吉林省长春市东北师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次摸底考试理科数学试题

1、 2021-2022学年上学期东北师大附中高三年级第一次摸底考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目求的）1. 已知集合，或，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C ，D. ，3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 5. 2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初

2、有只，则经过多少天能达到最初的16000倍?（参考数据：，）（ ）A. 191B. 195C. 199D. 2036. 已知定义在上的函数是奇函数，且满足，则（ ）A. B. 2C. D. 37. 已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（ ）A. 7B. C. D. 48. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）A B. C. D. 9. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数在下列区间上是减函数的是A. B. C. D. 10. 已知，则（ ）A. B. C. D. 11. 已知偶函数的定义域为，对，且当时，若函数在上恰有6个零点，则实数的取值范围

3、是（ ）A. B. C. D. 12. 设实数，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分，）13. _14 已知，则_15. 已知函数，关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是_.16. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列说法正确的是_.；.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）求函数的值域.18

4、. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c7，sin C.（1）若cos B ，求b的值；（2）若ab11，求ABC的面积19. 如图，是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20. 椭圆与抛物线有一个公共焦点且经过点.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点，是否存在点满足，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由21. 已知函数在点处切线的斜率为1.（1）求的值；（2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正

5、半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求的值.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围. 2021-2022学年上学期东北师大附中高三年级第一次摸底考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目求的）1. 已知集合，或，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合，再由交集和补集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合，或，所以，因此.故选：C.

6、2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定可出结论.【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：A.3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分母不为0，开平方不小于0，对数的真数大于0，列不等式组求解即可详解】解：由已知，解得：，故选A【点睛】本题考查函数定义域的求解，主要关注分母，对数的真数，根号等的范围问题，是基础题4. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求函数的定义域，令在是单调递增，根据复合函数单调性，只需求出在定义域内的

7、递增区间，即可求解.【详解】有意义，需，即，定义域为.在是单调递增，二次函数，对称轴为，开口向下，单调递增，故函数的单调递增区间为故选：D5. 2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有只，则经过多少天能达到最初的16000倍?（参考数据：，）（ ）A. 191B. 195C. 199D. 203【答案】C【解析】【分析】设过天能达到最初的16000倍，由已知可得，然后结合对数的运算性质即可求解【详解】设过天能达到最初的1

8、6000倍，由已知可得，所以，又，故天能达到最初的16000倍故选：6. 已知定义在上的函数是奇函数，且满足，则（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题设条件，求得，得到函数是以3为周期的周期函数，进而得到，即可求解.【详解】由题意，函数为上的奇函数，可得，又由，可得，进而得到，所以函数是以3为周期的周期函数，则，又由，可得，所以.故选：B.7. 已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（ ）A. 7B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】求出导函数代入-1可得切线的斜率，计算出可得切点，从而得到切线方程，利用切线与y轴的交点可得可得答案.【详解

9、】因为，所以，所以切点为，切线方程为，令，则，所以，解得，所以切点的纵坐标为.故选：C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，关键点是求出切线方程得到参数a的值，考查了学生的计算能力.8. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，不满足条件；对于B选项，函数的定义域为，不满足条件；对于C选项，函数的定义域为，函数为偶函数，当时，则，不满足条件；对于D选项，函数的定义域为，函数为偶函数，当时，则，满足条件.故选：D.9. 将函数的

10、图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数在下列区间上是减函数的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先把化为，再根据图象变换得到的解析式，从而可求该函数的单调减区间，故可得正确的选项.【详解】,故，令，故，所以的减区间为，取得的减区间为，而，故选：C.【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中，再利用正弦函数或余弦函数的性质结合复合函数的研究方法来研究的性质.10. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数并结合对数函数的性质和不等式的基本性质研究函数的单调性，进而可得的大小关系.【详解】令，则,由于当时，为上的单调递减函数，即.故选：A.

11、11. 已知偶函数的定义域为，对，且当时，若函数在上恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可令，求出以及函数的周期为2，然后根据题意得出的图像与有6个不同的交点，最后画出函数和函数的图像，结合图像并计算即可得出结果.【详解】令，则，即，故，即函数的周期为2，因为恰有6个零点，当时，所以，的图像与有6个不同的交点，因为和均为偶函数且，所以的图像与在上有三个不同的交点，画出函数和的图像如下图所示，由图可知：则，即，解得，故选：B【点睛】本题考查根据函数的零点数目求参数的取值范围，可将函数的零点数目转化为两个函数的交点数目，考查函数的奇偶性以

12、及周期性，考查对数函数的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题.12. 设实数，若对任意，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值，所以，即实数m的取值范围是.故选：B第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321

13、题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分，）13. _【答案】【解析】【分析】直接利用微积分基本原理求的值.【详解】根据题意得 =.故答案为【点睛】本题主要考查微积分基本原理求定积分，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式求得，利用诱导公式求解，再代入计算即得结果.【详解】因为，所以，故.故答案为：.【点睛】思路点睛：给角求值问题，一般寻找所求角和已知角之间的关系，结合三角恒等变换或诱导公式转化求值.15. 已知函数，关于的方程有5个不同的实数根，

14、则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用导数得到函数在的单调性和极值，画出函数的大致图象，令，则，因式分解求得，由函数的图象则只需：，求出实数的取值范围【详解】当时，则，令得：， 当时，单调递增，当时，单调递减；且，又，故函数的大致图象如图所示：，令，当或或时，方程有一个解；当或时，方程有两个解；当时，方程有三个解；当时，方程无解；又关于的方程化为关于的方程，又所以的两根为，关于的方程恰好有5个不相等的实根，则只需：，所以故答案为：16. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列说法正确的是_.；.【答案】【解析】【分析】由函数和互为反函数，可得，利用均值不等式可判断 ；利用，构造函

15、数可判断；利用均值不等式可得，构造函数，求导研究单调性可判断；由，可得可判断【详解】因为函数和互为反函数，所以函数和的图象关于直线的对称，又因为直线的斜率1与直线的斜率的乘积为，因此直线与直线互相垂直，显然直线也关于直线对称，解方程组，所以直线和的交点坐标为：，有，.对：因为，所以，因此本选项正确；对：因为，关于对称，所以有，因此有，点在直线上，而，所以，因此，显然函数在上是单调递增函数，所以当时，有，故本选项正确；对：因为，所以，因此有，设函数，因为，所以因此函数是单调递增的，当时，有，即，因此有，故本选项不正确；对：因为，关于对称，所以，因此，所以，即，故本选项正确；故答案为：三、解答题（

16、本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可得出，由此可求得实数的值；（2）设，可得出，由可得出关于不等式，解出的取值范围，即为函数的值域.【详解】（1）函数为奇函数，则，因为，即，对任意的恒成立，故；（2），设，可得，由，解得或.因此，函数的值域为.18. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c7，sin C.（1）若cos B ，求b的值；（2）若ab11，求ABC的面积【答案】（1）b5；（2）6.【解析】【分析】（1）由正弦定

17、理计算；（2）由余弦定理及求得，再由面积公式计算面积【详解】（1）在ABC中，因为cos B，且B，所以sin B，根据正弦定理，及c7，sin C，解得b5.（2）在ABC中，因为sin C，所以cos C.当cos C时，根据余弦定理c2a2b22abcos C，及ab11，c7，得491212ab，所以ab30，所以解得或.所以ABC的面积SABCabsin C6.当cos C时，根据余弦定理c2a2b22abcos C，及ab11，c7，得ab45，此时方程组无解综上，ABC的面积为6.19. 如图，是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【

18、答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为平面，面，所以.因为是正方形，所以又，面，面，故平面（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.因为平面，且与平面所成角为，即，所以，由已知，可得，.则，所以，.设平面的法向量为，则，即.令，则因为平面，所以为平面的法向量，.所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力

19、.20. 椭圆与抛物线有一个公共焦点且经过点.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点，是否存在点满足，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）存在，或.【解析】【分析】（1）由题意，椭圆的，再代入，联立即得解，再由即可得离心率；（2）由题意，R为的重心，将直线与椭圆联立，借助韦达定理可得，且在圆上，代入可得，由可得，代入可得，结合的范围可得解.【详解】（1）由题意，抛物线的标准方程为，抛物线焦点坐标为即在椭圆中，将点代入曲线的方程，得由得，则椭圆的方程为则椭圆的离心率（2）存在符合要求的点.直线与椭圆相交于，两点，联立方程，整理得设，两点

20、坐标为，则，得点满足且，的重心在圆上，即，即，令，则，则，或21. 已知函数在点处切线的斜率为1.（1）求的值；（2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）-1；（2）.【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，由，即，即可求解的值.（2）由对任意，都有，转化为对任意，都有，设，利用导数求得函数在上单调性，可得，设，利用导数求得函数的单调性与最值，进而可得到答案.【详解】（1）由题意得，由于，所以，即.（2）由题意得，当时，则有.下面证当时，对任意，都有.由于时，当时，则有.只需证明对任意，都有.证明：设，则，所以在上单调递增；所以当时，即，所以，则.设，则.设，则.由于当时，；当时，；则当时，.又时，所以当时，则，所以在上单调递增.当时，则，即，所以在上单调递增.当时，则.所以对任意，都有所以，当时，对任意，都有.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化