教学设计：直线的倾斜角与斜率-探究与发现 魔术师的地毯

1、教学设计表一、基本信息学校福建省福州三中金山校区课名3.1直线的倾斜角与斜率探究与发现 魔术师的地毯教师姓名学科（版本）数学（人教A版必修二）章节第三章第一节学时1课时（直线的倾斜角与斜率第二课时）年级二、教学目标【知识与技能目标】（1）通过三点共线的判断、图形特征的分析、让学生经历将几何问题代数化的过程，体会坐标法在解析几何中的地位与作用，理解解析几何的本质。（2）通过拓展训练，体会斐波那契数列的神奇。（3）通过设计魔术，学以致用，拓展创新。【过程与方法目标】（1）通过探究魔术师的秘密，让学生经历将地毯问题抽象为数学图形中的数量关系问题，通过实验、观察、猜想，并从数量描述中发现问题、思考问题

2、，加强培养学生的数感。（2）让学生经历坐标法在探究几何问题中的应用过程，进一步体会建系、坐标化、用代数方法研究几何问题的基本思想。体会数学的价值，增强学生的应用意识。（3）让学生经历实验、观察、猜想、论证、小结、拓展这一科学探究的过程，发展缜密的逻辑思维能力和严谨的表达能力。【情感态度与价值观目标】（1）通过引导学生积极参与探究魔术师秘密的活动，调动学生对数学的好奇心和求知欲，并感受到数学的价值。（2）让学生在探究过程中，经历生生互评，逐步形成向他人学习、借鉴的品质。（3）让学生体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。使学生形成实事求是的态度以及科学探究的精神。三、学

3、习者分析学生来自高一年级，具备一定的逻辑思维能力，有一定的动手操作能力和对“平板电脑”这一工具的使用能力，但独立探究精神和创新能力还不足。“三点共线”的一些相关几何性质初中已经学习过，同时学生对斜率的知识掌握比较到位，这些都为本节课的学习奠定了坚实的知识基础。因此本节课的学习就要让学生充分利用好已有知识，调动他们多种感官全面参与探究、解惑的过程中来。当然，本节课中的拓展、创新对他们来说仍是一大挑战，需要教师合理的引导和适当的帮助。在本节课之前，学生已经完成了前两章节关于立体几何的学习，并且刚学习完第三章节的第一节课直线的倾斜角与斜率。学生会产生困惑和不适：怎么突然从纯几何进入了纯代数。本节课的

4、学习正好为学生解开这个疑惑：原来可以用代数方法解决几何问题，数形不分家，并为后续的学习奠定了基础。四、教学重难点分析及解决措施教学重难点分析：本节课的教学流程是让学生经历实验、观察、猜想、论证、小结、拓展这一科学探究全过程。其中论证环节中，坐标法的应用是本节课的重点。因学生独立探究能力不足，所以如何在教师的合理引导下，完成探究全过程，尤其是拓展环节的实现，是本节课的难点。解决措施：（1）让学生亲手实验、演示魔术，获得感性认识，驱动学生的好奇心，引发学生思考、猜想，从而为后续的论证奠定基础。（2）在“三点共线”的判断过程中，引导学生积极思考，拓宽思路，采用多种方案完成论证，同时用几何画板展示真实

5、图象，让学生体会到成功的喜悦，为后面的拓展树立了信心，同时也完成了本节课的重点内容。（3）在拓展（一）环节，先给学生推送一组练习，通过精心设计的问题，让学生在练习的过程中发现规律，从而发现神奇的斐波那契数列，并体会到魔术设计的不易，为拓展（二）的实现营造了氛围，从而突破教学的难点。 五、教学设计教学环节起止时间（”- ”）环节目标教学内容学生活动媒体作用及分析 一、创设情境，引入魔术0005-0425让学生亲手实验、演示魔术，获得感性认识，驱动学生的好奇心，激发探索的欲望。给出魔术内容：魔术师让裁缝匠将一块边长为13分米的正方形地毯改成宽8分米，长21分米的矩形。面积由原来的169平方分米变成

6、了168平方分米，少了1平方分米。1、阅读老师推送的魔术。2、由一位学生用边长为13厘米的正方形毛毡，演示魔术。同桌利用平板电脑，将操作过程投影到互动电视的大屏幕上。其他同学通过学生平板电脑或互动电视边观看边思考。 1、利用教师平板电脑中的屏幕广播功能，向学生平板电脑推送魔术阅读资料，激发学生探索的欲望。2、利用平板电脑中的摄像功能，在互动电视的大屏幕和学生平板电脑上同步展示学生演示魔术的过程。让全体学生共同见证奇迹的发生。二、观察和猜想0425-0735让学生自己通过观察，得出猜想，让他们体验合理猜想的勇气与价值，并为后续的论证奠定基础。教师引导学生思考：1、假设在魔术过程中，毛毡没有发生形

7、变，也没有损耗。那么那1个单位面积去哪里了？2、地毯重叠部分可能在哪里？1、学生通过观察，得出猜想可能在拼接过程中有重叠部分！2、学生猜想重叠部分在对角线附近，于是将地毯问题转化成图形中的数量关系三点是否共线问题。利用教师平板电脑中的屏幕广播功能，向学生平板电脑推送魔术师的设计图片，让学生更清晰、更近距离地观察图片，并得到猜想。三、论证猜想0735-25351、学生自行得出论证方案，有效地调动了学生学习数学的积极性和主动性。2、学生独立书写论证过程后再相互评议，在书写和思维能力等多方面得到了进一步的锻炼和发展。3、得出“坐标法”，完成本节课的重点内容。1、教师引导学生思考：怎么检验三点是否共线

8、？可用上哪些数学知识和方法？2、请学生设计论证方案，得到五个方案，并选出最有代表性的三个方案。3、让学生选择自己喜欢的方案并书写、拍照、上传。教师逐一浏览。4、师生共同展示、点评获赞最多的方案书写。1、由学生设计论证方案。2、学生选择自己喜欢的方案，书写论证过程并拍照上传至学生平板电脑中的研讨对应主题。3、浏览本主题其他同学的书写，相互评价。4、选出获赞最多的方案书写，进行点评。1、学生将自己的论证方案上传至平板电脑中的研讨页面，并相互点评。让学生可以及时发现自己与他人书写的差异，逐步形成向他人学习、借鉴的品质。同时让老师可以及时得到反馈，实现了生生互动、师生互动。2、教师将学生书写直观、便捷

9、地展示在互动电视的大屏幕上，并用画笔手写、点评，为学生更加规范的书写提供了帮助。四、展示精确图象并作出小结2535-29381、通过精确图象的展示，使学生深刻体会数学的严谨性。2、通过小结，回顾揭秘魔术的过程，体会数形结合的思想方法，从而实现对知识的再深化。1、展示几何画板中图形变化的动态过程，证实猜想正确。2、问题：通过刚才的探究过程，能否对我们的论证过程进行小结？师生共同归纳几何问题代数化的基本步骤，体会到通过“坐标法”让数形结合的价值。利用几何画板展示拼接的动态过程，并借助平板电脑中的“放大镜”功能，让学生对重叠部分看得更真切，也让学生感受成功的喜悦果然让我猜对了。同时也让学生体会到数学

10、的严谨性。五、拓展（一）及练习2938-3935通过进一步探究，发现斐波那契数列的独特之处，突破本节课的难点。同时让学生体会到一切都不是偶然的，而是经过精心设计的，更彰显数学的价值。1、问题：如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即 5，8，13，21，这列数有什么规律呢？ 2、问题：在整数范围内，边长为哪些数字的正方形按上述方式进行切割、重拼后相差的面积最小？3、带着以上问题，完成下列练习：（1）边长为13的正方形地毯, 按上述分割重拼的魔术,若a=4,b=9，则|S2-S1|=（ ）A.29 B.30C.31 D.32（2）边长为8的正方形地毯，按上述分割重拼

11、的魔术,当a= ，b= 时，|S2-S1|最小。（ ）A.1,7 B.2,6C.3,5 D.4,4（3）边长为9的正方形地毯, 按上述分割重拼的魔术,则|S2-S1|的最小值为（ ） A.1 B.9C.11 D.314、通过练习，探索出神奇的斐波那契数列。学生利用平板电脑，完成教师推送的练习，并在练习中发现数据之间的奥秘斐波那契数列。课后根据教师提供的链接进一步了解斐波那契数列。利用平板电脑中的练习功能，让学生在练习中探究。根据平板电脑中汇总出的数据信息，教师可对优秀作答的学生提出表扬。并能及时、全面地了解学生答题的正确率和完成时间，最后在互动电视的大屏幕上进行分析、讲解。体现了教学的高效性。

12、六、拓展（二）3935-4320通过自编魔术二让学生感悟到，只要我能利用数学知识，我也可以编魔术，学以致用，增强学生的应用意识。魔术二：边长为12分米的正方形地毯，只是上面破了一个洞，面积约为1平方分米现要求将地毯裁剪重拼，把破洞去掉，但长和宽仍是12分米这样的要求能做到吗？你还能进一步解开这个谜吗？1、利用平板电脑中的“抢答”功能，让学生进行抢答。2、挑选出最快抢到答题权的学生，让他利用几何画板，在互动电视的大屏幕上，亲自尝试第二个魔术的拼接过程。3、让学生课后再揭秘魔术二。1、在请学生尝试魔术二之前，利用平板电脑中的“抢答”功能，挑选出最快抢到答题权的学生，激发学生挑战的欲望，也活跃了课堂气氛。2、让学生利用几何画板，在互动电视的大屏幕上，亲自尝试第二个魔术的拼接过程。直观、新颖，并具有趣味性，再一次调动学生探索的精神，并将其延伸到课后去，再一次揭秘魔术二。七、学习感悟4320-4431通过学习感悟，再一次体会数学的价值并逐步形成科学探究的精神。问题： 1、通过本节课学习，你对数学有什么新的认识和体会？2、本节课，我们