于均值滤波的原理。另外对 r1 和 r2 两者的误差大小进行对比分析，进行了多次重复试

14、验，在数量较少时，则对应构造的方程组表达式也较少，r1 和 r2 的误差范围没有明显差别，当添加子增加，r2 误差范围将比 r1 更小，显然更加精确。从站，使方程组式经测试，本程序可以仿真实现基于时差观测构造超定非线性方程组，并对其求得定位点的近似解，定位误差较小。5.分析与总结本程序在项目后期进行了多次的修改和测试，功能演示基本正常，对大范围内的定位解算良好，如下情况可能出现定位失败：1当定位点与某一距离接近于零时，求解失败；2分布不合理，如几个从站与主站过于紧密时，求解错误。在绝大多数情况下，定位解算是正常，而权重的设定根据实际情况来，权重设置不合理时，可能出现某一个方程的权重特别大，结果

15、相当于忽略了其他方程，只通过这个方程求解，是无法求出结果的，考虑到实际硬件设施的应用是有一定限制的，还应根据实际应用来修程序设置的权重跟坐标之间的距离有关，只能作为一个简单模拟，故各个的坐标点的设定要合理。从定位的流程上来分析本定位方法的特点，与其他常用定位方法如 GPS 全球定位做一定的比较，可以看出在本方法中，计算距离数据是由各从站测量的时差得到的，不必测量设备发送和接收信号的时刻，避免考虑多个转发信号的时12延，降低转发干扰，可相应简化移动终端的硬件设备。与某些定位方法相比的是定位步骤多，需要选择主站。构造超定方程组至少需 5 个（包括 4 个方程）才能求解。本次研究的意义在于，通过设计

16、的 GUI 程序对时差观测进行定位的方法进行解算分析的基本演示，为硬件实现的可行性提供了参考。参考文献：【1】. GPS 原理与设计M.电子工业.2009 年【2】锦.科学计算和 C 程序集M.学苑. 1998 年【3】,.数值计算方法学习指导M. 科学.2006 年【4】,.测时差定位精度分析与最优布站J.火控技术.2003年 01 期【5】高海舰.站组网时差测量定位精度算法研究J.系统工程与电子技术.2005 年 04期【6】李,赐.一种新的稳健的 TDOA 定位算法J.电子与信息学报.2006 年 11期【7】.年 08 期迭代法及其应用J. 重庆工学院学报(自然科学版). 2007线性

17、方程的【8】.实现J. 信息通信. 2011 年 06 期迭代法的13附主要函数代码：(1)生成椭圆方程组矩阵函数function my_f=my_fun(x,a,temp,p)global ht fb;for it=1:(fb+ht)m_f(it)=sqrt(x(1)-a(1)2+(x(2)-a(2)2+(x(3)-a(3)2)+sqrt(x(1)-temp(it,1)2+(x(2)-temp(it,2)2+(x(3)-temp(it,3)2)-p(it);endmy_f=m_f;%其中 x 为迭代值向量，a 为主站坐标向量（a1,a2,a3）mq 为坐标阵(b1;b2;.bn);p 为%距

18、离向量。(2)对椭球方程求偏导的函数为function k=my_df(x,a,b)for i=1:3k(i)=(x(1)-a(1)2+(x(2)-a(2)2+x(3)-a(3)(-0.5)*(x(i)-a(i) +(x(1)-b(1)2+(x(2)-b(2)2+x(3)-b(3)(-0.5)*(x(i)-b(i);endk=k(1) k(2) k(3);(3)调用 my_df 求椭圆方程组的偏导(Jacobian 矩阵)函数function df=my_dfun(x,a,temp)global ht fb;for it=1:(fb+ht)dt(it,:)=my_df(x,a,temp(it,

19、:);enddf=dt;14(4)Newton 法迭代函数function x=newton(x0,eps,N,a0,mq,p)global con1;con1=0;%其中 x0 为迭代初值 eps 为精度要求 N 为最大迭代步数 con1 用来结果是否收敛for i=1:Nf=my_fun(x0,a0,mq,p);df=my_dfun(x0,a0,mq);dx=(df*df)(-1)*df*f;x=x0-(dx);if norm(x-x0)epscon1=1;break;endx0=x;end(5)Newton 法函数与 Newton 函数 newton.m 类似，作简单修改即可，开头为fu

20、nction x=newt_w(x0,eps,N,a0,temp,p,w);在 Newton 函数基础上修改：其中将 dx=(df*df)(-1)*df*f;改为ct=w*w;%(w*w)dx=(df*ct*df)(-1)*df*ct*f;主函数的定位过程实现代码：数据预处理：%计算距离矩阵 p 的函数(对应上面框图中的 distn)function t= f_mod(r,s)%求三维点 r 与 s 的距离t=sqrt( r(1)-s(1) )2+( r(2)-s(2) )2+( r(3)-s(3) )2);15global fb ht；fb=4;%fb 定义为初始从站个数，ht 为增加个数%调用 f_mod 通过移动点和坐标生成其距离 ps_1=f_mod(r,a);s_2=ones(1,fb+ht);p=ones(1,fb+ht);for it=1:(fb+ht)s_2(it)=f_mod(r,mq(it,:);%s_2 数值p(it)=s_1+s_2(it);End定位过程仿真及求解：%初值 x_0 设置：取三个的坐标中点:%噪声设置:通过 rand 来模拟均值噪声%求近似解：调用 Newton%权重设置：根据距离矩阵 p 的大小设置%求迭代解：调用 Newton_w%误差消除：针对于含有均值误差的解算结果，计算多次再取平均输出得到结果更为%接近，%求解