10 各向异性屈服条件和流动理论

1、 动理论一各向异性材料的初始屈服对于各向异性材料，其初始屈服条件需用下列一般形式的屈服函数来表示：f（QQQ,ttt；c,c,c）=0 xyzxyyzzx12n（1）c,c,c式中12n为与材料性质相关的参数。取应力分量的二次齐次式作为屈服函数，从而将式（1）表示成fQ）=Ka2+Kbb+Kbb+KbT+Kat+Koij11x12xy13xz14xyz15xzx16+Kb2+Kbb+KbT+22y23yz24yyz+Kb2+33z+KT266xy二const（2）上式共包含21个独立系数。现考虑正交异性材料，设材料性质对称于xy、z轴，显然，当坐标轴转至相反方向时（即旋转180）,例如，将x、

2、y、z坐标系转换到、耳、匚坐标系，e=x、耳=y、匚=-z,则屈服函数fG.）应该不变。因为，对于E、:坐标系，ij应力分量为O=Q,ex耳y=O,zT=T,T=T,T=T,切xyyz望zxf()根据ij保持不变的条件，由(2)得K=K=K=K=K=K=K=K=01415242534354656同样的，如果取以及g=x,“=_y,:z,则可进一步得到K=K=K=K=016263646可见，对于各向异性材料，（2）中的独立系数由21个减少至9个，从而该式可写成：fQ）=KQ2+KQ2+KQ2+KT2+KT2+KT2ij11x22y33z44yz55zx66xy+KQQ13xz+KQQ+KQQ12

3、xy23yz=const(3)如果屈服函数不受各向等压力(-p)(球量)的影响，那么，我们可以用(Q_p)、(Q_p)、(Q_p)xyz来代替方程(3)中的x、y、Qz，而等式仍然成立。进行这一替换后，式中就会出现p和p2的项。由于p的大小是完全任意的，所以式中p与p2的系数应当为零，由此可得出下列三个关系式： HYPERLINK l bookmark0 2K+K+K=0111213 HYPERLINK l bookmark2 2K+K+K=0221223 HYPERLINK l bookmark4 2K+K+K=0或写成332313K二=-2(K+K)121K=-2(K+K)222K:=-2

4、(K+K)3234）将（4）代入（3），F二一K23H二一K12L=K44N二K665）并令G二K13M=K55可得FQo)2+GQo)2+HQo)2+2L2+yzzxxyyz+2Mt2+2Nt2=constzxxy如将等号右边的常数移到等号左边，使之包含在各系数中，则上式可写成F(oo)2+G(oo)2+H(oo)2+2Lt2+2Mt2+2Nt2=1yzzxxyyzzxxy(6)上式共包含六个独立的材料常数。设材料的性质对称于应力主轴，并使坐标轴与应力主方向一致，这时剪应力分量应当为零，方程(6)可写作F(oo)2+G(oo)2+H(oo)2二1z33112(7)YY若Y1、空、3分别为沿o

5、1、o2、o3方向的拉伸屈服压力，则由(7)式可得F(00)2+G(0Y)2+H(Y+0)2二111即(10) 123 1G+H=Y218a)同理可得H+F=1Y228b)F+G=1Y238c)由此可得2F=+Y2Y2Y22311112G=+Y2Y2Y23121112H=+Y2Y2Y29）显然，F、G、H之中只有一个可以为负值因为（8a、b、c）等号右边恒为正值,并且由式可以看出,只有当各屈服应力相差很大时,这才有可能，同时,只有当Y1-Y2时,才有F-G，同样道理，对于GH和HF也有类似的不等式。Y二Y二Y对于各向同性材料，因123，故有F=G=H，这时（7）式便与各向同性Mises条件完全

6、一致.设R、S、T为相对于各向异性主轴的剪切屈服应力，则由（6）式得1T2 1212) 由此可见，L、M、N恒为正值。要完全描述一单元体中的各向异性状态，就需要知道各YY主轴的方位及六个相互独立的屈服应力1、2Y3、R、S、T的值。如果为平面应力，这时，（7）式可写成Fq2+Gc2+HQ2-2qo+o2)=1211122即(G+H)c2+(F+H)c2-2Hcc=11212利用(8)，上式可写成cccc(1)+(2)2-2HYY(i2)二1c2+c2-(囂)cc12Y111)Y12Y厂212若屈服应力与相等，则上式又可写成式中R=H=2(Y3)2-1GY（13）二应力与应变增量间的关系以各向同性材料的塑性势流动论作类比，可取方程（6）中的fj）为塑性势。于是应变增量可由f（j）对j的偏微分导出。因fQ)二FQ-)2+G(-)2+H(-)ijyzzxxy+2Lr2+2Mt2+2Nt2yzzxxy6f()ij可得-ijTOC o 1-5 h zdp=d九H(-)+G(-)xxyxzG，也就是说,Y3Y2，则在，2方向的收缩是较大的。换言之，在屈服应力较大的方向上应变