变化率与导数

1、变化率与导数平均变化率 令x x2x1 , y f (x2) f (x1) ,那么yf (x)从x1到 x2的平均变化率.我们把式子 称为函数 1212)()(xxxfxf-yx1. 式子中x ,y 的值可正,可负, 但x值不能为 0, y 的值可以为 0.2. 假设函数 f (x)为常函数时, y0. 3. 变式:平均变化率 1212)()(xxxfxf-yxxxfxxfxxxfxf )() ()()(111212D-D+-考虑:观察函数 yf (x)的图象,平均变化率表示什么?yxf(x2)f(x1)x2x1xyOf(x2)f(x1)x1x2x2x1f(x2)f(x1)yf (x)表示割线

2、斜率例1 (2) 求函数 f (x) x2 1在区间 x=-3附近 的平均变化率.例题分析 一般地, 函数 yf(x) 在点xx0处的瞬时变化率是我们称它为函数 y f (x)在点xx0处的导数，记为 f (x0)或 y| ,即导数的概念 xx0求导数的步骤例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品, 需要对原油进冷却和加热. 假设第 x h时, 原油的温度(单位: oC) 为 f(x)x27x15 (0 x8). 计算第2h 与低6h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。例题分析解:yxf(2x)f(2)xx3f (2)=-3为原油温度在 t2 时的瞬时变化率,它说明了在第2h附

3、近，原油温度达约以3 oC/h的速度下降。导数的几何意义求导数的步骤xyOPxyOPxyOPxyOPP2P1P3P4yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)1.切线的定义： 当点Pn沿着曲线趋近于P点 ,即x 0时,割线PPn趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.xyOy=f(x)PPnxyTlABOxy注:曲线的切线,并不一定与曲线只有一 个交 点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个.如图: 当点Q无限趋近于点P时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率.即当x0时,割线PQ的斜率为曲线在点P处的切线的斜率.也就是说函数 f(x)在x0处的导数就是切线PT的斜率 k .这个概念

4、: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在xx0处的导数.PQOxy割线切线T割线的斜率与切线的斜率的关系 y=f(x)即: k切线f (x0) xyxDDD0limxxfxxfxD-D+D)()(lim000 函数 yf (x) 在 xx0 处的导数就是曲线在点 (x0 , f(x0) 处的切线的斜率 k ， 即：曲线在点(x0 , f(x0)处的切线的方程为：2.导数的几何意义 yf (x0) f (x0)(xx0) 例2 求曲线yf(x)x21在点P(1,2)处的切线方程.因此,切线方程为y22(x1),即 y 2x.解：yxOxyP1【总结提升】求曲线在某点处的

5、切线方程的根本步骤:求出切点P的坐标；求切线的斜率,即函数yf(x)在xx0处的导数;利用点斜式求切线方程.1.如以下图,函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8,那么 f(5) f (5) _.变式训练 4.导函数的定义： 弄清“函数f(x)在点x0处的导数、“导函数、“导数 之间的区别与联络。1函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。3函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0时的函数值。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。 变式：抛物线y=2x2+1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为450?(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线 4x-y-2=0?D 题型分类深度剖析题型分类深度剖析D 1.曲线的切线定义:割线的极限位置课堂小结 2. 函数 yf (x) 在 xx0 处的导数就是曲线在点 (x0 , f(x0) 处的切线的斜率 k ， 即：(3)函数f(x)在点x0处的导数 f (x0)就是导函数 在xx0处的函数值,即 f (x0)| . 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f (x) .(1)函数在