07.problems collection volume x spoj1815解题报告中山一中

1、Problems Collection (Volume X) 解题中山一中目录题目描述2题目来源2对问题一的解答3对问题二的解答3对问题三的解答4对问题四的解答4对问题五的解答5对问题六的解答5对问题七的解答6对问题八的解答7对问题九的解答8对问题十的解答9最终.9总结10感谢10题目描述本题没有输入，输出包括十行，依次为下列十个问题的。问题一. 已知多项式P(x)= x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 对k=1、2、3、4 均有P(k)=2007*k，求 P(10)-P(-5)。问题二. 100 个正整数a1, a2, , a100 的和是 2007，求 1i100 ai aj

2、ak的最大值。问题三.问题四.问题五.数的积。计算 100101102499500 模 126 的值。记等比数列ai的前n 项和为Sn，已知 S7=7, S14=2014，求 S7*(S21-S14)。计算所有满足下面要求的整数n(n4)：n!可以写成 n-3 个连续正整问题六.考虑直角坐标系，一个正方形的两个顶点在直线 y=2x-17 上，其余两个点在抛物线 y=x2 上，求所有这样的正方形的面积和。问题七. A、B、C、D 是空间中不共面的四定点，求以这四点为顶点的平行六面体的个数。问题八. 已知多项式x2-x-1 恰好能整除多项式 a1x17+a2x16+1，求 a1*a2。求sinco

3、t tan x cot x 的最小值，其问题九.tansin x cot xs中x 是锐角。111问题十. x, y, z 为实数满足xy+yz+zx=1 且 5(x+x )=12(y+y)=13(z+z)，设 m 和 n 是互质的正整数满足 x +y +z =n ，求 n+m。m444题目来源Sphere Online Judge (SPOJ), 1815. Problems Collection (Volume X), WA对问题一的解答问题一. 已知多项式P(x)= x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 对k=1、2、3、4 均有P(k)=2007*k，求 P(10)-P(-

4、5)。虽然直接将k 值数代入就可以得到 4 条方程，足以解出四个未知量，但由于系数都较大，试着寻找更简便的方法。令Q(x) = P(x)-2007x，那么方程Q(x) = 0 为五次方程，且有四个根 1、2、3 和4。设Q(x) = 0 的第五个根为 x0，则Q(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-x0)，于是有P(10)-P(-5) = Q(10) - Q(-5) + 2007*15= 9*8*7*6*(10-x0) (-6)*(-7)*(-8)*(-9)*(-5-x0) + 30105= 3024*(10-x0+5+x0) + 30105= 3024*15 +

5、30105= 75465对问题二的解答问题二. 100 个正整数a1, a2, , a100 的和是 2007，求 1i100 ai ajak的最大值。因为顺序不影响目标值，不妨设所有数是按升序排列的。假设当前的正整数是a1, a2, , a100，目标函数值为S。若存在i0，即新数列比旧数列优，该调整能使方案变优。不断调整，最终得到的数列必然是 20, 20, , 20, 21, , 21，可计算得所求值为 1307223995。对问题三的解答问题三. 计算 100101102499500 模 126 的值。当然，如果有电脑可以写个程序直接算啦，是 6。总的感觉这题作为一题数学题还是比较麻烦

6、的。首先模 126 就比较难搞，分解质因数得 126=2*32*7，那么可以分别算原数模 2、模 9 和模 7 的余数，然后再解出最终。然后，原数可化为 400 100 + i 1000400i ，该数列的每一i=0一个数是会有循环的，然后简化了计算（不知能不能用计算器）。对问题四的解答问题四. 记等比数列ai的前n 项和为Sn，已知 S7=7, S14=2014，求 S7*(S21-S14)。由定义= a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7，S7S14-S7= a8+a9+a10+a11+a12+a13+a14，= a21+a20+a19+a18+a17+a16+a15，S21-S14由等

7、比数列性质知 S7，S14-S7，S21-S14 成等比数列，则：S7*(S21-S14)= (S14-S7)2=(2014-7)2=4028049。对问题五的解答问题五. 计算所有满足下面要求的整数n(n4)：n!可以写成 n-3 个连续正整数的积。对n24，假设满足，不妨设 n! = k(k+1)(k+n-4)。有：若k4，则 1 k(k+1)(k+n-4)； 若k5，则 5k，6k+1，nk+n-5，1*2*3*4k+n-4，有 n! 24 一定不满足题意。对n24 逐个验证，得 4、6、7 与 23 满足题意。故最终为 40。对问题六的解答问题六. 考虑直角坐标系，一个正方形的两个顶点

8、在直线 y=2x-17 上，其余两个点在抛物线 y=x2 上，求所有这样的正方形的面积和。注意到直线和抛物线不相交，那么正方形在直y线上的两顶点必然相邻，在抛物线上的两顶点也相邻。设正方形在抛物线上两点是 A、B，在直线 y=2x-17 上的两点是C、D。如图 A 所示。ABCD，不妨设 AB 所在直线是y=2x+b，A、ADBCB 坐标分别为(x ,y )和(x ,y )。又设正方形边长是 d，1122Ox由直线距离公式得b+17d= 5y = x2y = 2x + b联立直线 AB 与抛物线方程有 图A，即x2-2x-b=0定理知 x1 + x2 = 2由x1 x2 = b则|AB|= (

9、x1 x2)2 + (y1 y2)2= (x1 x2)2 + 4(x1 x2)2= 5(x1 + x2)2 4x1x2= 5(4 + 4b)2由|AB|=d 得 5(4+4b)=(b+17)5化简得 b2-66b+189=0解得b1=63，b2=3702022故d1=，d2=，所求值为d1 +d2 =1360。 5 5对问题七的解答问题七. A、B、C、D 是空间中不共面的四定点，求以这四点为顶点的平行六面体的个数。定义中截面的概念。一个平行六面体的中截面定义为到六面体四个顶点距离相等的平面。那么，只需要三个交于一点的中截面和一个不在面上的顶点就可以确定一个平行六面体。对A、B、C、D 这平面

10、上不共面四点，目标六边形的中截面到这四个点的距离同样相等，那么有如下几种情况：四个点均在中截面的一边。但由于四点不共面，所有该情况不成立；三个点在中截面的一边，另一个点在中截面另一边。该情况有C1=4 种中截4面；两点在中截面一边，另两点在另一边。该情况有C2/2=3 个中截面。4故总共有 7 个可能的中截面，即选定 3 个中截面共有C3=35 种方案。7但是，三个中截面必须交于一点。因为 AB、AC、AD、BC、BD、CD 两两不平行，而其中任一直线都与三个中截面相平行，故每条直线对应一个不合法方案，总共 6 个。所以最终为 35-6=29。对问题八的解答问题八. 已知多项式x2-x-1 恰

11、好能整除多项式 a1x17+a2x16+1，求 a1*a2。设a1x17+a2x16+1 = (x2-x-1) (b17x17+b16x16+b1x+b0)将右式展开为b17x19+(-b17+b16)x18+(-b17-b16+b15)x17 +(-b2-b1+b0)x2+(-b1-b0)x+(-b0)列得方程组有(1)(2)(3)(4)-b0=1-b1-b0=0-b2-b1+b0=0-b3-b2+b1=0(16)(17)(18)(19)(20)-b15-b14+b13=0-b16-b15+b14=a2-b17-b16+b15=a1-b17+b16=0b17=0由(1)得 b0=-1，代入(

12、2)得 b1=1。将b0、b1 代入(3)得 b2=-2；将b1、b2 代入(4)得 b3=3；将b12、b13 代入(15)得 b14=-610；将b13、b14 代入(16)得 b15=987.由(20)b17=0，代入(19)得 b16=0.据(18)得 a1=-b17-b16+b15=987，a2=-b16-b15+b14=-1597.综上，得出a1*a2=987*-1597=-1576239.对问题九的解答cot tan x cot x 的最小值，其求sin问题九.tansin x cot xs中x 是锐角。11原式 = (sin) +1tan 1)(tan由不等式) 22 4(s(

13、cos) 22 4即11cot4cos x cot xs11cot4sin x cot xcos故4(sincot x)原式= 4 cot xs又当cot xtan xssin时所有等式成立，可解得 x 。4综上所述，所求最小值为 4。对问题十的解答111问题十. x, y, z 为实数满足xy+yz+zx=1 且 5(x+x )=12(y+y)=13(z+z)，设 m 和 n 是互质的正整数满足 x +y +z =n ，求 n+m。m444显然x，y，z 同号。1yz11由xy+yz+zx=1 得x= y+z ，代入 5(x+x )=12(y+y)得y2 +11yz y+z y2+1 (z2

14、+1)12y =5( y+z +1yz )=5 y+z (1yz )即 5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz)同理得 5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz)整理得 12y2z+17yz2=7y+12z，18y2z+13yz2=13y+8z两式相加的 30yz(y+z)=20(y+z)2故yz=3，代入原式解得z=1 或-11 21 2所以(x,y,z)有两组解( , ,1)和(- ,- ,-1)5 35 3所求为 111331最终提交WA.txt1.2.3.4.5.6.7.8.9.1075465402804940136029-15762394111331总结本题是众多OJ 中少有的提交题之一，而题目内容又多为数学题。其实学科间本是相通，尤其是信息学与数学，这也是我写这份解题的其中一个原因。这几个问题多是一些经典的数学问题，但其解决方法和解题思路对OI 都很有启发性。另外，很多题目本身也可以通过编程解答，像问题一可以直接写消元解方程组，问题二可以用随