函数的单调性-知识点与题型归纳

1、名师总结 精品学问点1. 单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义如函数 fx在区间 D 上是 增函数或减函数 ,就称函数 fx 在这一区间上具有 严格的 单调性, 区间 D 叫做 fx的单 调区间 .留意：关于函数单调性的定义应留意哪些问题？1定义中 x1,x2 具有任意性 ,不能是规定的特定值2函数的 单调区间必需是定义域的子集；3定义的两种变式 ：设任意 x1,x2a,b且 x10. fx在 a,b上是增函数；x1x2fx1fx20. fx在 a,b上是减函数单调区间的表示留意哪些问题？单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“”联结 ,也

2、不能用 “或 ”联结学问点二 单调性的 证明 方法： 定义法及导数法1 定义法 : 利用定义 证明函数单调性的一般步骤是：任取 x1、x2D,且 x10,就fx在区间 D 内为增函数；假如 内为减函数留意： 补充 f x0,就 1 为减 增 函数,f x 为增 减函数f x3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfgx是定义在 M 上的函数,如 fx与 gx的单调性相同,就其复合函数 fgx为增函数；如 fx、gx的单调性相反,就其复合函数 fgx为减函数简称” 同增异减 ”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反二、例题分析：（一 函数

3、单调性的判定与证明名师总结 精品学问点判定以下说法是否正确1函数 fx2x1 在, 上是增函数 2函数 fx1 x在其定义域上是减函数 3已知 fxx,gx 2x,就 yfxgx在定义域上是增函数 答案： 例 1. 2022 北京卷 以下函数中,在区间 0,上为增函数的是 2Ayx1 Byx1xCy2 Dylog0.5x1 答案： A. 例 2. 判定函数 fxax x1在1,上的单调性,并证明法一：定义法设 1x1x2,名师总结 精品学问点就 fx1fx2ax1 x11 ax2 x21ax1 x2x1ax2 x2x1a x1x2x1x2 1x1x2,x1 x20,x210. 当 a0 时,

4、fx1fx20,即 fx1fx2,函数 yfx在1, 上单调递增同理当 a0,即 fx1fx2,函数 yfx在1, 上单调递减法二：导数法1.判定函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判定 或证明 函数单调性的一般步骤为：取值作差 变形 判号定论,其中变形为关键, 而变形的方法有因式分解、 配方法等；3.用导数判定函数的单调性简洁快捷,应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间 例 1 求函数 yx|1x|的单调增区间yx|1x|名师总结精品学问点1,x1,2x 1,x0.就 x3. 函数 ylog1 x 24x3的定义域为 3 ,13, 名师总结 精品学问点又 ux 24x3 的

5、图象的对称轴为 x2,且开口向上,ux 24x 3 在,1上是减函数,在3,上是增函数而函数 ylog1 u 在0, 上是减函数,3ylog1 x 24x 3的单调递减区间为 3, ,3 单调递增区间为 ,1留意：求函数的单调区间的常用方法 1利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间2定义法：先求定义域,再利用单调性定义3图象法：假如 fx是以图象形式给出的,或者 fx的 图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间4导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间2例 2.（2） 补充 ylog1x4log1x答案：增区间：1 , 4221；减区间：0,4练习 :ylog

6、2x2名师总结2x精品学问点log答案：增区间：2,；减区间：0, 2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小已知函数 fxlog2x就 1 1x,如 x11,2,x22,Afx10,fx20 Bfx10 Cfx10,fx20, fx20 【规范解答】函数 fxlog2x1 1x在1, 上为增函数,且 f20,当 x11,2时, fx1f20,即 fx10. 例 1. （2）已知函数 fxx 24x3,x0,就不等x 22x3,x0,式 fa 24f3a的解集为 A2,6 名师总结精品学问点B1,4 C1,4 D3,5 【规范解答】 作出函数 fx的图象,如下列图,就函数 fx在 R 上是单调

7、递减的由 fa 24f3a,可得 a 243a,整理得 a 23a40,即a1a40,解得 1a4,所以不等式的解集为 1,4留意: 本例分段函数的单调区间可以并.（四）已知单调性求参数的值或取值范畴例 1. 已知函数fxa2x x21x1,x2满意对任意的实2数 x1x2,都有f x 1f x 20成立,就实数 a 的取值x 1x 2范畴为 A,2 B. ,13 8C,2 D. 13 8,2名师总结 精品学问点【规范解答】 函数 fx是 R 上的减函数,a20,于是有a12 21,由此解得 a13 8,即实数 a 的取值范畴是,13 8 . 例 2.1（补充） 假如函数 fxax 22x3

8、在区间,4上单调递增,就实数答案 1 4,0 a 的取值范畴是 _解析 1当 a0 时, fx2x3,在定义域 R 上单调 递增,故在 ,4上单调递增；2当 a 0时,二次函数 fx的对称轴为直线 x1 a,由于 fx在,4上单调递增,所以 a0,且1 a4,解名师总结 精品学问点得1 4a0,就由 f x0 得 x 2a,当 x 2a时,f x0,fx单调增,当2ax 2a时,fx单调减,fx的单调减区间为 2a,2a,从而 2a2,a2. 变式： 如 fxx 36ax 在区间 2,2单调递减,就 a 的取值范畴是？名师总结 精品学问点点评 fx的单调递减区间是 2,2 和 fx在2,2上单

9、调递减是不同的, 应加以区分本例亦可用 x2 是方程 f x3x 26a0 的两根解得 a2. 例 2.3 （补充）如函数 f x log 1 x 3 ax 在 ,3 2 上单调递减,2就实数a的取值范畴是（）A9,12 B4,12 C4,27 D9,27 答案： A 温故知新 P23 第 9 题如函数fxlog1x2ax3 a 在区间上是增函数 , 2a 的取值范畴是2,上单调递减,就实数在区间2,8、设函数fxax1x2 a那么 a 的取值范畴是答案 : 1,fx名师总结精品学问点10、设函数x x ax ax 在区间 1,内单调递减 , （2）如a0且 f求 a 的取值范畴 . 答案 :

10、 1,（五）抽象函数的单调性例 1.（补充） 已知 fx为 R 上的减函数,那么满意f|1 |f1的实数 x 的取值范畴是 xA1,1 B0,1 C1,00,1 D, 11, 答案： C 解析：由于 fx为减函数,f|1 x|1,就|x|1且 x 0,即 x1,00,1练习：yf名师总结精品学问点x 是定义在1,1 上的增函数,解不等式f1xf1x2答案： 0,1留意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解例 2.函数f x 的定义域为0,且对一切0；x0,y0都有fxf x fy,当x1时,有f y（1） 求f1的值；（2） 判定f x 的单调性并加以证明；（3） 如f42,求f x 在 1,16 上的值域