三角函数专题(知识归纳、记忆技巧、典型真题题剖析)

1、PAGE 6PAGE 26三角函数专题（知识归纳/记忆技巧/典型真题题剖析）一、三角函数的概念角的概念：终边相同角的集合：所有与终边相同的角,连同在内,可构成集合或象限角：第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合轴线角：终边在轴上角的集合,终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合角度、弧度的换算关系：（1）,（2）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为,则,扇形的面积3、三角函数定义： 若是角终边上任意异于的一点,为坐标原点,则4、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.+ （）二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三

2、角函数的基本关系式（1）倒数关系： （2）商的关系： （3）平方关系：2、诱导公式函数注意：（1）诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。（2）记忆规律：奇变偶不变,符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化,若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数,若是偶数倍,则函数名称不变；符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过程中注意两点：一是函数名称是否改变,二是正负号的确定原则。3、注意常见方法的运用：（1）；（特殊地,若,则分别取；若再由其它条件确定唯一结果。）；.(特殊地,若)。取负值也可讨论。（2）的值。（3）若可求 = 1 *

3、 GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 三、两角和与差的三角函数1、两角和与差的三角函数公式：,。二倍角公式 ；注意：熟悉以下公式变形（1）（2）（3） （4）（5）注意“凑角”运用：,求值时,特别注意角的范围及符号。例如：已知则（6）辅助角公式的运用：,其中.如： 等。（7）几种常用变换思想： = 1 * GB3 变不同角为同角 = 2 * GB3 变不同函数为同名函数 = 3 * GB3 见高次降幂四、三角函数的图象及性质表（1）函数图象定义域RR值域R奇偶性奇函数偶函数奇函数有界性无界函数最小正周期单调区间对称轴无对称轴对称中心最值无最值 表（2）函数定义域RR值域R奇偶性时是

4、奇函数,时是偶函数。时是奇函数,时是偶函数。时是奇函数有界性无界函数最小正周期单调区间对称轴无对称轴对称中心最值无最值 注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求上的取值范围。（2）注意求单调区间时的整体意识。如：求的单调增区间,在上的单调增区间。而求单调增区间时,先化成的形式,再求的单调递减区间。（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时在对称轴处取最值。五、图象变换：函数的图象可由的图象做如下变换得到1、先相位变换 周期变换 振幅变换 ：把图象上所有的点向左（） 或向右（）平移个单位。 ：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的 倍,纵坐标不变。 ：把图象上各点的纵

5、坐标伸长（）或缩短（）到原来的A倍,横坐标不变。2、先周期变换 相位变换 振幅变换：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的 倍,纵坐标不变。：把图象上所有的点向左（）或向右（）平移个单位. ：把图象上各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的A倍,横坐标不变。注意：（1）要会画在一个周期的图象：（即五点作图法：设求相应的值和对应的值,描点作图）如,在上的图象的画法。（2）注意图象变换时 = 1 * GB3 先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 = 2 * GB3 要先使函数名称相同再变换。如：为得到函数的图象,只需将函数的图象向 平移 个单位。（3）,（频率）。注意、相邻两对称轴间

6、的距离为。（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求,看周期求,看特殊点求（通常是最大值或最小值时的位置） （5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量进行变换。方法技巧归纳：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在

7、第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；（2）利用的有界性求值域；（3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数

8、,的图象与性质,并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是,对称中心是；的对称轴是,对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式时初相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.（三）正弦型函数的图象变换方法如下：先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得的图象先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得

9、的图象得的图象三角函数常用结论总结1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝

10、对值最小的角的度数是，合弧度。（答：；）（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于轴对称.（5）终边与终边关于原点对称.（6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.如的终边与的终边关于直线对称，则_。（答：）4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_象限角（答：一、三）5.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的

11、任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则的值为。（答：）；（2）设是第三、四象限角，则的取值范围是_（答：（1，）；（3）若，试判断的符号（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若，则的大小关系为_(答：)；（2）若为锐角，则的大小关系为_ （答：）；（3）函数的定义域是_（答：）8.特殊角的三角函数值：304560090

12、1802701575010110101002-2+1002+2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数的值的符号为_（答：大于0）；（2）若，则使成立的的取值范围是_（答

13、：）；（3）已知，则_（答：）；（4）已知，则_；_（答：；）；（5）已知，则等于A、B、C、D、（答：B）；（6）已知，则的值为_（答：1）。10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。如（1）的值为_（答：）；（2）已知，则_，若为第二象限角，则_。（答：；）11、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余

14、弦曲线在一个周期内的图象。12、正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值1。如（1）若函数的最大值为，最小值为，则_，（答：或）；（2）函数（）的值域是_（答：1, 2）；（3）若，则的最大值和最小值分别是_ 、_（答：7；5）；（4）函数的最小值是_，此时_（答：2；）；（5）己知，求的变化范围（答：）；（6）若，求的最大、最小值（答：，）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是。如(1)若，则_（答：0

15、）；(2) 函数的最小正周期为_（答：）；(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为_（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。如（1）函数的奇偶性是_（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则_（答：5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答：）（5）单调性：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 13、形如的函数：（1）几个物理量：A

16、振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则_（答：）；（3）函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数的图象与图象间的关系：函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） (B) (C) (D)3 【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。【解析】将y=sin(x+)+

17、2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k1,故，所以选C（2010全国卷2文数）（3）已知，则 （A）（B）（C）（D）【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式， sina=2/3，（2010江西理数）7.E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得，解得。（2010重庆文数）（6）下列函数中，周期为，且

18、在上为减函数的是（A）（B）（C）（D）解析：C、D中函数周期为2，所以错误 当时，函数为减函数而函数为增函数，所以选A（2010重庆理数）（6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则A.=1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -解析： 由五点作图法知，= -（2010浙江理数）（11）函数的最小正周期是_ .解析：故最小正周期为，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题（2010全国卷2理数）（13）已知是第二象限的角，则 【答案】 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【解析】由得，又，解得，又是第二象限的角，

19、所以.（2010全国卷2文数）（13）已知是第二象限的角,tan=1/2，则cos=_【解析】 ：本题考查了同角三角函数的基础知识 ，（2010重庆文数）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则_ .解析：又，所以（2010浙江文数）（12）函数的最小正周期是 。答案：（2010山东文数）（15） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,则角A的大小为 .答案：（2010北京文数）（10）在中。若，则a= 。答案：1（2010北京理数）（10）在ABC中，若b = 1，c =，则

20、a = 。答案 1111解：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，则，来源:高考资源网KS5U.COM，（2010广东文数）（2010福建文数）16.观察下列等式：KS*5U.C#O cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1可以推测，m n + p = 【答案】962【解析】因为所以；观察可得，所以m n + p =962。【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理

21、能力等。（2010全国卷1文数）(14)已知为第二象限的角，,则 .14.【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所（2010全国卷1理数）(14)已知为第三象限的角，,则 .（2010山东理数）1. （2010福建理数）14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。【答案】【解析】由题意知，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。2.（2010江苏卷）10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点

22、为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_。解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为3.（2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，= 4。（方法二）， （2010上海文数）19.（本题满分12分）已知，化简：.解析

23、：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20（2010湖南文数）16. （本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由co

24、s2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=4（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，求【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】由cosADC=0，知B.由已知得cosB=，sinADC=.从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得 ，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的

25、热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分） 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （