数微积分2cii期末复习

1、定积分定义,性质,几何意义.微积分基本定理 N-L公式变上限积分的连续性,可导性及求导法.第一类换第二类换(凑微分法): 三角代换定积分的计算分部积分法:应用于两个不同类函数乘积的情形.定积分应用: 求面积,旋转体体积,经济上的应用广义积分:会计算无穷限积分和瑕积分.会用定义判别无穷限积分和瑕积分的敛散性.21x 0arctan x1t2(1 tan t)t22e2 1 x, 求 f (x 1)dx04. 设函数 f (x) 1 1. (1) lim0cos xdtsin1 exx 0 x2xa f (t)dt,其中f (x)是(, )上的连续函数.2. 求lim1x tf (2s t)dt

2、2 arctan xxa x a5. 设函数 f (x) 连续且满足203.求下列积分12已知 f (1) 1 求f (x)dx .3111(1) ln(1x )dx(2)6 求由曲线 y x 2x , y 0, x 1 和 x 3 围成的平面2 0(10区域 D 的面积, 及该区域绕oy轴旋转所得旋转体的体积7 设区域 D 是由曲线 y x2 和 x y2围成的平面区域.计算 D 的面积；计算 D 绕 ox 轴旋转一周所得旋转体的体积；sin 2(4) 2 .0 1(7) ln(1sin+1dx06ycos x x(10)设f ( y) 6dx, 求f ( y)dy .（3）计算 D 为底，

3、以 f (x, y) 12 x2 y 为的体积.03一、求偏导数或全微分1.求二元函数 z 3 x sin y 的偏导数z 和z 及全微分dzx y2,求2dz2 设 z ln(x2 y2 )，求dx3. 设 z (2x y)2 y x , 求z 和zxy二、复合函数求偏导数或全微分(含抽象函数)2zxy x224 设 z F (e sin y, x y )，其中 F 具有二阶连续偏导数，求y 2 z5 设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，z f x y, 求xxyz 2 z6 设 z f (x y, x sin y)，其中 f 有二阶连续偏导数，求x , xyz 2 z7 设 z

4、f (x y, y sin x)，其中f 具有二阶连续偏导数,求 ,2x xy61多元函数定义域并画图偏导数,全微分定义和计算偏导数与全微分 多元复合函数的偏导数与全微分隐函数的偏导数与全微分高阶偏导与高阶全微分(掌握到二阶)无条件极值 (会判别)多元函数极值有条件极值 (会判别)最值问题及经济应用题二重积分:在直角坐标系下计算 1)二重积分计算在极坐标系下计算会在直角坐标系下交换积分次序利用二重积分求面积和体积5熟练掌握：多元复合函数一阶和二阶偏导数.隐函数的一阶和二阶偏导数.第7章第6章微积分CII期末复习Chapter 6,Chapter 7 ,Chapter 8,Chapter 912

5、八、利用二重积分求面积和体积1. 设D 是由曲线 y ex , x 0, x 2, 和y 0围成的平面区域.计算 D 的面积；计算 D 绕 ox 轴旋转一周所得旋转体的体积；计算 D 为底，以 f (x, y) x2 2 y 为的体积.2. 设区域D是由曲线y x2和x y2围成的平面区域. (1)计算D的面积.计算D绕ox轴旋转一周所得旋转体的体积.计算D为底,以f (x, y) 12 x2 y为的体积.3 设 D 是由直线 y 2, y x 和曲线 xy 1 所围平面区域,求以区域 D 为底, 曲面 z xy 为顶的柱体的体积。12某企业生产A、B两种产品，其利润是这两种产品产量 x 和

6、y：千只) 的函数:L(x, y) x2 4 y2 xy 6x 18y 15(：百万元)已知生产这两种产品每千只都要消耗某种原料3000公斤.假定所需原料充足,两种产品各生产多少可使利润最大?求最大利润. (2)若原料只有9000公斤,要使利润最大,产量应做如何调整？某公司对其生产的某款产品进行技术改造后推向市场，同时,旧产品适当降价后继续销售.已知旧产品在新产品推出之前的市场售价为 140元/ 件，旧产品的价格和销量的关系是 Q1 P1 240 (件)，旧产品的边际成本为C(Q1) 30，固定成本为400元.经测算，新产品的价格和销量的关系是 Q2 2P2 560 (件)， 新产品的边际成本

7、为C(Q2 ) 30，固定成本为600元.试确定新、旧产品如何定价才能使公司的总利润达到最大达到最大利润时新、旧产品的利润各是多少？11六、极值问题和最值问题1 求函数 f (x, y) x4 y4 4xy 1 的极值求函数z (x 2)2 ( y 8)2在条件y2 x下的极值，并判别该极值是极大值还是极小值设D是由直线 y 2轴所围成的闭区域.求二元函数 z x xy x2 y2在D上的最大值和最小值.济中的最值问题1.设某厂生产的产品在甲、乙两市场的需求函数分别为Q1 24 0.2 p1 和 Q2 10 0.05 p2 其中2 分别为产品在两市场的销售量，p1和p2 分别为产品在两市场的售

8、价.若该产品的总成本函数为C 35 40(2 ) ,问产品在甲、乙两市场的售价分别定为多少，可使总利润最大？10五、计算二重积分(2)8. 设区域D (x, y) x2 y2 k 2 , 其中 k 0,求k的值, 使得 k 2 x2 y2 dxdy .D9 计算 1dxdy，其中D (x, y) x2 y2 1, 且x, y 0 1 x2 y2D1 x2 y22210 计算 1 x2 y2 d ,其中D是由x y 1与直线x 0和y 0D围成的区域在第一象限的部分.11 计算 I e(x2 y2 )d，其中 D (x, y) x y R2 x2 ,0 x R D29四、计算二重积分(1)11

9、ex11 y21y sin x1 计算 0 dyy x dx 2.0 dxx2 4xe dy3. 0 dyyx dx设 D由 y x 和 y2 x 围成的平面区域，求 sin y dxdyD y计算3xdxdy, 其中D 是由直线 y 2x, y 1 x和y 1所围成D2的有界区域.计算 ydxdy,其中D 是由直线 y x, y 0和圆 x2 y2 4xD所围成的有界区域.7 求 x2 ydxdy,其中D (x, y) x2 y2 2x,1 x 2, 0 y xD8、隐函数求偏导数或全微分8.设 z f (x, y)是由方程 x2 y2 z2 4xyz 0确定的函数,求dz设 z z(x,

10、y) 由方程 e xy 2zx yez 0 确定的函数，求z , z 及dzx y设 z z(x, y) 由方程 z y xz 确定的函数，求z , zx yx yz2 z设 z z(x, y) 是由方程 x 2y z e确定的函数,求xy 设z z(x, y)是由方程f (x y，y z) 0确定的函数,其中f (u, v)具有f2 z二阶连续偏导数,且v 0, 求du和xy 设函数 z z(x, y) 由方程 f (x y, y z) 0 所确定,其中 f 二阶可微，2z求 dz 和x27三四、函数的幂级数展开1. 求函数 arctan x 关于x 的幂级数,并收敛域。4) 的幂级数,并写

11、出收敛域 .2 将 f (1 的幂级数,并3 将函数 f (收敛域4. 设 f ( 3(1)试将f (x)展开成x 1的幂级数;(2)利用(1)的结果计算f (100) (1).163二、求解下列微分方程1 求解微分方程 dy y x3 (x 0)dxxdy2 y5求微分方程 (x 1)2 的通解.dx x 1y求微分方程 y 的通解. 2 y ln y y x求微分方程 y f (x) y f (x) f (x) 的通解,其中 f (x) f (x) 为已知连续函数.三、求解下列微分方程已知 f (x) 3x f ( t )dt e2x , 求 f (x).03xx6 设y f (x) 在(

12、, )上可导,并满足方程 x f (t)dt (x 1)tf (t)dt00求函数 f (x)18第9章可分离变量方程微分方程一阶线性微分方程 (和非)一、求解下列微分方程求方程 x2 y xy y2 满足初始条件y 1的特解.x1求微分方程 x2 dy 3xy 2 y2 0 的通解.dx17会解以下三类一阶微分方程：理解微分方程的基本概念,初值问题.三、求幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域及和函数2n2n求幂级数 n(n 1) x 的收敛半径,收敛域及和函数.n1 2n 1 2n求级数 2n1 x 的收敛半径,收敛区间,收敛域及和函数.n1 9n 2n1求级数 2n x的收敛半径,收敛区间,

13、收敛域及和函数.n12n1 5. 求级数(1)n1 2nx的收敛域及和函数.n1(2n 1)! 2n 1 1求级数 n! 2n 的和.n0 (n 1)2求级数 n4n 的和n115正项级数:熟练掌握5种判别法：比较判别法 (不等式形式和极限形式),比值判别法,根值判别法和积分判别法.会选择适当的判别法判断级数的敛散性任意项级数理解绝对收敛和条件收敛的概念，会判别.第8章交错级数:会判断绝对收敛和条件收敛会求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数. 会用间接展开法将给定函数展开为幂级数,并确定收敛域会用函数的幂级数展式解决简单问题.(熟记 1 , ex , ln(1关于x 的展开式和收敛域) 1 x13函数项级数幂级数:概念、性质常数项级数:概念和性质一、判断级数的敛散性 n2判别级数 2n 的敛散性n1 ab 判断级数 的敛散性n1 n n 1 n3 3 (1)n 3. 判