全差分运放的设计

1、通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 全差分运算放大器设计唐长文(011021361)，菅洪彦(021021061) HYPERLINK mailto:, HYPERLINK mailto:复旦大学专用集成电路与系统国家重点实验室、设计指标在上华0.6umCMOS2P2M工艺上设计一个全差分运算放大器，设计指标如下:直流增益:80dB单位增益带宽:50MHz负载电容:=5pF相位裕量:60增益裕量:12dB差分压摆率:200V卩s共模电平:2.5V(VD=D5V)共模负反馈单位增益带宽:10MHz等效输入噪声:20nVHz输入失调电压:4V二、运放

2、结构选择L图1共源共栅两级运算放大器运算放大器的的结构主要有三种：(a)简单两级运放，two-stage；(b)折叠共源共栅，folded-cascode;(c)共源共栅，telescopic。该运算放大器的设计指标要求差分输出摆幅为土4V，即输出端的所有NMOS管的V之和小于0.5V,输出端的所有PMOS管的V之和也必须DSAT,NDSAT,P小于0.5V。对于单级的折叠共源共栅和直接共源共栅两种结构，都比较难达到该要求，因此我们采用两级运算放大器结构。另外，简单的两级运放的直流增益比较小，因此我们采用共源共栅的输入级结构。考虑到折叠共源共栅输入级结构的功耗比较大，故我们选择直接共源共栅的输

3、入级，共源的输出级的结构，如图1所示。两级运算放大器设计必须保证运放的稳定性，这里Miller补偿或者Cascode补偿技术用来进行零极点补偿。三、性能指标分析差分直流增益Adm80dB该运算放大器存在两级：(1)、Cascode级增大直流增益(Ml-M8)；(2)、共源放大器(M9-M12)第一级增益A=-GR=-g(grr/grr)_m1m3m5,1m1o1m1m3o1o3m5o5o7ggg+gggm5o1o3m3o5o7第二级增益A_GR_g(r/r)_m，2m2o2m9o9o11g+go9o11整个运算放大器的增益：A=AA=曲1mmi5m9104(80B)overall12ggg+g

4、ggg+gm5o1o3m3o5o7o9o11差分压摆率200V/usI|Cmax转换速率(SlewRate)是大信号输入时，电流输出的最大驱动能力。定义转换速率SR：TOC o 1-5 h z输入级：SR三vou|=ccLx=dstdtmaxCCCCuSR=2ds1CC单位增益带宽=gC，可以得到C=gm1CCm1u2121=DS1_u=DS1_u=VWg21ef1um1vdS1eff1其中Veff1V-VGSth1*Cp(因此，提高两级运算放大器转换速率的一种方法是尽可能增大管子M1的有效电压Veff1。输出级：SR三dout|=CCLax=22DS9TOC o 1-5 h zdtmaxCC

5、C+CCCLI2I该个运算放大器的转换率SR=minds13,ds9CC+CCCL静态功耗：该运放没有功耗指标，这里我们以15mW为例简单分析一下。运放的静态功耗：通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # Pstatic=(V-V)(I+I+I)ddssDS9DS10DS13静态功耗确定了整个电路的静态电流最大值为：PStaticDCVVddss15mwk,3mA5.0V0V2）我们将该电流分配到电路的不同的地方去。例如，lOOA给偏置电路，2900yA给两级放大电路。这里完全是根据设计人员的经验来确定，有可能电流的分配并不能使整个电路达到全局最优

6、。4.等效输入噪声20nV/HZ(thermalnoise)我们知道每一个晶体管都存在噪声电流源，其功率谱密度为Kg2mWLCox热噪声l/f噪声图2、NMOS管噪声电流源我们忽略第二级的等效输入噪声，因为第二级的输入噪声要除以第一级的增益。输入等效噪声为v22n,inv2+nlm7g丿ml5.相位裕量60度，单位增益带宽50MHz假设运放只有两个极点。（实际上，会有两个以上的极点，同时还会在右半平面或者左半平面的零点）。由于密勒补偿电容Cc的存在，P和p2将会分ii.丿开的很远。假定p160,申k90，l图3、S平面中的两个极点通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作

7、者:唐长文,菅洪彦 # #通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #申180-PM-申302l-1.73,取片2puu通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 #ggggo1o3+o5o7gg另外，主极点三mm5TOC o 1-5 h zp1(1+gm9)Cg+gCo9o11 HYPERLINK l bookmark24(ggg+ggg)(g+g)三_ol3m3_a7911gggCm3m5m9C通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #通信系统混合信号VLS

8、I设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #开环增益A=ogggmlm3m-5m9ggg+gggm5o1o3m3o5o7o9o11通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #g=A=mluop1CC为得到高的单位增益带宽，应该使非主极点P2最大化。Telescopic两级运放中存在至少三个极点：（1）Cascode点处（Ml的漏极、M3的源极）的极点:gm3p,cascodeC+C+C+Cgs3gd1db1sb32）补偿电容引入的主极点：G=olPl(A+1)C2C(ggg+ggg)(g+g)m5olo3m3o7o9ollg

9、ggCm3m5m9C因为A2Cc是一个非常大的电容值，因此由于密勒效应该极点是一个主极点。（3）输出极点：该极点主要是由输出电容CL引起的。GQ=02poutC+CLeqCgCm9C+CCp，CC，C+CpLC+CCpgm9CC+CC+CC通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #M9栅极电容C=C+C+Cpgslldb3db5通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2

10、003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # CCpLgC:.三m9GPoutCC+CCLCLp而且CCCp/.wpoutgm9CL通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #这三个极点从小到大的顺序以此为:通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 #第一极点：p1TOC o 1-5 h z(ggg+ggg)(g+g)m5o103m3o507o9oilgggCm3m5m9C第二极点：，第三极点：=咋p2Cp3C+C+C+CLg

11、s3gd1db1sb3共模负反馈:CMFB为了稳定全差分运放输出共模电压，必须设计共模负反馈电路。在设计输出平衡的全差分运算放大器的时候，必须考虑到以下几点1:共模负反馈的开环直流增益要求足够大，最好能够与差分开环直流增益相当；共模负反馈的单位增益带宽也要求足够大，最好接近差分单位增益带宽；为了确保共模负反馈的稳定，一般情况下要求进行共模回路补偿；共模信号检测器要求具有很好的线性特性；共模负反馈与差模信号无关，即使差模信号通路是关断的。图4是一种共模负反馈实现结构1，该结构共用了共模放大器和差模放大器的输入级中电流镜及输出负载。这样，一方面降低了功耗；另一方面保证共模放大器与差模放大器在交流特

12、性上保持完全一致。因为共模放大器的输出级与差模放大器的输出级可以完全共用，电容补偿电路也完全一样。只要差模放大器频率特性是稳定的，则共模负反馈也是稳定的。这种共模负反馈电路使得全差分运算放大器可以像单端输出的运算放大器7一样设计，而不用考虑共模负反馈电路对全差分运算放大器的影响。通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # 电压偏置电路：宽摆幅电流源通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2

13、003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #在共源共栅输入级中需要三个电压偏置，为了使得输入级的动态范围大一些，图5中的宽摆幅电流源来产生所需的三个偏置电压。根据宽摆幅电流源的设计要求，必须满足B1B2B3(W(W1.21gm9TzRCCCuf并且mTuCC得到电阻值为1U1.2gm1四、手工计算首先，我们必须从CSMC0.6um工艺库文件中得到工艺参数:卩C=119卩A/V2,卩C=55.2卩A/V2,V=0.73V,

14、V=-1.0VnoxpoxTH,NTH,P1.确定Miller补偿电容为了保证相位裕量有60,我们要求第二极点和零点满足以下两个条件：p2z10,2-m910m/1,m92m1zup2uCCCCccLc贝U,C0.2C=0.2X5pF=1pF。这里，我们取C=2pF。CLC2.确定两级放大器中的工作电流共模负反溃的输入端电流与差模输入端相同,因此输入级的工作电流DS1(100Vus-2pf)=133.3uA,由于有一些寄生电容，预留一些余量，我们取I=200卩A，则I=I=400卩A。DS1DS,14DS,13输出级工作电流为，SRI=S-(C+C+C)=100Vus8pf=800uA,DS1

15、12CLCMFB同样，由于有一些寄生电容，预留一些余量取I=900卩A。DS113.计算放大管的跨导gmm根据全差分SlewRate要求，SR=1.5x2Idst=彳仁严u=u=V,Cg212ef1uCm1vdS1eff1M1管的跨导u2I2X200uAgds10.942mQ-1m1V0.425Veff1M1管的有效电压，V=-竺=2X200V卩=0.425V,eff1X6.28X50X106通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 #gm1WW-(L)2=(L%根据第二

16、极点是单位增益带宽的两倍，W80pm(L)广乔gm9(4.71mdi)2x119x10-6x900 x10-6=103.6,(0.942加O-i)22x55.2x10-6x200 x10-6P=2W-=2Xmt2uCCLCM9管的跨导g=2XgmtXC=2X0.942x10-3x5pf=4.71mQ-im9CL2pfC通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设

17、计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #取（里）=処竺,m9管的有效电压V=人=2x900必=0.254VL91pmeff9g7.065mQ-1m9电流源偏置管和Cascode管的尺寸假定电流源偏置管M13、M11、M12、M7和M8,和Cascode管M3-M6的有效电压V0.3V,eff这样可以计算出所有管子的尺寸参数。假定Vf13=0-3V，则W2IDS13=L13pCV255.2x10-6x0.32poxeff132x400 x10-6W160pm(L)13二丁W(W)L11W(W)L139WW9Wdstt=-(-)=(-)=-(-)=362.3,4L11L12

18、4L13DS13L124L13W(L)nW=(L)12360pm1pmM11-M12管子的有效电压,V=V=0.3Veff11eff12=0.3V,W(L)72IDS7pCV2noxeff,72x300 x10-6=56.0,119x10-6x0.32W(L)760pm1pm=0.3V,W(L)52IDS5pCV2noxeff,52x300 x10-6=56.0,119x10-6x0.32WW(L)5=(-L)L660pm1pm=0.3V,W(L)32IDS3pCV2noxeff,32x300 x10-6=120.1,(W)55.2x10-6x0.32L3W=(L)4120pm1pmCasco

19、de管M3的跨导为，gm3212x300 x10-6c小Dsr=2mQ-1V0.3eff3Miller补偿电阻RC的确定我们将零点从右半平面移动左半平面1则，R=8850。c1.2gm1并且使其为单位增益带宽频率的1.2倍,u通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # 6.偏置电路的管子尺寸根据所有MOS的有效电压，我们可以计算出偏置电压Vb1-Vb4的值。Vb1=V-(V+V)=5-(1.0V+0.3V)=3.7VddTH,PDS,13V=V+V-V-V=V+(V+V

20、)-V-(V+V)b2IN,COMSG,1SD,1SG,3IN,COMTH,Peff,1SD,1TH,Peff,3=2.5V+(1.0V+0.318V)0.3V(1.0V+0.3V)=2.218V,由于衬偏效应,取V=2.1Vb2V=V+V+V=0.73V+2X0.3V=1.33Vb3TH,NDS,7DS,5(W(W(W10pm(W10pm(W2.5pm(WL丿JL丿JL丿2pmJL丿1|1mJL丿1|1mJL丿计算可以得到MB1-MB12管的尺寸为，偏置电流Ibias=25uA，V=V+V=0.73V+0.3V=1.03Vb4TH,NDS,7B10-125pm1|1m7.共模负反馈的管子尺寸

21、共模负反馈放大器输入级与差模放大器输入级相匹配，直流工作电流相同也采用Cascode结构，因此管子尺寸为，为了提高增益/W、L丿14/W、L丿18(W160pm(W(W1(W40pm(W(WJL丿1|1mJL丿JL丿2JL丿2pmJL丿JL丿(W80pm(WW12(W1JL丿1|1mJL丿JL丿“3JL丿2340pm1|1m8.开环增益的确定假设NMOS管与PMOS管的X相等，XnggggA=mm3m-5mHoggg+gggg+gm5o1o3m3o5o7o9o11gm9100pm2pm_gggm1mm丿4g(XI)2+4g(XI)2XI+XIm5DS13m3DS13DS11得到X10416DS

22、13DS11DS11=0.2V-1，则L取1卩m基本能够满足直流增益指标。假设CSMC0.6卩m工艺中的X0.1V-1,Xnp通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 五、SPICE仿真1DC工作点与AC特性首先我们在输入端为2.5V共模电压的情况下，进行直流工作点的分析，对某些MOS管进行修改和调整。手工计算和SPICE仿真的管子尺寸如表格1所示。表格一、管子尺寸、工作电流与有效电压MOS管W/L（计算值）IDSVeffW/L（仿真）IDSVeffM1M2M1780卩m

23、/2p,m200pA0.425V100pm/2pm227pA0.621VM3M4120pm/1pm300pA0.3V120pm/1pm341pA0.369VM5M660pm/1pm300pA0.3V60pm/1pm341pA0.282VM7M860pm/1pm300pA0.3V60pm/1pm341pA0.298VM9M10100pm/1pm900pA0.254V100pm/1pm1000pA0.340VM11M12360pm/1pm900pA0.3V300pm/1pm1000pA0.396VM13M14160pm/1pm400pA0.3V160pm/1pm454pA0.385VM15M164

24、0pm/2pm100pA0.425V40pm/2pm114pA0.528VM1880pm/1pm200pA0.3V80pm/1pm227pA0.368VM1940pm/1pm200pA0.3V40pm/1pm227pA0.283VM2040pm/1pm200pA0.3V40pm/1pm227pA0.297VMB1MB2MB310pm/2pm25pA0.290V10pm/2pm25pA0.277VMB42.5pm/1pm25pA0.602V2.5pm/1pm26.4pA0.854VMB5MB610pm/1pm25pA0.30V10pm/1pm26pA0.361VMB13MB7MB810pm/1p

25、m25pA0.30V10pm/1pm26pA0.382VMB14MB910pm/1pm25pA0.30V10pm/1pm26pA0.356VMB105pm/1pm25pA0.290V5pm/1pm26pA0.274VMB115pm/1pm25pA0.290V5pm/1pm26pA0.327VMB121.25pm/1pm25pA0.580V1pm/1pm26pA0.797V通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 #通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月3

26、1日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # Fdfl-il0500m*prcgecttwo-Dtagevitbtile&oopicinputDtage.IIIIIiiiiiirL4丄直流增益：83.4dB单位增益带:55.3MHz相位裕度：增益裕量：22II400781.68dB丄一图8AC特性PLOT图应特性*projecttw-口t吕乌皀uith.teltoaoplainput口1:理闭环建10通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003

27、年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 #Frequency(log)通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #Frequency(log)3共模负反馈通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #Frequency(log)通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告

28、2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #Frequency(log)直流增益:86.9dB单位增益带宽:45.8MHz相位裕度:80通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # Frequency(log)通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 #Frequency(log)4输出动态范围nj匚-tl图13闭环连接I增益为-10)居的形式

29、，在输入端施加峰峰值为HTTz11Jrj_q将全差分运放连输入信号进行FFT分析，得到谐波失真总量THD。通过扫描输入信号幅度,失真为0.1%时的输出动态幅度。输出动态范围：土4.6V(THD=0.1%)口号。ZXduqAjuuAotIP!aEB|GSCdblCAiut然后对5.共模抑制比共模抑制比的测试需要两个运放电路，一个连接成差模放大；另外一个连接成共模放大。1004.0II20-eo-B0差分信我们可以得到8120图14共模抑制比，CMRR100LOkLOOk100klOg通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程

30、设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # Frequency(log)6电源抑制比电源抑制比的测试，与共模抑制比相类似，需要两个运放电路，一个连接成差模放大外一个在电源vdd或者地vss上加一交流小信号。通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # #Frequency(log)通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 #Frequen

31、cy(log)oO2020oO480(口-hddUJlfMJJmoOO通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦1 #0 7等效输入噪声特性等效输入噪声的测试可以与AC特性测试一同进行。通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦1 #0 #通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设

32、计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦1 0 #电压vth偏差）造成的输入失调，我们需要采用蒙特卡罗分析。A2a2=Vt，其中对n沟管人卩=11.5mVpm，对p沟管-19mVpm其中对n沟管Ap=2.5%pm,对p沟管A=2.3%pm通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦1 #0 通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦1 0 #MOS

33、管类型W/Loo(mv)VMlM2M17PMOS100卩m/2卩m0.16%1.34M3M4PMOS120p,m/1卩m0.21%1.73M5M6M7M8NMOS60pm/1pm0.32%1.49M9M10NMOS240pm/1pm0.16%0.74MllM12PMOS300pm/1pm0.12%1.10M13M14PMOS160pm/1pm0.13%1.50M15M16PMOS40pm/2pm0.26%2.12M18PMOS80pm/1pm0.26%2.12M19M20NMOS40pm/1pm0.40%1.82MB1MB2MB3NMOS10pm/2pm0.56%2.57MB4PMOS2.5p

34、m/1pm1.45%12.01MB5MB6MB7MB8MB9MB13MB14PMOS10pm/1pm0.73%6.01MB10MB11NMOS5pm/1pm1.12%5.14MB12NMOS11.25pm/1pm2.24%10.29、W/L失配，阈值电压V偏差表格二*pirajieattwo-stagevithtels口upp:!亡inputstage耳H】口FjJl-iDH输入失调电压：土3.2mV1500m图181六、结论本文对全差分运算放大器的各项性能指标进行了分析，并且使用一级模型进行手工计算，然后在HSPICE软件下进行仿真调试。在共模负反馈电路中，采用共模放大器输入级与差模放大器输

35、入级共用的方法，降低了全差分运放设计难度，使得全差分运算放大器设计流程与单端输出运算放大器设计流程相同。整个运算放大器的性能达到了设计指标要求，各项性能指标罗列如下：直流增益:83.4dB单位增益带宽:55.3MHz负载电容:=5pF相位裕量:81.6增益裕量:22dB开环差分压摆率:202V卩s共模电平:2.5V(VD=D5V)共模负反馈直流增益:86.9dB共模负反馈单位增益带宽:45.8MHz共模负反馈相位裕量:80等效输入噪声:11.9nV：；4H输入失调电压:3.2mV差分输出摆幅:4.6V(THD=0.1%)七、展望我们在设计一个确定结构的运算放大器电路的时候，许多设计约束条件和设

36、计目标函数往往都是尺寸参数(管子尺寸，偏置电流)的一个多项式函数。我们调管子尺寸参数的设计过程，其实就是在满足所有设计约束的条件下，得到设计目标函数的一个解的过程。通常情况下，通过手工计算和SPICE仿真相结合得到的解是一个局部最优解。而一种采用数学最优化方法一几何规划(GeometricProgramming)方法5,6,7来求解运算放大器的所有约束条件，将得到设计的全局最优解。几何规划问题是满足下面表达式的一个数学最优化问题。Minimizef(x)0subjecttof(x)0，i=1,.,n,i其中ff是凸函数。另外几何规划问题必须满足三个附加条件：0,.,m目标函数是一个凸函数不等式约束函数都是凸函数通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦通信系统混合信号VLSI设计课程设计报告2003年12月31日作者:唐长文,菅洪彦 # 等式约束函数g=aTx-b是仿射的iii几何规划问题理论已经在数学界得到了证明，而其应用在最近几年才得到了蓬勃发展。主要原因是近十年间，适用于通用凸优化问题求解方法内点法的开发，使得凸函数求解变得非常有效。这些算法能够在几秒中之内求解一个具有上千个变量和几千个约束的凸优化问题。而且