中学生物理竞赛试题选讲量子、相对论

1、中学生物理竞赛试题选讲一.试从相对论能量和动量的角度分析论证:1.一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰撞时,光子的能量不可能完全被电子吸收.2.光子射到金属表面时,其能量有可能完全被吸收并使电子逸出金属表面,产生光电效应.解:1. 碰撞前电子与光子的总能量为: 这表明,所假设的过程不符合能量守恒定律,因此,这一过程实际上不可能发生.(2)束缚在金属中的电子和入射金属的光子二者构成的系统,在发生光电效应的过程中动量不守恒,只需要考虑能量转换问题.对电子,由功能原理得:考虑到一般情况:vc 所以: 故:二.铀 是放射性元素，若衰变时依次放出 , , , , , , , , , , , , ,

2、粒子，最终形成的稳定核 ，则其中X= ,Y= .三.已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能。若从地面上某处将一束频率为 的光射向其正上方相距为d的空间站，远d小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为 ，则差 （ ） ，已知地球表面附近的重力加速度为g。四.图中K是密封在真空玻璃管内的金属电极，它受光照射后能释放出电子；W是可以透光的窗口，光线通过它可照射到电极K上；C是密封在真空玻璃管内圆筒形的收集电极，它能收集K所发出的光电子；R是接在电池组E（电压足够高）两端的滑动变阻器，电极K通过导线与串联电池组的中心端O连接；G是用于测量光电流的电流计。已知当某一特定频率的单色光通过窗

3、口照射电极K时能产生光电子。当滑动变阻器的滑动接头处在某一点P时，可以测到光电流，当滑动头向右移动时G的示数增大，使滑动头继续缓慢向右不断移动时，电流计G的示数变化情况是：（ ）。当滑动变阻器的滑动接头从P点缓慢向左不断移动时，电流计G的示数变化情况是：（ ）。 若测得用频率为 的单色光照射电极K时的遏止电压为 ，频率为 的单色光照射电极K时的遏止电压为 ，已知电子的电量为e，则普郎克常量h=（ ），电极K的逸出功W=（ ）。五.如图所示，竖直、固定且平行放置的两条相同的长直导线1和2相距为a（a长直导线的长度），两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方向向上。导线中的正离子都是静止的，

4、每单位长度导线中正离子的电荷量为；形成电流的导电电子以速度 沿导线向下匀速运动，每单位长度导线中导电电子的电荷量为-。已知：单位长度电荷量为的无限长均匀带电直导线在距其距离为r处产生的电场强度大小为 ，其中 是常量；当无限直导线通有稳恒电流I时，电流在距导线距离为r处产生的磁场的磁感应强度大小为 ，其中 是常量。试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量 和 的比值。 提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参考系的选取无关；真空中的光速为c。分析：以导线1中的正离子为研究对象，分别从相对于导电电子静止的参考系 和相对于正离子静止的参考系S对导线1中的正离子所受的电场力和磁场力进行计算比较，从而

5、得到题目所问问题的结果。解：在相对于正离子静止的参考系S中， 对导线2 +（-）=0 所以导线2对导线1中的正离子施加的 电场力为零，即： 导线1中的正离子处于静止状态，故导线2对导线1中的正离子施加的磁场力为零，即：由以上计算可知，在参考系S中，导线2对导线1中正离子所施加的电场力和磁场力的合力为零，而导线1中的正离子又处于静止状态，所以其所受到的其它力的合力必为零。在相对于导电电子静止的参考系 中 和 分别是 系中单位长度导线的正、负离子电荷量，则所以：同理可得：所以在参考系 中，导线2单位长度的带电量为：它在导线1处产生的电场强度的大小为：电场强度方向向左。所以导线1中电荷量为q的正离子

6、受到的电场力大小为： 方向向左。在参考系 中，以速度 向上运动的正离子形成的电流为：该电流在导线1处产生的磁场为：方向垂直纸面向外。因为在 系中，导线1中的正离子所受到的其它力的合力为零，同时又处在匀速直线运动状态，所以：六.处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一系列不同频率的光,称为氢光谱.氢光谱线的波长可以用下面的巴耳末里德伯公式来表示 n,k分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数. k=1,2,3, 每一个对于k,有n=k+1,k+2,k+3R称为里德伯常量,是一个已知量.对于k=1的一系列谱线其波长处在紫外线区,称为赖曼系;k=2的一系列谱线其波长处在可见光区,称为巴耳末系.

7、 用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验,当用赖曼系波长最长的光照射时,遏止电压大小为U1,当用巴耳末系波长最短的光照射时,遏止电压大小为U2.已知电子电荷为e,真空中的光速为c,求普朗克常量和该种金属的逸出功.分析:根据光电效应实验装置和爱因斯坦方程 可知: 所以有:将题给条件带入上述方程,联立求解,即的h,A.解:根据巴耳末里德伯公式 赖曼系波长最长的光是氢原子由n=2k=1跃迁时发出的,其波长的倒数为:巴耳末系波长最短的光是氢原子由n=k=2跃迁时发出的,其波长的倒数为:根据爱因斯坦方程可知:将(1)和(2)分别代入上式,并根据题给条件得:七.封闭的车厢中有一点光源S,在距光源l处

8、有一半径为r的圆孔,其圆心为O1.光源一直在发光,并通过圆孔射出.车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动,如图所示.某一时刻,点光源S恰位于x轴的原点O的正上方,取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点.在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R(Rr)的不透光的圆形挡板,板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直.板的圆心O2与S和O1都等高.起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕上(图中未画出).由于车厢在运动,将会出现挡板将光完全遮住,即没有光射到屏上的情况.不考虑光的衍射,试求:1.车厢参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻.2.地面参考系中(所测出的)刚出

9、现这种情况的时刻.解(1)以车厢为参考系.地面连同挡板以速度v趋向光源S运动. 设当挡板距光源S的距离为L(在车厢中测量)时,挡板将小孔射出的光完全挡住(如图所示) 根据几何计算,得:根据相对论,挡板在计时开始时离光源的距离为:(2)以地面为参考系.光源与车厢以速度v向挡板运动,光源与孔之间的距离(从地面测量)缩短为: 而孔的半径不变,仍为r.挡板将 小孔射出的光完全挡住时的距离 应为: 计时开始时,挡板离S的距离为xA,因此,挡板将小孔射出的光完全挡住的时刻为:八.子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命0约为 .宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批子,以v=0.99c的速度(c为真空

10、中的光速)向下运动并衰变.根据放射性衰变定律,相对给定惯性参考系,若t=0时刻的粒子数为N(0),t时刻剩余的粒子数为N(t),则有N(t)=N(0) ,式中为相对该惯性系粒子的平均寿命.若能到达地面的子数为原来的5%,试估算子产生处相对于地面的高度.不考虑重力和磁场对子运动的影响.解:因为子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命为: 0 根据相对论时间膨胀效应,在地球上观测到子的平均寿命为: 代入数据计算得: 从地面观测,若子到达地面所需的时间为t,则在t时刻剩余的子数为: 根据题意有: 所以: 根据题意,可以把子的运动看作匀速直线运动,因此子产生处距地面的高度为:九.设某原子核处于基态时的静止

11、质量为m0,处于激发态时其能量与基态能量之差为E,且受激原子核处于自由状态.1.假设处于激发态的原子核原先静止,在发射一个光子后回到基态,试求其发射光子的波长0.2.由于无规则热运动,大量处于激发态的原子核原先不是静止的,可以沿任何方向运动,且速度的大小也是无规则的,可具有任何值.现只考察那些相对实验室是向着或背着仪器做直线运动的激发态原子核,假定它们速度的最大值是u,试求这些受激核所发光子的最大波长和最小波长之差 与0之比. 已知普朗克常量为h,真空中的光速为c.分析1)当原子核的状态发生变化时往往伴随有较大的能量 变化,从而导致原子核以及它所放出(或吸收)的粒 子具有较大的速度,此时应考虑

12、相对论效应; 2)解决问题的物理依据: 能量守恒 动量守恒.解:(1)以地为参考系.设m为基态原子核的动质量, 为所发 射的光子的频率.取光子运动的方向为正方向.根据题意,原子核与所发射的光子所组成的系统动量守恒.由动量守恒定律可得:在发射过程中能量守恒.由能量守恒定律可得:求解(1)和(2),得:考虑到: 所以:(2) a)对以最大速度u向仪器运动的激发态核. 以地为参考系.设 为基态原子核的动质量, 为所发 射的光子的频率.取光子运动的方向为正方向.由动量守恒定律可得:由能量守恒定律可得:求解(3)和(4),得:考虑: 所以:b)对以最大速度u背离仪器运动的激发态核. 以地为参考系.设 为

13、基态原子核的动质量, 为所发 射的光子的频率.取光子运动的方向为正方向.由动量守恒定律可得:由能量守恒定律可得:求解(5)和(6),得:考虑: 所以: 26复6.两惯性系 与S初始时刻完全重合,前者相对后者沿x轴正方向以速度v高速运动.作为光源的自由质点静止于 系中,以恒定功率P向四周辐射(各向同性)光子.在S系中观察,辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应).1.在S系中观察, 系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内.求该圆锥的半顶角 .已知相对论速度变换关系为:2.求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量.分析:1.由速度变换分析可知: 2.由质能关系可知

14、,在 系中质子辐射出光子的功率与其质量变化快慢的关系,再分别由相对论时间变换和相对论质量方程,计算出在S系中观察质子质量变化快慢的情况,从而求出在S系中观察在单位时间内质子所辐射出的光子的动量及能量.解:1.根据光速不变原理,在两个惯性系中光速的大 小都是c.以 和 分别表示光子速度方向在S系和 系中与 和 轴的夹角,则在两个惯性系中光速的x分量分别为:将上式代入相对论速度变换公式 得:2.在 系中,质点静止,在 时间内辐射光子的能量来自质点质量的减少,即:在S系中,在与 系中辐射时间 对应的时间 内,质点质量减少为 ,而其速度不变,从而导致其动量和能量的减少.由动量守恒定律和能量守恒定律可知

15、,其减少的动量和能量转化为光子的动量和能量. 由相对论时间变换和相对论质量方程可得:在S中,在 时间内转化为光子的动量和能量分别是:由以上各式可求得在S系中:单位时间辐射的全部光子的总动量为单位时间辐射的全部光子的总能量为26复7.1.设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度V沿光入射方向运动的理想反射镜(无吸收)上,试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子 能量,可以取以下近似: 其中c为光速.2.若在上述问题中单色光的强度为 ,试求反射光的强度 (可以近似认为光子撞击镜子后,镜子的速度仍为V).光的强度定义为单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的光子的能量. 分析:动量守恒; 能

16、量守恒.解:1.在光子与反射镜碰撞的过程中,光子和镜子所 组成的系统动量守恒,能量守恒.所以有:c+,并化简得:解之得:将该结果代入(1),计算得: 当 时, 所以:2.以t时刻位于垂直于光的传播方向在截面A左侧长为1c、底面积为单位面积的柱体内的光子为研究对象.根据分析,原来分布在(1c)范围内的光子,在反射后将发布在(1c+2ct)的范围内.其中:即:根据光强定义,入射光强和反射光强分别为:其中 和 分别为入射光和反射光单位体积中的光子数.由于入射光子数与反射光子数相等,因此有: 所以,反射光的强度为:考虑到Vc,有:24复72007年是我国著名物理学家王金昌诞辰一百周年。王先生早在194

17、1年就发表论文，提出了一种探测中微子的方案： 原子核可以俘获原子的K层电子而成为 的激发态 ，并放出中微子（当时写做 ）：而 又可以放出光子 而回到基态 ：现用王先生的方案来估算中微子的质量和动量。若实验测得锂核 反冲能量（即 的动能）的最大值 ， 光子的能量 。已知有关原子核和电子静止能量的数据为 ， ， 。设在第一个过程中， 核是静止的，K层电子的动能也可忽略不计。由以上数据算出的中微子的动量 和静止质量 各为多少。解:因为 核及K层电子的动量为零,所以根据动量守恒定律得:在第一个反应中:在第二个反应中:已知光子的动量大小为:对锂核,由动能和动量的关系得:代入数据,联立求解上述方程,得:设

18、 为中微子能量,则根据相对论有: +对(1)和(2)两个过程由能量守恒定律,有:由(5) 、(6)两式得:将已知数据和 的计算结果代入上式计算得:所算出的中微子静止质量的数值在题目所给数据的误差范围之内,故不能确定中微子的静止质量.如果存在,其质量一定小于 .24决7已知钠原子从激发态(记做 )跃迁到基态(记做 )所发出的光谱线波长为 ,现有一团钠原子气,其中的钠原子做无规则的热运动(钠原子的运动不必考虑相对论效应),被一束沿z轴正方向传播的波长为=589.0080nm的激光照射.以表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角(如图所示).问在3045角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收,从 态激发到 态?并求共振吸收前后钠原子速度(矢量)变化的大小.已知钠原子质量为: ,普朗克常量为: ,真空中的光速为: .解:根据已知条件,射向钠原子的激光频率为:由于多普勒效应,角度,速率为u的原子接收到的激光频率和波长分别为:发生共振时应有 ,即求解得:代入有关数据计算,得:对=30的钠原子,其速率