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文档简介

1、第五节 曲线的凹凸性及微分作图法 掌握函数图形的凹凸向的判别法 学习要求 理解拐点的概念 会求函数图形的拐点和渐近线，并作图 曲线的凹凸性及拐点 凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。 凹弧 凸弧 凹凸弧的判别定理定理 设函数 在区间 上具有二阶导数 ，则在该区间上：（1）当 时，曲线弧 是向上凹的；（2）当 时，曲线弧 是向上凸的。例1 试证明函数 的图形是处处向上凹的。所以，函数的图形在 内是向上凹的。证明 函数的定义域为 判断曲线 y=lnx 的凹凸性内是凸的。解答解 函数的定义域为 例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。令得列表因为所以，曲线在 及 内是向上凹

2、的，在 内是向上凸的，有拐点 及 。例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。例3 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 因为 所以，当 时， ，当 时，所以，曲线在 内是向上凹的，在 内是向上凸的。有拐点 。 小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；这类点可能将凹凸区间分开，但不是绝对分开。如曲线 ，在 内是向上凹的，虽然但 不是拐点。微分法作图 曲线的渐近线：如果曲线 上的点M沿曲线离坐标原点无限远移时，点M与某一条直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线 的一条渐近线。 （1）若 或 则 为曲线的铅直渐近线。 （2）若 或 则 为曲线的水平渐近线。 （3）若 ，则 为曲线的斜渐近线。 微分法作

3、图函数的微分法作图的一般步骤：（1）求出函数f(x)的定义域，确定图形的范围；（2）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；（3）找出渐近线，确定图形的变化趋势；（4）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为 零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；（5）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、曲线的 凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点；（6）适当选取一些辅助点，一般常找出曲线和坐标轴的交点；（7）画图。例4 作函数 的图形。解 函数的定义域为 函数是奇函数，所以函数的图形关于原点对称。因为 所以 是曲线的垂直渐近线， 是曲线的水平渐近线。又 令 得 当 时， 不存在所以函数在定义域内单调递增。列表 画图 第六节 边际分析与弹性分析 了解边际函数、弹性的概念 学习要求 理解边际分析与弹性分析方法 理解边际函数、弹性的经济意义 边际函数与边际分析 定义 在经济管理中，把经济函数的导数称为边际函数。 如：边际成本 边际收益 边际利润 边际需求 用边际函数分析经济量的变化称为边际分析。 边际函数的经济意义 弹性与弹性分析 弹性

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