(人教版A版2017课标)高中数学必修第二册第八章综合测试(附)

1、第八章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1.关于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描绘不正确的选项是（）A.三角形的直观图仍旧是一个三角形B.90角的直观图为45角C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半D.原来平行的线段仍旧平行2.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是（）A.，且mmn，且nC.mn，且nD.mn，且n3.圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，恰巧顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为（

2、注：1丈等于10尺）（）A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺4.设,为三个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是（）A.当时，若，则B.当m，n时，若，则mnC.当m，n时，若，则m,n是异面直线D.当mn，n时，若m，则5.已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为4，底面边长为23.若点M是线段A1C1的中点，则直线BM与底面ABC所成角的正切值为（）5A.3高中数学必修第二册1/14433C.44D.56.如下图，表面积为23的正八面体的各个极点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A.231323D.2237.已知三棱锥PABC中，PA23，AB3，AC4，ABA

3、C，PA平面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为（）A.162864D.96如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,AD的中点，将ABF沿BF所在的直线进行翻折，将CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的选项是（）A.不论翻折到什么地点，A、C两点都不可能重合B.存在某个地点，使得直线AF与直线CE所成的角为60C.存在某个地点，使得直线AF与直线CE所成的角为90高中数学必修第二册2/14D.存在某个地点，使得直线AB与直线CD所成的角为909.等体积的球和正方体的表面积的大小关系是（）A.S正方体S球B.S正方体S球C.S正方体S球D.无法确

4、定10.已知棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰巧以直线AC1，为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）A.32B.23C.9249D.28二、多项选择题（本大题共2小题，每题5分，共10分.在每题给出的选项中，有多个选项切合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.下列命题为真命题的是（）A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直垂直于同一条直线的两条直线相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直12.如下图，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线

5、，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的图形为（）ABCD三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上）高中数学必修第二册3/1413.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为_，体积为_.（此题第一空2分，第二空3分）14.已知正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60，则该四棱锥的高为_.15.如下图，直线a平面，点A在另一侧，点B,C,Da，线段AB,AC,AD分别交于点E,F,G.若BD4,CF4,AF5,则EC_.16.如图，在长方形ABCD中，AB2，AD的地点，且平面AED平面ABCE，则直线1，E是CD的中点，沿A

6、E将DAE向上折起，使D到DAD与平面ABC所成角的正弦值为_.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如下图，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h也相等，用a将h表示出来。18.（本小题满分12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1.1）证明：D1A平面C1BD；2）求异面直线D1A与BD所成的角.高中数学必修第二册4/1419.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.（1）证明：ABAC1；（2）若ABCB2，A1C6，求三棱柱ABCA1

7、B1C1的体积.20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分别是AB,BB1的中点.（1）证明：BC平面ACD；11（2）设AA1ACCB2，AB22，求三棱锥CA1DE的体积.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形。（1）求证：PCPD；（2）若2PD5CD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.高中数学必修第二册5/1422.（本小题满分12分）如下图，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，D是BC的中点，侧面BB1C1C底面ABC.（1）求证：ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角

8、线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；（3）若截面MBC1平面BB1C1C，AMMA1建立吗？请说明原因.高中数学必修第二册6/14第八章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】A正确，根据斜二测画法，三角形的直观图仍旧是一个三角形；B错误，90角的直观图能够是45角，也能够是135角；由斜二测画法例则知C、D正确.2.【答案】B【解析】A中，m，故A错误；易知B正确；C、D中，m或m或m与相交，故C、D错误.【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，其中一条边（即圆木的高）长为24尺，其邻边长为5尺，因此葛藤长242(52)226（

9、尺）.应选C.4.【答案】C【解析】关于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得A正确；关于B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得B正确；关于C，m,n可能异面，也可能平行，故C错误；关于D，由mn，n可知m，又m，所以，故D正确。应选C.5.【答案】B【解析】过点M作MNAC于点N，连结BN，则MBN为直线BM与底面ABC所成的角.由已知，可得MN4，BN3，所以tanMBN4，应选B.36.【答案】A【解析】设正八面体的楼长为a，则83a223，a1，球的半径为2，球的体积为423422.323【答案】C【解析】已知PA平面ABC，ABAC，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球

10、的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线.QPA23，AB3，AC4三棱锥外接球的直径为2391643，外接球的内接正方体的体对角线长为43，高中数学必修第二册7/14正方体的棱长为4，正方体的体积为64，应选C.【答案】D【解析】在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个地点，使得直线AF与直线CE所成的角为60，故B正确；在C中，当平面ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误.应选D.【答案】A【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意得V4R3a3，所以a3V，R33V，所以34S正

11、方体6a263V23216V2，S球4R2336V2，所以S正方体S球.【答案】D【解析】由题知，只要考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1,AC,AD1上，如下图，设线段AB1上的切点为E,AC1与平面A1BD的交点为O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E，记为r，设AB1与平面A1BD的交点为F.Q正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，AC13,A1BBDA1D6.由题意知，O2F1132，AO213DF26AC11.323由O1EO2F知0,EAO1，212AO12O1E，则圆柱的高为

12、32AO1322r，S测2r(322r)4232rr24242r329292888高中数学必修第二册8/14当r32时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为92.88二、11.【答案】BD【解析】A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比方a,b,c，显然有ab,ac，但b与c也可能相交应选BD.12.【答案】AD【解析】如下图，正方体ABCDABCD.连结AC,BD.QM、P分别为其所在棱的中点，MPAC.Q四边形ABCD为正方形，ACBD，QBB平面ABCD，AC平面ABCD，BBAC，QACBD，BDIBBB，AC平面DBB，QDB平面DBB，ACDB.QMPAC，DBMP，同理，可证

13、DBMN,DBNP，QMPINPP，MP平面MNP，NP平面MNP，DB平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确.在D中，由A中证明同理可证lMP，lMN，又QMPIMNM，l平面MNP.故D正确.应选AD.三、13.【答案】333【解析】设圆锥的底面半径为r，根据题意，得，解得r1，根据勾股定理，得圆锥的高为2r222123，所以圆锥的表面积1222，体积V11233S133.2314.【答案】3【解析】如图，过点S作SO平面ABCD，连结OC，则SCO60，SOsin60SC33.232高中数学必修第二册9/14【答案】209【解析】因为Aa，所以点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因

14、为a，且I平面ABDEG，所以aEG，即BDEG，所以AFEG.于是EGAFBD54=20.ACBDAC549216.【答案】2【解析】解析由题意，知AED为等腰直角三角形，平面AED平面ABCE，AD在底面的射影在AE上，DAE为直线AD与平面ABC所成角，且DAE45，其正弦值为2，故答案为2.22四、17.【答案】解：由题意，得V圆锥液h2h3，2V圆锥液ah，2由已知得h3a23a.h，所以h32218.【答案】（1）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，QABD1C1，ABD1C1，四边形ABC1D1是平行四边形，AD1BC1，QAD1平面C1BD，BC1平面C1BD，D1A平面

15、C1BD.（2）解：由（1）知，AD1BC1，高中数学必修第二册10/14异面直线D1A与BD所成的角即为C1BD.易知C1BD为等边三角形，C1BD60，即异面直线D1A与BD所成的角为60.【答案】（1）证明：如图，去AB的中点O，连结OC,OA1,A1B.因为CACB，所以OCAB.因为ABAA，BAA60，所以AAB为等边三角形，所以OAAB.1111因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，所以ABA1C.（2）由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA13.又A1C6，所以A1C2OC2OA12，故OAOC.1因为OCABO，所以OA1平面A

16、BC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高。又SVABC3，所以三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.【答案】（1）证明：如图，连结AC1，交A1C于点F，连结DF，则F为AC，的中点.因为D是AB的中点，所以BC1DF.因为DF平面ACD，BC平面ACD，所以BC平面ACD.11111高中数学必修第二册11/14（2）因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由ACCB，D为AB的中点，知CDAB.又AA1IABA，所以CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB22得，ACB90,CD2,A1D6,DE3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以V11632

17、1.C1,DE3221.【答案】（1）证明：如图，取AB的中点M及CD的中点N，连结PM,PN,MN.由PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，得ABPM，ABMN.又PM,MN平面PMN,PMIMNM,所以AB平面PMN.因为ABCD，所以CD平面PMN，又PNC平面PMN，所以CDPN，因为N是CD的中点，所以PCPD.（2）过B作BH平面PCD，垂足为H，连结PH，BPH为直线PB与平面PCD所成的角，sinBPHBH.BP过M作MFPN于F，由CD平面PMN及MF平面PMN，得CDMF.又MFPN，PN，CD平面PCD，PNICDN，得MF平面PCD.由ABCD，AB平面PCD，CD平面PCD，得AB平面PCD.于是点B到平面PCD的距离BH等于点M到平面PCD的距离等于MF.设CD2，则PD5，PAPBABADBCMN2，计算得PM3，PN2，在等腰三角形39MF39394PMN中可算得MF所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值.284PB22.【答案】（1）解：证明：ABAC，D是BC的中点，ADBC.高中数学必修第二册12/14Q底面ABC侧面BB1C1C，底面ABCI侧面BB1C1CBC，AD侧面BB1C1C.又CC1侧面BB1C1C1，ADCC1.（2）证明：如图，延伸B1A1，与B