第六部分自由电子气体-总结与习题指导

1、第六部分章电子气体-总结与习题指导内容提要1金属电子论的物理模型金属电子论对于解释金属，特别是简单金属的许多重要物理性质非常成功其基本假定是(a)电子近似：当金属原子成为金属晶体时，原子的价电子脱离了原子而在金属晶体中运动金属电子论认为，离子实对电子的作用是可以忽略不计的，离子实的作用仅仅是维持整个金属晶体的电中性(b)独立电子近似，金属电子论忽略了电子与电子间的相互作用弛豫时间近似：假定电子在时间内受到一次碰撞的几率为1 ， 称(c)为弛豫时间电子通过碰撞和周围环境达到热平衡，电子经过每次碰撞后，其速度的方向是随机的，速率的大小由碰撞处的局部温度决定碰撞的和碰撞时电子的状态无关早期的金属电子

2、论(Drude)模型把金属中的传导电子看作电子论电子经典气体，服从统计；近代(Sommerfeld)模型把金属中的传导电子看作克统计电子气体，服从-2-统计在温度 T 下，能量为 的状态被电子占据的几率为1e kBT 1f (6.1)式中 是电子气体的化学势，它是温度的函数，在绝对零度时， F ， F 是电子气体的能力.电子气体的能级和状态密度3三维电子波函数 k r 满足单电子方程2222 r rxy2(6.2) k2m k k22z1在周期性边界条件下，波函数具有行波形式1Vr eik r (6.3)k式中 V 是晶体体积，k 取一系列分立值 2 n 2 n 2 nkkk(6.4)xxyy

3、zzLLLnx , ny , nz 0, 1, 2,电子的能量为2 k 222mk k k22k2(6.5)xyz2m动量为p k速度为(6.6)v km电子在(6.7)空间中的等能面是球面空间中的一个点平均占体积2 L3 代表自旋相反的两个状态，可以容纳自旋相反的两个电子电子的状态密度 g 定义为体积的晶体在能量间隔中的状态数，故1 在能量范围 d 中的状态数g d (6.8)V三维电子的状态密度为m2m , 0 0 g (6.9)2 220,如图 6.1 所示.24电子在基态下的性质对于由 N 个电子组成的系统，基态(绝对零度)下被电子占据的状态可以的半径kF 称为用空间中一个球内的点来表

4、示，这个球称为球量，kF 3 n21 3 仅决定于电于浓度 n通常(6.10)用无量纲量rs r0 a0 表示电子浓度， r0 定义为体积等于每个电子平均所占体积的球体的半径，即V14 r30Nn31 3 3r (6.11)0 n4a0 是半径， a0 me2 0.529 108 cm . 于是, 式(6.10)又可写为 3.63 -1k(6.12)Frs面是基态下电子所填充到的最高等能面电子面是球面面把基态下空间中已被电子占据的状态和未被电子占据的状态分开由于泡利原理的限制，远离面的电子被冻结，只有面附近的电子才在低能激发中是活跃的所以，只有面附近的电子才决定金属的动力学性质面上电子的能量称

5、为能量 F ，22m22m2 3 nk 223(6.13)FF3 50.1eV(6.14)Fr 2s面上电子的速度称为速度， kF 3 2n1 3 v(6.15)Fmmv 4.20 108 cm s1(6.16)Frs温度由能量定义 FT(6.17)FkB面附近电子的状态密度为 2m 3 2 1g 1 2 (6.18)FF222g F 3n2 F(6.19)电子的状态密度 g 和分布函数 f ，很容易计算出基态下三维自用由电子气体的能量密度， U0V3 g d nFu(6.20)0F5电子气的压强为 U 2 u3P 0(6.21)V0N体弹性模量为2 nB (6.22)FV35电子气体的热学性

6、质电子的状态密度和分布函数，电子的能量密度为d 3k u 4 3电子浓度为f k d g f (6.23)d 3k n 4 3f k d g f (6.24)展开式(见例题 63 中的附注)计算以上的积分.通常可以借助4由 u 和 n 的积分，计算出电子的热容为 2 k T u CV V el B NkB(6.25)2 F T n电子数， N nV .约为经典值的 0.01 倍. 式中 N 是低温下金属的热容可以写为电子热容和点阵热容之和， Cel ClCVVV(6.26)3其中 和 A 是两个常量.6电导和欧姆定律在外加恒定电场下，中间中的电子以均匀的速率漂移考虑到电子所的碰撞，稳态下的位移

7、为 k eE 其中 为弛豫时间.v k(6.27) k 决定电子的漂移速度（平均速度）v(6.28)m由此可以导出电子的电导率为 ne 2(6.29)m其中弛豫时间 主要由电子声子和电子杂质缺陷间的碰撞决定根据马提生(Matthiessen)定则，在杂志缺陷浓度不太高时，各种碰撞机制可以独立处理，1 1 1(6.30)li其中1 l 和1 i 分别是电子声子，电子杂质缺陷的碰撞几率. 于是对含有少量杂志缺陷的金属，电阻率可以写为两部分之和 l T i(6.31)其中 l T 是热声子所引起的电阻率， i 是剩余电阻率，由静态缺陷次定7电子在外加磁场中的运动经典近似下，电子在外加电磁场中的漂移动

8、量 p 满足如下方程式dp t p t F t (6.32)dt5其中 p t mv t , v t 是电子的漂移速度， 是弛豫时间，F t 是外力. p t 相当于电子碰撞而引入的摩擦阻力.在外加电磁场下F t e E 1 v H CGS(6.33)c电子漂移速度所满足的方程式为m d 1 v e E 1 v H (6.34) dt c由此方程可以导出金属的霍尔系数，1CGSSIR Hnec(6.35)R 1Hne用电子的漂移速度方程，联同方程组，可以导出电子气体的等离子振荡频率p ，并8金属热导率金属的光学性质用电子模型，可以导出电子的热导率 LT并求出(6.36)数 L， 2 k2L B

9、 (6.37)3e9热电子发射当金属受热时，分布中能量较高的电子将获得足够高的能量从而逸出金属表面用电子模型可以计算出热电子发射的电流密度为j AT 2e kBT (6.38)式中 是金属的功函数，A 是常量.6例题61电子的能量(a) 导出绝对零度下金属电子能量的表达式；(b) 一个简单立方点阵的单价金属，已知点阵常数a 3 ，每个原子只贡献一个传导电子试计算能量 F 、的波长；矢kF 、温度TF 及面上电子(c) 计算简单立方点阵第一解(a) 金属中的电子浓度为区中放电子填充的状态所占的分数 n g dF其中 g 是电子状态密度，2m ,g m 0 02 22 0,于是有m2 22mF0n

10、 d1 2222m2 3 n32F(b)首先求出电子浓度 n，113108 3n 3.704 1022 cm3a3于是kF 3 n 1.03110 cm21 381能量为2 2 k 4.05eVF 2mF温度TF 为7 F 47, 000KTFkB面上电子的波长为 2 6.094 108 cm 6.094 FkF区是一个边长为 2 的立方体，其体积为a(c)简单立方点阵的第一 2 38 3a3BZ a电子的半径为1 3 231 3 k 3n2Fa3的体积为 44 3a3kF 3FS3第一区中被电子占据的状态所占的分数为4 3a312 FS 8 3a3BZ第一区中有一半状态被电子占据62(a)证

11、明三维电子气体基态下的动能，压强和体弹性模量电子气体基态下的动能为U 3 N0F5N 是电子数， N nV ；(b)证明基态下电子气体的压强与体积的关系为P 2 UV03(c)证明基态下电子气体的体弹模量为B 5P 3 10U9V 2 n0F3(d)估计钾电子气体对 B 的贡献解82 k 2V 2k 5V43 k k(a) U0 dkF2m10m2F矢kF 为电子1 3 N k 3 2 VF于是电子气体基态下动能为3 N 2k 23U0 F N F(1)10m5 U ，由于U 3 N， 正比于 k 2 ， k 2 仅仅通过因子p (b)0V0FFFFN5 N V 2 3 依赖于体积V，由此得到

12、2 U 2 U0P 0(2)3 V3 V(c) 体积弹性模量 B V P ，由于U V 23 ，由式(2)，压强 P 正比于V 53 ，0V于是有B 5 P 10 U0 2 n(3)F39 V3N这里n 是电子浓度，若用无量纲量r 表示电子浓度，则有sV 6.13 5B 109 N m2(4)rs(d)钾的 rs4.86，代入式(4)，得B 3.18109 N m263电子气体的热容和化学势试用分布函数证明白出电子气体的化学势 随温度变化的关系为2k T 2 F 1 B 12 FT 2 k 与 F 之差仅仅在 B 的数量级， F证明在有限温度下，电子气体能量密度的表达式为9 26kBT g F

13、 2u u0 证明电子的热容为 2 k T CV B NkB2 F电子的能量， u0 是基态下的能量密度， g F 是这里 F 是面附近3n的状态密度， g ， N nV 是电子总数.2FF解在温度 T，电子气体的能量密度为 u g f d(1)f 是分布函数， g 是状态密度，其中1e kBT 1f (2)m 2m 1 2 g 0, (3)2 22, 0 0电子气体的化学势 由电子浓度 n 决定， n g f d(4)一般说来，要计算 u 和 n 形式的积分比较，通常可以借助于展开式进展开式，对于在 附近变化不太剧烈的函数 H ，行由有H f d H d 2 2k TH B6(5)6 7 4

14、 k T kBT O B 4H360令 H g ，即可利用上式计算 u，令 H g 则可计算n，从而计算出化学势 于是，利用展开式(5)，电子能量密度为 2 g g O T g d kBT u 024(6)6电子浓度为10 2g O Tg d kBT u 024(7)6T 4 k 对于金属，通常有T F kB ，故在展开式中略去了 B 以上的高次项 FT 2 k 式(7)表明，化学势 是温度 T 的函数，在一般温度下， 和 F 相差在 B F的数量级，当 T=0 时，才有 F 下面再作详细 0为了计算积分 H d ，积分在 附近展开，修正到 T2 项，F H 00H d H d F(8)FF展

15、开式(6)、(7)中，并将 T2 项的 用 代替F把这个展开式应用到 u 和 n 的(这样作只影响到 T4 项)，于是得到 2 F g d F kBT F u 02gg6(9) 2g F O TkBT 246 2 Fg d kBT F n 02(10)g(9)、(10)两式右边第一项正是基态下的能量密度u0 和电子浓度 n， 0 g d uF(11)0 g d nF(12)0由于 n 和 T 无关(不考虑体积变化)，于是由式(10)，得 2 2 kBTgF0 (13)解得g F 2T 2 k (14)g FB6F将g F 1 代入式(14)，得g F 2 F11221 k T k T 2 F

16、1 F 1 B B (15)3 2 F12 F之差仅k T 2 的数量级室温下，这个差别在由此可以看出， 和00lFBF左右将式(11)代入式(9)中，并注意式(13)，得 26g F O TkBT 2u u0 4(16)如果将 g F 3n2 F 代入上式，并利用u 3 n(17)0F5则上式又可写为T 2 k 512u u 1 2 B 0 F (18)T 2 5 k 3n 1 2 B F 512F 将 u 对 T 求微商，得电子气体的热容 2 u CV V T Vk Tg2(19)BFn3再将 g F 之值代人，得 2 k T CV (20) B NkB2 F与经典值C 3 Nk 比较，由

17、分布函数的影响，电子气体的热容减小VB2 2 k T -2了一个因子 B ，这个因子和 T 成正比，室温下l 0 的数量级3 F气体 通常用无量纲量的r0 r0 a0 表示电子浓度，64二维电子二维情况下， r0 定义为面积等于每个传导电子所占面积的圆的半径，1 2 1n1 r r 2 n 00(a)导出二维情况下电子浓度 n 与矢kF 间的关系；12(b)导出二维情况下kF 和r0 的关系；电子的状态密度 g 在 0 时是与能量 无关的常量，在(c)证明二维 0 时为零；(d)证明，由于 g 是常量，在 n 的为零导出在任何温度均有 F ；展开式中除 T0 项外，其余各 (e)证明由n d

18、g f 可以导出T ln 1 e kBT k BF(f)由上式估计 和 F 之差，说明该误差的数字意义和误差的数学原因展开式引入该解1(a) 由 k n ，得22 2 2 n1 2 FkF(1)12(b) 由 r ，得20k 2nF2r (2)0kF12 22 kdk g k dk(c) 由于2 2 k2 kddk2mm所以1 kdk dmg d 2而mg , 0 2(3) 0, 0当 0 时， g 等于常量.(d)展开式为13H f d H d kT 2lalBl 1d 2l 1d 2l 1 H 而n g f d(4)dl H d lg H ，注意到 0(对所有的 l)，于是由今展开式得到g

19、 f dn 0当T 0 时，有 n g f dF0故对任何温度 T 有 F(5)这是由展开式得到的结论(e)知道 dg f d m n e kBT 1 20 mkBTdx 2 ex 1kBT 其中 x . 上式积分后为kBT mk Tn ln 1 exB 2 kBT mkBT ln 1 e kBT 2但T 0 时，有2mn F 222 2代入上式，得T ln 1 e kBT k FB(6)T ln 1 e kBT k FB k T k T 由于 k T 100, ln 1 e e，所以BBB14 k Te kBT FB1 k T e 10, k T eV10044(f) 由于eBB40故 F

20、10eV45由此可见， F 只有可忽略的值可以忽略的“误差”，是因为二维63)而当函数 H 不连续时，展开式之所以得到 F ，从而引入电子的状态密度在 0 处不连续(见图 H d K 不能对所有 正确地展成级数.65电子气体的热力学(a) 由热力学关系证明电子气体的熵密度为dkf ln 1 f B 4 3s k(1)其中 f 是分布函数 k 1fe k kBT 1(b) 由压强所满足的热力学关系P u TS n及式(1)导出(2)152 k 22m dkP kBT 4 3 ln 1 exp (3)k T B式(2)中的 u 是电子气体的能量密度， 是化学势，n 是电子浓度试证明式(3)表明 P

21、 是 和 T 的 52 阶P , T 5 2P , T (c) 由热力学关系P n l其中l u TS 是亥姆(Helmholtz)函数，即(4)能密度，证明 P P n s(5) T r(d) 将式(4)对 求微商，证明基态下压强与能量密度的关系式(621)对任何温度都成立，即P 2 u3(6) 时，定压热容与定容热容之比满足(e)证明，当kBT FT 2T 4k k C2p1 O BB(7)3 F FCV解(a)电子气体的巨热力学势 为 l T T ln k k ln e kBT 1BBll其中 是巨配分函数，l l ekBT 1l其中l 是第 l 能级的状态数， l 是第 l 能级的能量

22、用的求和，电子气体的巨热力学势 又可写为空间的积分代替对 l dk 4 3 k kBT 1TVln e(8)B其中162 2 k k 2m由热力学公式，熵密度 s 为exp 1 k T dkdkB kB 3 ln e1 kBT kBT s T V ,443 2V k T Bexp 1k T B令x kBT ，上式化为ln ex 1 dkx3s k(9)ex 1B4注意到分布函数1f ex 1exln e1 ln x ln f ln 1 f x(10)e 1x于是得到dk x lnxf B 4 3s kfdk x ln f 1 f x ln f f kxf 3 B4经整理，得dkf ln 1 f

23、 B 4 3s k(11)(b) 将dk 4 3 4 3f u dkn f和式(11)代入热力学关系式(2)，得到dk 1 f ln 1 f P k Tf3 B4再将式(10)代入上式，得17dkln 1 e kBT 4 3P k T(12)B现考虑 P , T ，由式(12)有dkP ,T kln 1 e kBT 4 3TB2k22 k 2选择变数 ，则有2m2mk 1 2k于是dk 3 2dk dkP ,T k k T 3T 32 ln 1 eBB4即P , T 5 2P ,T (c) 由热力学关系P g l n l(13)这里 g 是数 f)(Gi)能密度，l 是亥姆能密度(区别分布函d

24、P nd dn dl注意到l u Tsdl du Tds sdT又有热力学第二定律dV 0du Tds dn于是有dl dn sdT dP nd sdT(14)P 是, T 的函数，取全微分dP P d P dT(15) T T式(14)和式(15)相比较，得18 P P n s(16) T T(d)将式(13)对 求微商，得到P ,T P x,T x P , y yxyxyTP ,T P PTxyxyT 5 3 2P ,T 2令 1 ，有 P ,T P ,T T 5 P ,T (17)T2T将式(16)代人式(17)，得n sT 5 P2再将式(2)代入，得P u sT n 5 P2P 2

25、u(18)3这个结果对任何有限温度都成立.(c)由热力学公式 P 2T T P V V C C T(19)PV T T P V P V T将 262 3n O TkBT u u0 4 2 F代人式(18)，得到2 24n O TP V ,T kBT 2u0 4 F 3 19求偏导数后得nk 2T k T 2 2 P B 1 O B (20) T V3 F F k T 2 2 n P 1 O B (21)F F V T3 V将式(20)、(21)及电子热容公式T 2 2 k T k CV B NkB 1 O B (22)2 F F代入式(19)，得 2 k T k T 4C P 1 CV66 B

26、 O B (23)3 F F分布函数 f 对每个正的能量-统计的经典极限当 远小于 1 时，f e kBT 有(1)分布对所有的正 ，式(1)成立这时-分布简化为-玻耳的充分必要条件是e kBT 1(a)设式(2)成立，证明(2) e 3kBT 31 3 1 62mkT 1 2 r(3)0B式中r0 定义为体积等于每个传导电子体积的球的半径，431nr 301 3 3r 0 n4证明条件(2)意味着要求1 2 2r (4)T 02mkB也可以把这个看作是经典统计成立的条件(b)试问r0 所必须超过的长度意义?20(c)证明由式(4)可以导出下面的数学条件：r 105 K 1 2 0 rs(5)

27、a0T228这里a0 是半径， a0 me 0.529 10 cm .(d)-m 3速度分布为1f v (6)4 3 1expmv2 k Tk T 1B 2B 0 式中T0 是由归一化条件n dvf v决定的温度证明上式中的归一化常数m3 4 33 也可以写为3 4n m3 2 ，于是有2 k TB Ff 03 2 4 TB F f 03 T 式中 fB 是解(a)按定义-玻耳速度分布d g f n m e kBT 1当e kBT 1时，对于所有 0 有e kBT e kBT e kBT 1于是f e kBT 这就是经典的-玻耳统计将它代入到电子浓度的表达式中，得 2m 1 2 m k T n

28、 de2 2 2B 0令 x2 k T ，于是 x k T ,d 2k Txdx ，则BBB21m2mkBT 2k x2 k T dxx2eeBn T2 22B0注意到 422 xdxx e0上式又可写为T 3 2 1 2mkn e kBT B 4 2相应地r0 为34 1 2mkBT k T eB4 3 3k T eB 13 2mk T B即 e 3kBT 31 3 1 6 2mkT 1 2 r0B以上结果又可写为1r0 3k T eB31 3 1 61 2 2 2mkT B于是看到，条件e kBT 1意味着要求1 2 2r 0T 2mkB所以，这个条件也可以看作经典统计成立的条件.1 2

29、22 k 2，它近似地等于一个电子处于能量为 k kBT(b)量 2mkBT 2m的量子态时的波长T ，1 2 22T 2T 1 2 2mk 2mk T BB222于是1 2 2r 0T 2mkB也就是rs T .2半径a0 ， a0 me2 ，上述条件又可写为(c)1 2 1 2 m2e422r1 0 rs4me4aa2mk T2mk T00 BB1 2 2kBT 22me4 13.6eV ，上式又可写为再利用氢原子基态能量2ma220 13.6eV 1 2 105 K 1 2 rs k T TB3 2 3m(d) 令 I 4 n 2 k T ，将B F k 32k 2kBTF Fn F F

30、 2m3 2代入，得3 2 3k 3m2m F I 4 3 2 22 k 2F k 3m33 F k23 2 3 343m34 33F 即3 2 m34 33 3m n 2 k T 4B F -波耳速度分布为3 2 v n m2emv 2kBTf 2 k T BB 23当v 0 时，有3 2 mfB 0 n 2 kBT -速度分布为m31f v 4 3 3 1mv2 kBT1e 2当v 0 时，有m31f 0 4 33 k T 1eB其中 kBT0 ，由电子密度n dvf v 决定.由以上诸结果得到3 2 mn 2 k T f 0B B e kBT1f 03 2 3m n 42 k T B F

31、 3 2 T41 eT0 T F 3 T由于T T ，故有eT0 T 1，于是得到0f 03 2 4 TB F f 03 T67金属的内聚能作为碱金属的一个粗糙的物理模型，假设每个价电1 3 3子的电荷均匀分布在离子实周围半径为 r 的球内， r ，n 是电子浓00 n4半径，于是rs r0 a0 就成为标志电子浓度的无量纲量度用a0 表示(a) 证明绝对零度时 电子 气体中每个电子的平均动能为 me4 Ry 电子 1Ry(22.21 rs)13.59eV，是氢原子基态的能量22(b)若将离子实看作点电荷，试证明每个电子的静电能为 Ry 电子 9 ucoul5rs(c)在实际金属中，价电子大都

32、被排斥在离子实附近的一定距离之外考虑到这点，可以认为每个电子分布在环绕离子实的半径为 rc 和 r0 的两球之间的区域24内于是，用赝势代替每个离子的势，e2Vps r 0,证明(b)中的r rc r rc能应为下式所代替，,r3r2a9Ry 电子 c0ucoulr35rss这里仅修正到rc r0 的首项.(d) 每个粒子酌总能量力动能、能和交换能之和已知交换能为 0.916 r Ry 电子 证明r 的平衡值为uexss 0.82 1.82 r 1 O a2rarsc00c已知钠的 rs393，离子半径为 095将以上的计算解和此结果比较(a)电子在 0K 时的总动能为3 0 V g d NU

33、 kinF(1)0F5平均每个电子的动能为U kin2333 2n2 3 0 ukin(2)F0N55 2m将n 3 r 代入，得340 2 2 3 2 3 3 9ukin0 rr 2m0 me2 22 m me1 2.212rs即Ry 电子 2.21 r 2ukin0s(b)一个电子电荷均匀分布在半径为r0 的球内(见图 64)电荷密度为25e 43 r30于是，电子与正离子实间能为0er r dr4ucoul21r0 er2202 3e2r03e2me23me4 2 rr 222aa0000所以 3 Ry 电子ucoul1rs电子电荷均匀分布在球内的自具能为r0 4r3 4r 2 u2 0

34、coul dr3r3 e24 2 r5 0 355 r0所以 6 Ry 电子ucoul25rs电子的能为以上两部分之和26ucoul ucoul ucoul126 3 rs5rs所以 9 1 Ry 电子ucoul5 rs(c)参看图 6.5，用赝势Vps r 代替离子实势e2Vps r 0,r rcr rc,r于是电子与离子实间斥仑能为0er r drucoul421rrc e r r 2220c3 e2 r2 1 c 2 r0 r0 电子分布在半径为 rc 利 r0 的两球之间的自具能为0 41 r r r4rdrucoul3322c3rrc2 3 e5 r0这里略去了rc r0 的高次项于

35、是总静电能为ucoul ucoul ucoul123 e2 r2 3 e21 c 2 r0 r0 5 r013r2a9c0 Ry电子 r35 r aa00c09 13r2aRy 电子ucoul c0r 35 rssu ukin ucoul uex(d)93r2 2.210.916 aRy 电子 c0 r 25rr3r ssss27由 dudr 0 ，解出r 的平衡值，ss9 19 r2adudr4.420.916 c0 0r35 r 2r 4r 2sssss 0.814 1.82 r 1 O a2rarsc00c对于金属钠，已知rs 3.93 ，如果将rc 0.95 代入上式，则有r 0.81

36、4 1.82 0.95 4.07s0.53与rs 3.93 符合甚好.68金属的体弹性模量和声速试证明电子气体在绝对零度下动能对其体弹性模量的贡献为B 1 nmv2F3式中 n 是电子浓度，m 是电子质量， vF 是中的声速在可压缩流体中声速为速度用以上结果可以求出金属v B 1 2 其中 是流体的质量密度由此证明单价金属的声速为1 2 mv 3M vFM 是金属离子的质量上式称为玻姆-解(Bohm-staver)关系在 T0 K 时，金属中电子的动能为U 3 N0F5 3 N 2 3 2 F2mV而体弹性模量为3d 2d 2U B V 0 NV F dV 25dV 2 2 N 1nmv2FF

37、3 V328利用单价金属的质量密度 nM ，金属中的声速为 B 1 2 1 2 1nmv2 v 3F1 2 m 3M vF69天体物理学中的气体的质量M 2 1033 g ，试估计(a)已知中的电子数在中可以离化这个数目的电子，并限制在半径为2 109 cm能量(b)在相对论极限下， mc2 ，电子能量和的球内. 试求以电子伏表示的的关系为 pc kc 试证明在这个极限下的能大致为 F c N V ；1 1 3 (c)如果上述数目的电子限制在半径为 l0km 的脉冲星内，试证明能约为 108 eV这个数值说明了为什么可以认为脉冲星主要是由中子而不是由质子和电子组成的因为在n p e 的反应中出

38、的能量仅为0.8106 eV这个能中子衰变只进行到产生和0.8106 eV 的量以使许多电子形成能相当的电子浓度为止这时中子、质子和电子浓度达到平衡解(a)首先估计中的电子数目 N，由于质子数约等于中子数，故有2 1033MN 2M2 1.67 1024 6 1056PMP 为质子质量在中，可以电离这个数目的电子，这些电子分布在半径为2 109 cm 的球内，于是电子浓度为6 1056 1.810 cm283n 4 2109 33能为10542 9 102822 3 28 2 3 n 1.8102233F2m 2.3104 eV(b)在相对论极限下，有29 pc kc F kF c c 3 n

39、 3cn21 31 3粗略地有 N 1 3 F c V(c)将 N 61056 代人半径为 10 km 的脉冲星中，得 6 c N103 1010 eV V 4F1036 30.8106 eV 的能量，因而不能使很多电子形成 高达 108eVF但中子衰变只能所以，脉冲星主要由中子组成，又称为中子星.的610弛豫时间在的电子论中，一个电子在任意无穷小时间间隔 dt 内受到一次碰撞的几率为dt .证明，一个在给定时刻选定的随机的电子，其在这以前的 t 秒内未受到碰撞的几率是et ，在这以后的 t 秒内不受碰撞的几率仍是et 证明，一个电子连续两次碰撞间的时间间隔分布在tt dt 内的几率是dt e

40、t 证明，内(a)可以得到，在任何时刻，追溯到上一次碰撞(或距离下一次碰撞)的平均时间对所有电子来说平均是 证明，由(a)可以得到，一个电子连续两次碰撞间的平均时间 由(c)表明，在任何时刻，从上一次碰撞到下一次碰撞间则时间 T 对所有电子平均为 2 ，试解释这和(d)的结论并不分布的推导)解(a)在时刻t 0 ，任选一个电子，令 p0 t 为该电子在以后的 t 秒内不受碰撞的几率，即电子在0 t 期间不受碰撞的几率，这里t 0 则该电子在时间间隔t t dt 内受到碰撞的几率为(详细的解释应包含对 T 的几率t p t dt p t dtp00030 dp0 t p0 t dt解此微分方程得

41、p0 t et 注意， p0 t 满足归一化条件 p(0)1现在可考虑电子在 t 0 以前的时间间隔 t 内不受到碰撞的几率，设为p1 t p1 t 也就是电子在 t0 期间不受碰撞的几率，这里 t0于是有t dt p t p t dtp111dp1 t p1 t dtt et p1或写为t e tt 0p1所以，电子在给定时刻以前或以后的 t 秒内不受碰撞的几率都是et ，如图(66)所示(b)为求出电子连续两次碰撞的时间间隙分布在t t dt 的几率，令电子发生上一次碰撞的时刻为 t0于是由(a)，电子在时间 t 内没有受到碰撞的几率是p0 t 电子在t t dt 受到碰撞的几率是t p

42、t dt p t dtp000 dt t p t dt et p0031这也就是电子连续两次碰撞之间的时间间隔分布在t t dt 的几率(c)由(a)可知，电子在指定时刻 t0 以前的时间t t dt 内发生上一次碰撞的 dt t dt p t t 几率是 pe.于是，电子距上一次碰撞的平均时间为 11dt00tt dx xe xte up其中 x t ， 表示在时刻t 0 以前的时间 .同理，电子到下一次碰撞的平均时间为t dt te xe xdx tdown 00由此可见，在指定时刻 t0，电子距上一次碰撞或下一次碰撞的平均时间都是 (d)由(b)可知，电子连续两次碰撞之间的时间间隔处在

43、t t dt 的几率是 dt t e于是电子连续两次碰撞间的平均时间为 t dt t te xe xdx 00(e)内(c)可知，从上一次碰撞到下一次碰撞的平均时间为T 2tuptdown但电子在t t dt 时间间隔内受到一次碰撞的几率总是dt ，和上一次碰撞在多久之前发生无关现求T 的几率分布，从而计算 T 在 t0 时刻一个随机的电子，电子在t t dt 时间间隔内受到下一次碰dtt 撞的几率为e上一次碰撞发生在下一次碰撞的 T 秒前，上一次碰撞发生 dTt T 在t T t T dT 的几率为e要求两个事件同时发生，于是联接几率为二者之积，即dTdtdTdtt T t T eee 时间

44、差(以上一次碰撞到下一次碰撞)发生在T T dT 的几率为积分32dTdte dT TeT TT 20于是上一次碰撞到下一次碰撞的平均时间 T 为dT02T T TeT dxx e2 x0 2其中 x T .由此可见，电子以上一次碰撞到下一次碰撞的平均时间是 ，而电子连续两次碰撞间的时间间隔则是 显然，在指定的时刻 t0 平均必有一次碰撞发生离上一次碰撞的平均时间是 ，到达下一次碰撞的平均时间也是 ，连续两次碰撞之间的平均时间仍是 (c)的结论和(d)并不611焦考虑在均匀温度下处在均匀静电场 E 内的金属，一个电子受到一次碰撞后，经过时间 t 又受到第二次碰撞按照模型，由于电子碰撞后的平均速

45、率和它自上一次碰撞以来从电场和获得的能量无关，电子在各次碰撞中能量并不守恒(a)设第一次碰撞和第二次碰撞之间的时间间隔为 t，证明在第二次碰撞中，电子所交给离子的平均能量损失是eEt 2方向平均)，(b)用例题 6.10(b)的结果，证明每个电子在每次碰撞2m (就第一次碰撞后电子运动的所有给离子的平均能量损失是eEt 22m 因此，在每立方厘米的体积中，每秒钟的平均能量损失是ne2 m E2 E2 . 对长度为L、横截面积为 A 的金属线，导出其功率损耗为 I2R，这里 I 是流过的电流，只是金属结的电阻解(a)考虑在时刻 t0 受到碰撞的一群电子，碰撞后电子的速度方向是随机的，故平均速度为

46、零电子的平均动能为1 mv20 Ek02由金属温度决定在下一时刻，由于电场的加速，电子从电场中获得的速度为33eE t mv t v0电子的动能为2 211 eE e E Et mvt mv mvt 222t0 k022m2m对所有电子取平均，由于 v0 0 ，故有e2 E21Ek t mv0 22t22m 1 mv2 因而电子所交0而在第二次碰撞后，电子的平均动能又减少为 Ek02e2 E22给离子的平均能量为t 2m(b)由例题 6.10(b)知道，对一个给定的电子，在时间t t dt 内受到碰撞的几dtt 率为e于是，平均每次碰撞的能量损失是 e2 E2t 2 e2 E2t dt 02t e 2m2m e E 2 2 22 2e Ex e dx22 x2mm0现计算每立方厘米的功率损耗 P， e2E2 2 n mP 这里 n 是电子浓度，1 是时间内一个电子碰撞的次数于是有 ne2 E EP 2m jE j2其中 E j 是金属电阻率对于长度为 L、横截面积为 A 的金属线，功率损耗为L2P j LA 2AjA RI 2式中 R L A 是金属线的电阻， I Aj 是流过金属线的电流34612交流电导率试用电子的漂移速度方程m dv v eE dt 证明在频率 下金属的交流电导率为 01 i 其中, 0 ne m .2证明设电场