八年级数学期末专题复习四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈(含解析、点评和练习)

1、2017-2018下学期八年级数学专题复习 四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈编写：赵化中学 郑宗平八年级数学下册中的含“动点”、“翻折”以及“重叠”的题型主要集中在勾股定理、平行四边形和一次函数的三个章节中 ，且常常是这三个章节综合起来的题型比较多；含“动点、“翻折”以及“重叠”的题型一直统考和中考的热点题型，下面我精选一部分典型题分专题进行分析、解答、点评并附有少量追踪练习 ，希望同学们能从中悟出一些道理，总结破题的思路，同时感受到这类题型所蕴含的数学魅力 .题目一.“动点”问题例谈一.在动点中求最小值例.如图，在正方形 ABCD中，E为AB上的一点,P是AC上一动点,则PB PE的

2、最小值是多少？ 分析：BE如分析图所示，过B作关于AC的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D点处，连结ED交AC于点P,根据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接D、E两点之间线段最短，可以知道此时的PB PE值最小.（这里我有个 “将军饮马”的故事与同学们分享.） 略解：过B作关于AC的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在 点P,连接PBBE 2, AE 3BE，AE 6 ，AB 8 .根据正方形的性质的性质可知：AD AB 8, DAB 90 .在Rt DAE中勾股定理易求 ED JAE2AD2。62 8210。 B和D关于AC对称，根据轴对称的性质可知：PB PD ,PB PE

3、 = PD PE DE 10。变式.正方形ABCD的边长为4, DAC的平分线交 DC于点E ,若P、Q分别是AD和AE上的动点，则 DQ PQ的最小值是.点评：在一直线上求作一点，使其到直线 同一侧的两定点的距离之和最小，往往要通过作其中一个点 关于此直线的对称点，把两定点转化到直线的两侧，连接对称点和另一定点就可以找到这个动点 的使其有最小值的位置，根据的是“两点之间，线段最短”、“垂线段最最短。在动点中求最小值容易和多个知识点串联以来 ，能较好的考查的数学的基本功和数学素养。追踪练习：1。正方形ABCD的面积为64,求PD PE的最小值？2。菱形ABCD的对角线分别为12和16, M、N

4、分别为BC、CD的1DE CE , P为AC上的一动点;3。（自贡中考）如图，在矩形 ABCD中，AB 4, AD 6, E是AB 边的中点，F是线段BC边上的动点，将 EBF沿EF所在直线折叠得到 EBF ,连接BD,则BD的最小值是（）A 2 10 2B.6C.2 13 24.如图，直线y kx 6经过点A 4,0 ,直线y 3x 3与x轴交于B点，且两直线交于点 C。求k的值；。求 ABC的面积；。若点P是坐标轴上的一个动点，当PB PC的值最小时，求P点的坐标.二.在动点中来探究四边形的形状例.如图，/ABC中，点。是AC边上的一个动点，过点 O作直线MN / BC , ?设MN交BC

5、A的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F .A。判断OE与OF的大小关系？并说明理由 ？M 匚 J N.若 CF=5,CE 12,求 CO 的长？乎。当点O运动到AC的何处时，四边形 AECF是矩形？并说出你的理由.p2N4。由角平分线的的定义和平行线的性质容易推出15, 3 6,则OE OC,OF OC ;等量代换后OE OF。是 ECF的EF的中线，根据题中的提供的数据，无非 ECF是特殊三角形才能求出CO;若 ECF是直角三角形，一切问题解决了；根据题中MN& BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点 F ,可以证得 ECF 90 .本问关键是抓住不变的是什么 ？变的是什么？在

6、本问中不变的是 OE OF, ECF 90 ,ECF 90 ,证明;二是“有一个角为OF （即O同时为AC的中点，即构成了对而点O在AC的位置是发生变化的。要证四边形AECF是矩形，已经知道四边形AECF是矩形的思路有两条，一是“有三个角是直角的四边是矩形”直角的平行四边形是矩形；由于EF、AC恰好是四边形 AECF的对角线，并且有 OE 点O为EF的中点），所以我们考虑用后面一种方法；也就是点角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上略解：MN交 BCA的平分线于点E ,交12, 34. MN / BC 25, 46.OE OF. MN交 BCA的平分线于点 E ,交1-1-1-ACB,3-A

7、CD122EF2 CF2CE2.CF=5,CE12ECF 90”,所以四边形 AECF是矩形.BCA的外角平分线于点F15, 36 OE OC,OF OCBCA的外角平分线于点 F1：.3 ACB ACD 18090 .2EF CF2 CE252 122169 13 .第2页（共16页）中点，P是对角线BD上的一动点，则PM PN的最小值为 。八数下期期末专题四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈第1页（共16页）1 ECF 90，OE OF - CO -EF - 13 6.52.点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由如下： OA OC,OE OF .四边形AECF是平行四边形；

8、又 ECF90 ，四边形 AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）点评：解答本专题的两个例题要抓住题中不变的是什么？变的是什么？解题时更需要仔细识图， 注意合理应用数形结合思想；由于是动点，要注意动点“活动”的范围，解答时要进行分段、分类讨论.分析：要求y与x的函数关系式，关键是抓住y表示 ABP的面积的变化规律物代表理P.啊运动路程x的变化规律。“嘱密他!蕾本题首先要结合在动点的运动中ABP的面积变化（见图）所描绘的函数图象（见图）相卖物出四边形ABCD和计算出各边的长： 。动点P在B 一 C运动时，ABP的面积为y是从小增大， 所以此时函数的图象在 0 x 4范围内，相对应的梯形

9、的BC 4；。动点P在C 一 D运动时，ABP的面积为y是不变的，所以此时函数的图象在4 x 9范围内，相对应的四边形的DC 9 4 5;.动点P在D - A运动时，ABP的面积为y是由大变小，所以此时函数的图追踪练习：1.如图在四边形 ABCD 中，AD /BC, B 90 ,AD 24cm,BC 26cm /,动点 P从 A点开始沿AD边向D以3cm/s的速度运动，动点 Q从点C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为 t s 。.若点P从点A开始沿射线 AD1动，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动。当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四 边

10、形是平行四边形.。当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.当 t为何值 时，四边形PQCD的边PQ CD ?象在9 x 14范围内，相对应的四边形的 要表示 ABP的面积为y我们要抓住在 的高线DE可以利用矩形的性质和勾股定理把 与x的函数关系式.略解：结合图和图可以得出 BC 4 , DCDA 14 9 5。P点的运动过程中，边AB是不变的，所以过点D作边ABAB求出来，然后利用三角形的面积公式可以整理出y9 4 5, DA 14 9过点 四边形 DED作边AB的高线DE ,垂足为E,根据矩形的判定可以得出DEBC是矩形，所以 DE BC 4, BE DC 5.DE252423ABDEA

11、 90：EA2 DE2 AD2EA JaD22.已知矩形 ABCD中，AB 4cm, BC 8cm , AC的垂直平分线 EF分别交AD、BC于点E、F,垂 足为O.。如图甲，连接 AF、CE。求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；。如图乙，动点P、Q分别从A C出发，沿 AFB和CDE各边匀速运动一周，即点P自AB EA BE 3 5 8根据本题条件，动点 P运动路程为x在0 x 9范围要分两段来讨论.动点P在B - C运动时，即0 x 4范围内。S ABP =- AB2即 y 4x。动点P在C - D运动时，即4 x 9范围内。SA ABP=- ab2BPBC4x 。16 .A- F

12、- B -A停止，点Q自C-D-E - C停止.在运动过程中：.已知点P的速度每秒5cm,点Q的速度每秒4cm,运动时间为t秒，当点A C、P、Q四点为 顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。若点P、Q的运动路程分别为 a、b （单位：cm, ab 0）,已知A C、P、Q四点为顶点的四边 形是平行四边形，写出 a与b满足的数量关系.（直接写答案，不要求证明）即y 16 .（因为P点在C - D运动过程中， ABP的高也没有发生变化，都等于 点评：BC的长度）.“动点与几何图形面积” 这类题型，由于存在面积和“运动路程”两个变量，所以常与函数的知 识点联系在一起，在八年级下册的数学中常与一次函

13、数相联系.这类题在建立函数的过程中要先从面积入手切入，然后用自变量（“动点的运动路程”）表示与函数（面积） 点与几何图形面积”这类题型还要注意在动点在运动过程中的不同情况。“动三.动点与几何图形的面积例.在四边形ABCD中，AB /CD, B 90:,动点P从 dcB出发，沿四边形形的边 B 一 C 一 D - A运动。设点P /运动路程为x, 4ABP的面积为V，把y看作是x的函数，/ P 函数的图象如图（2）所示，试求当0 x 9时y与x的函ANsWZlL_JB数关系式.追踪练习：.如图，已知 ABC中，AB AC 13,高AD 12, P是AD上 的一动点；若设PD x PBC的面积为y

14、 .。求y与x的函数关系式及x的取值范围；.求出当x 5时y的值。.如图，在边长为 4的正方形 ABCD的一边BC上，一点P从点B 运动到点C,设BP x,四边形APCD的面积为y .。求y与x的函数关系式及x的取值范围；.是否存在点P,使四边形 APCD的面积为5。5,请解答说明.相关的元素是关键八数下期期末专题四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈第3页（共16页）第4页（共16页）3。矩形的周长是16cm,设矩形的一边长为 xcm,另一边长为ycm.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；.作出函数的图象；。若C x,y点是该图象上的一动点，点B的坐标为6,0 ,设4 OBC

15、的面积为S ,用含x的解析 式表不S.故S四边形aecf =S/ ABE + S= S/ABC+S/BAE= S ABC是定值 1W及作AH BC于H点，则BH 21199 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document S四边形 ABCD = S/ ABC =- BC AH BC。AB2 BH 24/3224。已知矩形 ABCD中，AB 16cm, AD 12cm; P、Q分别是矩形 ABCD的边AD、AB的动点, 点以1cm/秒的速度由A向D匀速运动，Q点同时以2cm/秒的速度由A向B匀速运动；若设 P、运动的时间为t （秒），四边形PAQC （图中的阴影

16、部分）面积为S cm2。.求S与t的函数关系式及t的取值范围；P、Q出发多少秒后四边形 PAQC的面积为72cm2 ?o点评：虽然E、F在BC、CD上是动点，但在滑动过程中 是不变的，也就是由其中的等边三角形为框架构建的力 BE CF这个相等关系。 在动点中要探寻其中未知12, AB AC, ABC3的相等关系ABE和ACF总是全等的，所以总有“不变”的数量关系，关键是首先抓住图形的四。例.在动点中探寻其中“不变”的数量关系（中考自贡）如图所示，在菱形 ABCD中，AB 4, BAD 120,AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边 BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合.证明不论E、F

17、在BC、CD上如何滑动，总有BE CF ?。当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形 AECF的面积是否发生变化 ？如果不变，求出这 个定值。分析：。先求证 AB AC,进而求证ABC、/ACD为等边三角形，得 BAC =60 , AC AB进 而求证/ABE且ACF ,即可求得 BE CF.根据ABEACF可得SABE =SACF ;根据S四边形aecf =S/ ABE + S= S/ABC +SBAE=SABC即可解得。提供的已知的“不变”的数量关系发生移动，但其中的EAF追踪练习：1.矩形 ABCD 中，AB 3,AD，比如本例虽然E、F在BC、CD上的滑动带动力AEF的位置2 EAC

18、 60 ：或 AE4,PE AC,PF BD.AF等没有发生变化。.求PE PF的值？.若点P是AD上的一动点（不与 A、D重合），还是作PE AC,PF BD,则PE PF的值是否会发生变化？为什么?。证明四边形11:连接AC,如下图所示.ABCD为菱形， EAC 60 , 22BAD 120EAC 60BAD 1201ABC 60ABC和ACD都为等边三角形. 4=60 , AC AB，在ABE和ACF中,/ABEEACF ASAAB ACABC 3 BE CF。解：四边形AECF的面积不变.理由：由得/ ABEACF可得SABE=S/ACF .八数下期期末专题四：“动点”、“翻折”、“重

19、叠”问题例谈第5页（共16页）2。已知点O为正方形ABCD的中心（对角线的交点），M为 射线OD上一动点（M与点。D不重合，以线段 AM为 一边作正方形 AMEF ,连结FD.当点M在线段OD上时（如图甲），线段BM与DF有怎 样的关系？请说明理由。.当点M在线段OD的延长线上时（如图乙），中的结论 是否仍然成立？请结合图乙说明理由。附：其它动点问题的题型欣赏。（同学们作为课外研究和练习!1.。形,ABC和ADE都是正三角形, 求证：/ACD且CBFCD BF 。当D运动至BC边上的何处时，四边形 CDEF为平行四 且 DEF 30 ,并证明你的结论。B图甲y y2。如图，直线y 2x 1与x

20、轴、y轴分别交于B、C两点。求点B的坐标；。点A x, y是直线y 2x 1上的一个动点，试写出 AOB 的面积S与x的函数关系式；。探究：。当点A运动到什么位置时，/ AOB的面积为-,并说明理由. 4.在成立的，f#况下，x轴上是否存在点 P ,使AOP是等腰三角形;若存在，请直接写出满足条件的所有P的坐标；若不存在，请说明理由。第6页（共16页）CA(x,y).x4. 334.3 c 8, 3 2 33DE CEFEFE CE DE CD 6D恰好落在BC边上_ 2 2_ 2AB BF AF_ 2_22CE2 CF2 EF2若设CE x ,则EF 6 x3 .3。直线y x 6与坐标轴分

21、别交于 A B两点，P、Q同时从点 4。出发，同时到达A点，运动停止；点、沿OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P12沿路线O 一 B- A运动.。直接写出A、B两点的坐标；。设点Q的运动时间为t, NOPQ的面积为S,求出S与t的函数关系式；48.当S 1时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标.4。E为边长为1的正方形ABCD的对角线上的一点，且 BE BC,P为CE上的一动点，PQ BC,PR BE ，求PQ PR的值？题目二.“翻折”问题例谈通常是把某个图形按照给定的条件的沿某一直线翻折，也可以叫折叠；常通过折叠前后图形变换的相互关系来设计

22、命题。折叠的规律是：折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等折叠图形中在八年级的数学中，以四边形特别是特殊四边形为基础居多，但常用勾股定理来计算，有时也与一次函数的知识相串联构成有一定难度综合题例1.（中考邵阳），准备一张矩形纸片 ABCD ,按如图操作：将ABE沿BE翻折，使A落在对角线BD上的M点；将CDF沿DF翻折，使C落在对角 线BD上的N点。求证：四边形 BFDE是平行四边形；。若四边形 BFDE是菱形，AB 2,求菱形BFDE的面积。分析：.根据四边形 ABCD是矩形和折叠的性质可以得出EB / DF , DE / BF ,根据平行四边形的判定推出。.求出 ABE 30

23、根据直角三角形性质求出AE、BE ,并根据菱形的面积计算即可求出答案。略证：二.四边形ABCD是矩形 A C 90 , AB CD, AB/CD ABD CDB 1_ EBD ABD FDB2 EB / DF DE / BF八数下期期末专题四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈第7页（共16页）.四边形BFDE是平行四边形.略解：.四边形BFDE是菱形BE ED, EBD FBD ABE四边形ABCD是矩形AD BC, ABC 90：ABE 30A 90 , AB 222、3AE -=, BF BE 2AE,33，故菱形BFDE的面积为：BF AB 点评：本题考查了平行四边形的判定、菱形的性

24、质、矩形的性质、含30。角的直角三角形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力。在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口，正因为“ 折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等” 才有 EBD - ABD FDB ,从而得出问中的 EB / DF、DE / BF以及问中 ABE30这 2两个关键步骤。例2。如图，已知矩形纸片 ABCD中，AB 6, AD 10；点E在边CD上，沿AE折叠后点D恰好落在BC边上。求EC的长？。求折痕AE的长？分析：。要求EC的长我们可以化在 Rt力FCE中利用勾股定理来求出，根据题中折叠可知DE FE ,所以CE FE

25、CE DE 6 ,而CF BC BF , BF放在Rt力ABF利用勾股定理求出，这个需要 题中折叠所得到的AF AD 10。求折痕AE的长在Rt力ADE或RtAFE利用勾股定理求出. 略解：.二.四边形ABCD是矩形 DC AB 6, BC AD 10B D C 90.矩形纸片 ABCD沿AE折叠后点 AF AD 10在RtABF中根据勾股定理可知:. BF AF2 AB2102 62 CF BC BF 10 8 2在RtFCE中根据勾股定理可知:第8页（共16页）2x 斛得:.= EC = 83DC6 DE8 x310T即 EC = 83设直线BC勺解析式为y kx b在RtADE中根据勾股

26、定理可知:2_ 2_2DE AD AE3把B 0,、C 3,0代入得23kk解得bAE DE2 AD2210 ,c210310900 1产直线BC的解析式为y点评：本题考查了矩形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力。在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口， 折痕成轴对称，两图形全等”才有AF AD 10和DE 利用勾股定理来求出 CE打下基础.正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于FE两个关键结论。从而为在 Rt力FCE中点评：本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理以及折叠的相关性质。本题关键求点C的坐标,这就要通过 RtAOGiJ用勾股定理建立方程求

27、出线段OCe解决。而这些 需要“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称”来得到AB AB,A C AC来牵线搭桥.例3。如图，在平面直角坐标系中，点A 0,4 , B 3,0叠，使点A落在x轴上的点A处，折痕所在的直线交 分析：，连接AB,将AOB沿过点B的直线折y轴正半轴于点C；求直线BC的解析式.题目三。“重叠”问题例谈前面所说的翻折也蕴含图形自身的某部分的“重叠”，所以通常是把某个图形按照给定的条件的要求直线BC的解析式可以通过两个点的坐标，利用待定系数法求得。直线BC上的B 3,0 ,关键是求点C的坐标.由于点C在坐标轴的y 轴上，求出OC的长度即可确定 点C的坐标。在RtAOC中。

28、若设 OC m ,则AC OA OC 4m,由折叠可知 AC 4 m ；所以本题的关键是求出 OA的长度，由折叠可知： A B AB OB AB 3所以关键是求出 AB的长，这个在 略解：A 0,4 , B 3,0OA 4,OB 3AB,而 OACAXOIARt力ABO利用勾股定理可以解决在RtABO利用勾股定理计算 AB JoA2 OB2将AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A处沿某一直线翻折，也可以叫折叠；还有一种“重叠”是指几个“相对独立”图形主要是两个图形通过一定方式，如：交叉叠放、平移、旋转等 使两个图形全部或部分重合；实际上这两类重叠没有严格的界线.几个图形的重叠抓住重合

29、部分的图形特征为突破口，下面我就后一类重叠举例加以说明例1.将两张长均为8cm,宽土匀为2cm的矩形纸条按如图 交叉叠放.。重叠部分是一个什么样的四边形？.求重叠部分周长和面积最小值和最大值分别是多少？分析：.按交叉叠放方式其重叠部分首先可确定是一个平行四边形，利用面积公式或全等三角形可以推出其一组邻边相等，所以重叠部分是一个菱形。（巡河车腾讯微博本问视频解析链接：http:v。 /boke/page/z/7/3/z0415wr8a73.html）.根据“垂线段最短,当两张矩形纸条垂直时，其交叉重叠部分的部分边长最短（实际上是个正方形），此时的重叠部分周长和面积有最小值；当两张矩形纸条交叉叠放

30、使其对角线“换位”重合时（见. A B AB 5,A C ACOA AB OB 5 3 2 设 OC m ,则 AC OA OC 由折叠可知AC 4 m在在Rt力ABO利用勾股定理右_ 2_22AC2 AO2 CO24mOA44yAmC示意图），因为此时重叠部分的对角线最长，其重合部分的边长也就最长,长和面积有最大值.略解：。如图，过H点分别作HM根据矩形纸条按交叉叠放的Sa EFGH HM EFEF,HN FG ,垂足分别是M、N方式易证四边形HN FGEFGH是平行四边形又矩形纸片的宽度都是 2cm,即HM HN2 cm当然此时的重叠部分周AHG D2m ,解得m点C的坐标为o,2EF G

31、F重叠部分的四边形 .第一种情况： 根据“垂线段最短EFGH的边长最短,EFGH是菱形,当两张矩形纸条垂直时,其交叉重叠部分四边形八数下期期末专题四:“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈第9页（共16页）此时又构成了有一个角为直的菱形是正方形 第10页（共16页）EFGH。B.矩形纸条宽均为 2cm即EF FG GH HE 2cm，重叠部分EFGH的周长为：4 2 8 cm重叠部分EFGH的面积为：42=16 cm2,1, DBH DAH DAB2在RtADH中根据勾股定理有1 _八八，- 60 302_2_ 2:DH ADDHAH2-AH2即 DH2 122DH(9)第二种情况：当两张矩形纸

32、条交叉叠放使其对角线“换位”重合时（见示意图解得：DH）,因为此时重叠部分的对角线最长，其重合部分的边长也就最长，当然此时的重叠部分周长和面积有最大值。过N作NG DM ,垂足为G ,则NG 2cm丁四边形ABCD是矩形C 90：1.33-ADdh2,： 3 3 336，重叠部分ABHD面积为:在RtMCD中根据勾股定理有:四边形BMDN是菱形MB MD_2_ 2CM CD2DM设 MD x,28 x22，重叠部分重叠部分MC BC MB2, 一x 解得：xBMDN的周长为：4BMDN面积为:例2。如图，边长为 分的面积为1的正方形817r17即MD cmDM NG174172cmABCD绕点

33、A逆时针旋转AMB.33C.D.分析：本题关键抓住重叠部分 ABHD是一个轴对称图形，图中的阴影部分的面积为:S正方形ABCD 2 SADH30到正方形 ABCD,图中的阴影部 ）,由于正方形故选A点评：本题的阴影部分是个不规则的图形，直接求比较困难，所以采用 ABHD面积，所以求重叠部分的面积成了本题的关键；重叠部分S正方形ABCD 一重叠部分ABHD是由正方形旋转 30形成的，它恰好是一个轴对称图形，当我们连结对角线 AB把ABHD分成全等的两个含 30。锐角的直角三角形后，把问题转化到其中一个直角三角形中问题便解决了ABCD绕点A逆时针30到正方形ABCD ,所以 DAD 30则 DAB

34、 60、连接ABHD的对角线后易证旋转力ABH E1ADH,所以 DBH DAH 一 21DAB - 6030 ;在RtADH的另一条直角边 DH的长2度，进一步求出Rt力ADH的面积，则重叠部分 ABHD可求出，再由正方形面积减去叠部分 ABHD即可得到图中的阴影部分的面积.（巡河车腾讯微博本例视频解析链接：http : v 。 /boke/page/u/8/m/u0415t5rb8m。html )略解：,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转D B DAB90，： , AD AB 1 ,30到正方形ABCDDAD 30d DAB 60：.在RtABH和RtADH中有 D Rt NABH

35、Rt ADH ( HL )B90, AD AB, AH AH八数下期期末专题四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈第11页（共16页）例3.（自贡统考） 如图1,在平面直角坐标系 xoy中，等腰直角AOB的斜边OB在x轴上，顶 点A的坐标为2,2.求直线OA的解析式；.如图2,如果点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PC / y轴，交直线OA于点C,设点P的 坐标为 m,0，以A、C、P、B为顶点的四边形面积为 S,求S与m之间的函数关系式；.如图3,如果D 1,a在直线 AB上。过点O、D作直线OD ,交直线PC于点E ,在CE的右侧作矩矩形CGFE与AOB重叠部 分为轴对称图形时 m的取

36、值范围。考点:形CGFE ,其中CG -,请你直接写出待定系数法求函数解析式、三角形面积公式、点的坐标意义、轴对称图形、分类讨论的思想 等。分析：.用待定系数法可求出直线 OA的解析式；.由于P点是x轴正半轴上的一动点，在不同的位置以 A、C、P、B为顶点的四边形的情况不一第12页（共16页）（而左侧重y2yGkx抓住矩形和等腰直角三角形都是轴对称图形Op以此ABE的面积为EF)ACPB)AEy2D4C2折叠纸片使34OC12CBD1132PCAM24mmm22yCB1042PCAM244mmByA落在点A处OA()yB本问关键是抓住直线如图甲所示CBDAEDCOBEAG三种情况讨论 轴对称图

37、形，：2 m则DG)y2MP取值范围.略解：.设直线OA的解析式为OB 2OB边上的中垂线3, AD如图-OP 2本题的问要分成,要保证重叠部分是3.如图AE ,2.矩形纸片 长为4.如图，在直角坐标系中所以要进行分类讨论.由于 AOB等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴是S-.OCP在平移过程中其重叠部分是等腰直角三角形时就是一个轴对称图形 切入破题.5.如图，将正方形 ABCD的一角折叠难度.本题的问显得比较抽象AB 1则点A的坐标是S SCOPS.2AOBABCD 中，AB（见图中阴影部分）为轴对称图形，利用轴对称的性质可知图形，对称轴是OB边上的中垂线，所以矩形 在4AO

38、B两腰AO AB所在的直线上 时，将矩形 OABC沿OB对折，使点m 4（直接写出m的正确的取值范围即可）点评：本题的问用根据已知条件用待定系数法可求解析式根据问m的值可以求出S m0 m要保证重叠部分是轴对称图形 .,等腰直角三角形是轴对称CGFE的C、G分别同时落 此时矩形CGFEAO屋叠6 C能力提升：1。已知，如图长方形 ABCD中，AB 3cm, AD 9cm,将此长方形折叠，使点d DGD (时P是底边OB的中点，OP8 D如图1S 4 1O M再将AED以DE为折痕向右折叠，AE与BCC 。 10cmBAE和 BAD的度数分别为x（D（FBD重合，22 m 4B. 8cmA. 6

39、cm2折痕为AE, BAD比BAE大48 y,那么x, y所适合的一个方程组 ）SS-.AOBS S-COB3 3一,一22P .N Bs AOFob pc使 AD边落在AB边上，折米F ,则CEF的面积为 （）S2m以矩形矩形CGFE的C、G分别同时落在 AOB两腰AO、AB所在的直线上时，此时矩形CGFE与 AOB重叠部分为轴对称图形， 利用轴对称的性质可以求出 P的坐标为 m,0中的m的值；当点C 与A重合时矩形CGFE与 AOB无重叠部分，此时直线 PC恰好是等腰直角 AOB的对称轴，此矩形纸片ABCD, AB12cm bCD与对角线. 2 2k 解得：k 1.直线OA的解析式为：y

40、x.过A作AM x轴于点MM 2, 0、B 4, 0、P m, 0、C m, m 有下面三种情况（图中阴影部分代表的是四边形一,3 2八1八1八OP-OBPN- OB224,CG 1 4 31 5222 23一,一221-42,根据问可知m 225m -41 2一 m2P M B xB x综合上述两种情况可以写出 m的取值范围为：W m 24综合上述两种情况可以写出m当点C与A重合或C在直线OA上但在点A右侧时，矩形。6尸与 AOB叠部分也是等腰直角三角形是轴对称图形。如图乙），此时直线的对称轴，此时P是底边OB的中点，可以求出： OP 1 -121212OA经过点A 2,541-m2-14 2 m