双因素方差分析模型

1、从模型1、模型2可以看出，在通常的教学质量评价过程中，人们 只注重对教师教学水平的点评，而对评课人的素质和水平几乎没有讨 论。但事实上，教师教学水平的高低及提高，与评课人的水平是密切 相关的，只有评课人与指导者水平高，对教师教学水平的评价才有 较高的可靠性，教师的教学水平也才会得到提高。方差分析的结论告 诉我们:不但教师之间的水平有显著差异，评课人的水平也 是有显著差异的，因而要想对被评教师做出客观公正的结论，不能 忽视评课者的素质。请看下例:某高校评估小组（8人）对该校某教研室教师（6人）上学 期教学水平的评分成绩如表2所示。表2对某教研室教师教学水平的评分教师评课人1234567818.9

2、59.088.988.958.959.159.108.9528.809.108.758.859.008.728.958.8138.889.108.758.859.008.728.958.8148.838.608.738.408.758.738.859.0258.958.938.959.058.988.928.958.9869.109.159.158.859.259.209.159.25试对教师之间的教学水平和评估人之间的水平做出你的评价。这是一个无重复试验的双因素方差分析问题，因素入是教师，有6个水平A1，A2，A6;因素8是评课人，有 8 个水平 B，B2，B8。Xjj （i=1，2，6，j

3、=1,2,8)是因素A,B的水平的每对组合(Ai,Bj)做一次试验的数据，其数学模型为I Xjj = U + q +耳+号弓 N (0,决)，相独立 (，二 12.”= 1, 2.)| =。i=初=。检验假设HA：a i=a2=.=a6= ,HiA：a 1,a 2，,a 6不全为0；H0B：p 1=p 2二邛 7 = 0, H1B: p 1, p 2,，p 7 不全为0。经计算得:St=2.21073, Sa=0.98644, Sb=01500 09,Se=St-Sa-Sb=017242,从而得 方差分析表如表3所示。取a =0.05,有FA(r-1,(r-1)(s-1)=F0.05(5,35

4、)=2.30FA(s-1,(r-1)(s-1)=F0.05(7,35)=2.14由于 Fa=10.89529 2.30二F0.05 (5,35),Fb=4.14248 2.14二F0.05 (7,35),因此以95%的置信度可以认为教师之间的教学水平有显著差异， 同时评课小组成员之间的水平也有显著差异。由于评课小组成员之间 的水平有显著差异，因此可以讨论如何定量地去比较他们水平的高 低。表3方差分析表方差来源平方和自由度均方和F值因素入Sa=0.98644r-1=5Sa=Sa/5=0.16441Fa=Sa/Se=10.89529因素8Sb=0.50009s-1=7Sa=Sb/7=0.01509

5、Fb=Sb/Se=4.14248误差Se=0.7242(r-1)(s-1)=35Se=Se/35=07242总和St=2.21073rs-1=34X*j为第j个成员对每位教师评分的平均值，显然不能根据它的大小 来度量该成员水平的高低。考虑到Xij=Xi*的含义（第j个成员对第1名 教师评分与所有成员对第i名教师评分的平均值之差），用&来评价第j名评课人水平的高低是合适的,=15 j越小水平越高，6 j越大水平则越低对于本例计算Dj如表4所示。表4评课人的水平排名结论：第1名评课人水平最高，第4名评课人水平最低评课人5 j水平排名10.010719120.097603630.023679240.

6、443079850.069019460.092699570.045879380.1069397附录:双因素方差分析法计算过程10.3双因素方差分析对于两因素问题，通常考虑等重复观测的情形，若 第一个因素N有f个水平，第二个因素W有用个水平.在 因素N的第，个水平和因素辱的第/个水平下均进行了辞次 观测，记为% lih.其数据结构如表所示.平均位观测值因素zi!jdj. AfX心Kg平晦笛10. 3. 1无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表示 为：*=日+ % +弓+标标 (0,/),且相互独立.!/,kn其中四表示平均的效应，.和亏分别表示因素4的第， 个水平和

7、因素8的第/个水平的附加效应，标为随机误 差，同样这里的随机误差也假定它是独立的并且服从 等方差的正态分布.10.3.1无交互作用的双因素方差2析无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表示为：乂泓=日+ % +亏+&站8弥N0(y2),且相互独立.!/, 1号河lk1 *=1可以证明SST = SSMa + SSMb SSMam + SSE10.3.1无交互作用的双因素方差分析构造检验统计量SSMA!(l-Vf F SSMBl(m-)1 SSE / (Imn -Z-w+l)“ SSE/(lnm-l-m +1)可以证明：在Hon成立时，检验统计量:SW/(/-1)SSE/(Imn-l-m+X)

8、在Hb成立时，检验统计量:F SSMB/(m-l)R SSE“OB其F(m-lmn-l-m+lj)对于给定的显著性水平a,的拒绝域为:F SSMA/(l-l)A SSE/(lmn-l-m+l)Mg的拒绝域为:ssMbS-oSSE，(bnn-l-fn+l)10.3.l无交互作用的双因素方差2析另外，若旦，鸟统计量的观测值分别为旦, F冽则当值P=PFa 旦。 。时拒绝反（印否则不能拒绝当值P = PFb Fbq 。时拒绝Hob，否则不能拒绝反08无交互作用的双因素方差分析表见表10-5.来源Source自由度DF平方和Sun of Square平均平方和Mean SquareF统计量F valuep值 PrF因素47-1ssm4SSMAJ (1 1)MSJMSE P(A)因素8m 1ssmbSSM J ni 1)MS/ MSEP(B)随机误是Imn / /w +1SSESSE