1.4　二次函数的应用第1课时　利用二次函数解决面积的最值问题

1、1.4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积的最值问题【基础练习】知识点1特殊四边形的面积最值问题1.教材作业题第3题变式 用一根长为30 cm的绳子围成一个矩形,其面积的最大值为 ()A.225 cm2B.112.5 cm2C.56.25 cm2D.100 cm22.如图1,已知ABCD的周长为8 cm,B=30,若边长AB=x cm.(1)ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为,自变量x的取值范围为;(2)当x=时,y的值最大,最大值为.图13.如图2所示,在长度为1的线段AB上取一点P,分别以AP,BP为边作正方形,则这两个正方形面积之和的最小值为.图24.现有铝合

2、金窗框料8 m,准备用它做一个如图3所示的矩形窗框.通常,当窗户总面积最大时,窗户的透光度最好.要使这个窗户的透光度最好,窗框的宽AB应为多少米?此时窗户的总面积为多少平方米(忽略框的厚度)?图35.教材例1变式 课本中有一个例题:如图4中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6 m,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大(结果精确到0.01 m)?这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35 m,窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时,窗户的透光面积最大,最大值约为1.05 m2.如果我们改变这个窗户的形状,上部分改为由两个

3、正方形组成的矩形,如图,材料的总长度仍为6 m,利用图,解答下列问题:(1)若AB为1 m,求此时窗户的透光面积;(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.图4知识点2三角形的面积最值问题6.如图5,在矩形ABCD中,AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上以每秒2 cm的速度向点B运动,点Q在边BC上以每秒1 cm的速度向点C运动,当P,Q中的一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x s,PBQ的面积为y cm2.(1)求y关于x的函数表达式,并写出x的取值范围;(2)求PBQ的最大面积.图5

4、【能力提升】7.如图6所示,在矩形ABCD的边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H,使得AE=AH=CF=CG.如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是()图6A.1350B.1300C.1250D.12008.2019温州模拟 为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为80 m的篱笆围成了如图7所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则围成的矩形区域ABCD的面积的最大值是m2.图79.如图8,在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A,B,C

5、,D四个顶点正好重合于上底面一点).已知点E,F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x cm.(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;(2)某广告商要求包装盒的表面积S(不含下底面)最大,则x应取何值?图8答案1.C2.(1)y=-12x2+2x0 x4(2)223.124.解:设AB=x m,则AD=8-3x2=4-32xm.设矩形窗框ABCD的面积为y m2,则y=x4-32x=-32x2+4x=-32x-432+83.a=-32DF,3-74x12x,解得x43,x的取值范围为0 x43.由题意得窗户的透光面积S=ADAB=3-74x

6、x=-74x2+3x=-74x-672+97.当x=67时,满足0 x1.05,故窗户透光面积的最大值变大了.6.解:(1)SPBQ=12PBBQ,PB=AB-AP=(18-2x)cm,BQ=x cm,y=12(18-2x)x,即y=-x2+9x(0 x4).(2)由(1)得y=-x-922+814.当0 x92时,y随x的增大而增大,而0 x4,当x=4时,函数y有最大值20,即PBQ的最大面积是20 cm2.7.C8.300解析 如图,三块矩形区域的面积相等,矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍,AE=2BE.设BC=x m,BE=FC=a m,则AE=HG=DF=2a m.DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80,8a+2x=80,a=-14x+10,3a=-34x+30,矩形区域ABCD的面积S=-34x+30 x=-34x2+30 x.a=-14x+100,x40,则S=-34x2+30 x(0 x40).S=-34x2+30 x=-34(x-20)2+300(0 x40),且二次项系数-340,得x12,x的取值范围是0 x12.设包装盒的底面边长为b cm,高为h c