高二数学教案：《圆的切线的性质及判定定理》（新人教A版选修4-1）

1、三圆的切线的性质及判定定理课标解读1.掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题2.掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切.1切线的性质定理及推论图231(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径如图231，已知AB切O于点A，则OAAB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线1“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径”这句话对吗？为什么？【提示】正确如图AB、CD分别切O于E、F，连接EO并延长交CD于F，AB是O的切线，OEAB.ABCD，OFCD，F为

2、切点，F与F重合，即EF是O的直径2判定直线与圆相切共有哪几种方法？【提示】判定直线与圆相切共有三种方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线3从圆的切线的性质定理及推论，你能得出怎样的结论？【提示】分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个垂直于切线；过切点；过圆心于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径圆的切线性质的应用图232如图232所示，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DA

3、B，ADCD.(1)求证：OCAD；(2)若AD2，ACeq r(5)，求AB的长【思路探究】(1)要证OCAD，只需证明OCCD.(2)利用ADCACB可求得【自主解答】(1)如图所示，连接BC.CD为O的切线，OCCD.又ADCD，OCAD.(2)AC平分DAB，DACCAB.AB为O的直径，ACB90.又ADCD，ADC90，ADCACB.eq f(AD,AC)eq f(AC,AB)，AC2ADAB.AD2，ACeq r(5)，ABeq f(5,2).1利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系2常作的辅助线：(1)连接切点与圆心的半

4、径(2)构造直径所对的圆周角如图233，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于D，过D作O的切线交AC于E.求证：DEAC.图233【证明】如图，连接OD、AD.AB为O直径，ADBC.ABAC，即ABC为等腰三角形，AD为BC边上的中线，即BDDC.又OAOB，OD为ABC的中位线ODAC.DE切O于D，ODDE.DEAC.圆的切线的判定如图234，AB是O的直径，AE平分BAF交O于点E，过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是O的切线图234【思路探究】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：过半径的外端；该直线与某

5、一条半径所在的直线垂直【自主解答】如图，连接OE.OAOE，12.又AE平分BAF，23.13，OEAD.ADCD，OECD.CD与O相切于点E.1解答本题的关键是证明OECD，而已知ADCD，故只需证明OEAD.2判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”图235(2013洛阳模拟)如图235，直角梯形ABCD中，AB90，ADBC，E为AB

6、上的点，DE平分ADC，CE平分BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？【解】如题图，过E作EFCD于F，DE平分ADC，CE平分BCD，AB90，AEEFBEeq f(1,2)AB.以AB为直径的圆的圆心为E，EF是圆心E到CD的距离，且EFeq f(1,2)AB，以AB为直径的圆与边CD是相切关系.圆的切线性质和判定定理的综合应用如图236，AB为O的直径，D是eq xto(BC)的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线BF交AD的延长线于点F.图236(1)求证：DE是O的切线；(2)若DE3，O的半径为5，求BF的长【思路探究】(1)利用圆的切线判定定理证明(2)作DGAB

7、于G，利用ADGAFB求解【自主解答】(1)连接OD，D是eq xto(BC)中点12.OAOD，23，13，ODAE.DEAE，DEOD，即DE是O的切线(2)过D作DGAB，12，DGDE3.在RtODG中，OGeq r(5232)4，AG459.DGAB，FBAB，DGFB.ADGAFB，eq f(DG,BF)eq f(AG,AB).eq f(3,BF)eq f(9,10)，BFeq f(10,3).1解答本题(2)的关键是作出辅助线DGAB于G，然后利用三角形相似求解2对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果已知

8、如图237，A是 O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OCBC，ACeq f(1,2)OB.图237(1)求证：AB为O的切线；(2)若ACD45，OC2，求弦CD的长【解】(1)证明：如图，连接OA，OCBC，ACeq f(1,2)OB，OCBCCAOA，ACO为等边三角形，O60，B30，OAB90，AB为O的切线(2)作AECD于点E，O60，D30.又ACD45，ACOC2，在RtACE中，CEAEeq r(2)，在RtADE中，D30，AD2eq r(2)，DEeq r(6).CDDECEeq r(6)eq r(2).(教材第32页习题2.3第3题)如图238，AB是

9、O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是O的切线图238(2013江苏高考)图239如图239，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.【命题意图】考查圆的切线性质、相似三角形的判定与性质考查推理论证能力及分析问题、解决问题的能力【证明】连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.所以eq f(BC,OD)eq f(AC,AD).又BC2OC2OD，故AC2AD.1AB是O的切线，能确定CDAB的条件是()AOCDBCD过切点COCD，且CD过切点 DCD是O

10、的直径【解析】由切线的性质定理知，选项C正确【答案】C2.图2310如图2310所示，直线l与O相切，P是l上任一点，当OPl时，则()AP不在O上BP在O上CP不可能是切点DOP大于O的半径【解析】由切线性质定理的推论1，经过圆心O垂直于切线l的直线必过切点，故P为切点，应选B.【答案】B图23113如图2311，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若A40，则APB等于()A25B20C40 D35【解析】如图，连接OP，AP为圆O的切线，OPA90，A40，AOP904050.OPOB，OPBeq f(1,2)(18050)65.APBOPAOPB906525.【答案】A4如图

11、2312，AB是半圆O的直径，BAC30，BC为半圆的切线，且BC4eq r(3)，则点O到AC的距离OD_.图2312【解析】如图，BC为半圆的切线，ABBC.又BAC30，C60.设AC交半圆O于E，连接BE，则BEAC，CBE30，ECeq f(1,2)BC2eq r(3)，BEeq r(BC2EC2)eq r(4r(3)22r(3)2)6，ODeq f(1,2)BE3.【答案】3一、选择题1下列说法：与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线其中正确的有()ABC D【解析】根据切线的定

12、义及判定定理知正确【答案】C2AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于D，AB6，BC8，则BD等于()A4B4.8C5.2D6【解析】AB是O的直径，BC是O的切线，ABCB，BDAC.ACeq r(AB2BC2)10，BDeq f(ABBC,AC)eq f(68,10)4.8.【答案】C图23133如图2313所示，O是正ABC的内切圆，切点分别为E、F、G，点P是弧EG上的任意一点，则EPF()A120 B90C60 D30【解析】如图所示，连接OE、OF.OEAB，OFBC，BEOBFO90.EOFABC180.EOF120.EPFeq f(1,2)EOF60.【答案】C图23144

13、如图2314所示，AC切O于D，AO的延长线交O于B，且ABBC，若ADAC12，则AOOB()A21 B11C12 D1【解析】如图所示，连接OD、OC，则ODAC.ABBC，ODCOBC90.OBOD，OCOC，CDOCBO.BCDC.eq f(AD,AC)eq f(1,2)，ADDC.BCeq f(1,2)AC，又OBBC，A30，OBODeq f(1,2)AO，eq f(AO,OB)eq f(2,1).【答案】A二、填空题5.图2315(2013开封模拟)如图2315，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，O分别与边AB、AC相切，切点分别为E、C.则O的半径是_【解析】连接O

14、E，设OEr，OCOEr，BC12，则BO12r，ABeq r(12252)13，由BEOBCA，得eq f(BO,AB)eq f(OE,AC)，即eq f(12r,13)eq f(r,5)，解得req f(10,3).【答案】eq f(10,3)6(2012广东高考)图2316如图2316所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.【解析】连接OA.AP为O的切线，OAAP.又ABC30，AOC60.在RtAOP中，OA1，PAOAtan 60eq r(3).【答案】eq r(3)三、解答题图23177如图2317，AB

15、是O的直径，BAC30，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECFE.求证：CF是O的切线【证明】如图，连接OC，AB是O的直径，ACB90.BAC30，ABC60，又OBOC.OCBOBC60，在RtEMB中，EMBE90，E30.EECF，ECF30，ECFOCB90.又ECFOCBOCF180，OCF90.CF为O的切线8如图2318，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB于E，POCPCE.图2318(1)求证：PC是O的切线；(2)若OEEA12，PA6，求O半径【解】(1)证明：在OCP与CEP中，POCPCE，OP

16、CCPE，OCPCEP.CDAB，CEP90，OCP90.又C点在圆上，PC是O的切线(2)法一设OEx，则EA2x，OCOA3x.COEAOC，OECOCP90，OCEOPC，eq f(OC,OE)eq f(OP,OC).即(3x)2x(3x6)，x1，OA3x3，即圆的半径为3.法二由(1)知PC是O的切线，OCP90.又CDOP，由射影定理知OC2OEOP，以下同法一9如图2319，AD是O的直径，BC切O于点D，AB、AC与圆分别相交于点E、F.图2319(1)AEAB与AFAC有何关系？请给予证明；(2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？【解】(1)AEABAFAC.证明：连接DE.AD为O的直径，DEA90.又BC与O相切于点D，ADBC，即ADB90，ADBDEA.又BADDAE，BADDAE，eq f(AB,AD)eq f(AD,AE)，即AD2ABAE.同理AD2AFAC，AEABAFAC.(2)(1)中的结论仍成立因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D，则ADB90.AD为圆的直径，AEDADB90.又DAEBAD.ABDADE.eq f(AB,AD)eq f(A