中考 圆 知识点总结及典题

1、圆的考点总结考点一、圆的相关概念（3分）（中考命题判断） 1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3分）（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（直径是线段）（如图中的CD）直径等于半径的2倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（半圆是 弧，半径相等的半圆是等弧）（4）弧、优弧、劣弧、同弧、等弧（3分）圆上任意两点间的部分

2、叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）等弧：能够完全重合的两段弧。与弧长相等的区别：弧长相当于求弧伸直的长度。考点三、垂径定理及其推论（3-5分）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（多用于命题判断）(注意AB不能是直径)【练习】1半径为4cm的O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是 。2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是 。3半

3、径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。【方法归纳】1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。2.解决有关弦的问题时，经常（1）连结半径；（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 考点四、圆的对称性（3分）1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3分） 1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 AOB=A1O

4、B1 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_， 所对的弦_；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角_，所对的弧_推论：（等对等定理）在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、所对两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。【练习】1.如图3，AB、CD是O的两条弦。（1）如果AB=CD，那么 ， 。（2）如果弧AB=弧CD，那么 ， 。（3）如果AOB=COD，那么 ， 。（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？【练习】2.判断下列说法是否正确：(1)相等的圆心角所对的弧相等。（ ） (2)相等的弧所对的弦相等。（ ）考点六、圆周角定理及其推

5、论（38分） 1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【练习】1.如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC。求证：。D变式1. AOB=100, BOC=30.求ADB=?变式2. 如图O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角 2.如图12，在圆O上有定点C和动点

6、P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为，tanABC，则CQ的最大值是（ ） A、5B、C、 D、3.如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G若AF的长为2，则FG的长为（） A4 B C6 D4.如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A2B8C2D25.如图，AB是O的直径，C、D是O上的点，CDB=30，过点C作O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为_6.如图，已知O是ABD的外接圆，AB是O的

7、直径，CD是O的弦，ABD=58，则BCD等于（）A116B32C58D647.如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（） AOCAE B EC=BCCDAE=ABEDACOE8.如图，点A，B，C，在O上，ABO=32，ACO=38，则BOC等于（）A60B70C120D1409. 如图，在O中，已知OAB=22.5，则C的度数为（）A135B122.5C115.5D112.510.如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，ABC=50，则DAB等于（）A55B60C65D7011.如图，DC 是O直径，弦ABCD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是

8、（）ABAF=BFCOF=CFDDBC=9012.如图，在半径为1的O中，AOB=45，则sinC的值为（）ABCD13. 如图，点A，B，C，D为O上的四个点，AC平分BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A4B5C6D714. 如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，BAC=BOD，则O的半径为（）A4B5C4D315. 如图11，是的直径， 则（ ） 16. 如图10，点P是等边三角形ABC外接圆O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）A、当弦PB最长时，APC是等腰三角形。 B、当APC是等腰三角形时，POAC。C、当POAC时，ACP=30

9、0. D、当ACP=300，PBC是直角三角形。17. 如图，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为O的直径，AD=6，则DC= 18. 如图，点A、B、C、D在O上，OBAC，若BOC=56，则ADB=度19.如图，OC是O的半径，AB是弦，且OCAB，点P在O上，APC=26，则BOC=度 20. 如图，边长为1的小正方形网格中，O的圆心在格点上，则AED的余弦值是21.如图，PA、PB分别切O于点A、B，若P=70，则C的大小为（度）22. 如图所示O中，已知BAC=CDA=20，则ABO的度数为 24. 图中圆心角AOB=30，弦CAOB，延长CO与圆交于点D，则BOD=如

10、图，在RtABC中，ACB=90，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求O的半径25.如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DEAC于点E，BE交O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P（1）求tanABE的值；（2）若OA=2，求线段AP的长26.如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径27. 已知AB是O的直径，直线BC与O相切于点B，ABC的平分线BD交O

11、于点D，AD的延长线交BC于点C（1）求BAC的度数；（2）求证：AD=CD28如图，在ABC中，以BC为直径作半圆0，交AB于点D，交AC于点EAD=AE (1)求证：AB=AC； (2)若BD=4，BO=，求AD的长29.如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：AF=CF（2）若EAB=30，CF=2，求GA的长30. 如图，AB为O的直径，点C在O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与O的另一个交点为E，连接AC，CE（1）求证：B=D；（2）若AB=4，BCAC=2，求CE的长考

12、点七、点和圆的位置关系（3分）设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr点P在O外。考点八、过三点的圆（3分） 1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。（共线的三点无法作出圆）2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。到三角形的三个顶点的距离相等。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。考点九、反证法（3分）先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。考点十、直线与圆

13、的位置关系（35分）直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与O相交dr；考点十一、切线的判定和性质（35分） 1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。考点十二、切线长定理（3分） 1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到

14、圆的切线长。2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。考点十三、三角形的内切圆（38分） 1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。到三角形的三边的距离相等。考点十四、正多边形和圆（3分） 1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。考点十五、与正多边形有关的概念（3分） 1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形