中考数学复习第1编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形、四边形第6节矩形、菱形、正方形精讲试题

1、第六节 矩形、菱形、正方形,青海五年中考命题规律）年份题型题号考查点考查内容分值总分2017解答23(2)菱形的判定以梯形为背 乐判定麦形5解答27探究规律以止方形和 等腰直角三 角形为背 景，探究线 段之间的关 系11162016填空11菱形的性质已知菱形的 两条对角线 长，求菱形 的高2解答27探究规律由三角形外 作正三角形、正四边 形、正五边 形、正n边 形探究规律10122015解答24菱形的判定以梯形为背 四郊882014解答27探究规律以止方形与 直尺为背 景，探究线 段之间的关 系或求线段 比882013解答27探究规律以止方形为 背景探究规 律88命题规律纵观青海五年中考，矩

2、形、菱形、 止方形为常 考内容，最多设2道 题，题型以解答题为 主，且每年 都有与之相 关的探究的 综合应用， 题目难度中 等偏上.预 计2018年青海省中 考，特殊四 边形的探究 规律为必考 题型，除此 之外，还启 可能另外设 置特殊四边 形的计算与 证明问题，应加强训 练.，青海五年中考真题）菱形（2015青海中考）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 O,且AC= 8, BD= 6,则菱形 ABCD的Dhk24一 5一（2015青海中考）如图，梯形 ABCD43, AB/ DC AC平分/ BAD CE/ DA交AB于点E.求证：四边形 ADC思菱形.证明：AB/ CQ

3、CE/ DA.，四边形ADC思平行四边形. AC是/ DAB 的平分线， ./ DAG= Z CAB.DC/ AE,DC 4/CAB ./ DAG=/ DCAD好 DQ，平行四边形 ADC思菱形.矩形(2012青海中考)已知，如图，D是4ABC的边AB上一点，CN/ AB, DN交AC于点M MC.求证：CD=AN(2)若/AMD=2/MCD求证：四边形 ADCF矩形.证明：CN/ ARDAC= Z NCA.在 AAMDD CMN,/ DAC= / NCAMA= MC/ AMD= Z CMN.AMD2CMNASA, AD= CN.又AD/ CN ，四边形 ADCN平行四边形，CD= AN;(2

4、) 1. ZAMD= 2/MDC, / AMD= Z MCD- / MDC.，/MCD= /MDC，MD= MC.由知四边形 ADCN平行四边形,，MD= MN= MA= MC，AC= DN,四边形ADCN矩形.正方形（2014西宁中考）如图，G是正方形 ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段 AG为边作一个正方形 AEFG线段EB和GD相交于点 H.若AB= 5,AG= 1,则EB= _5_.（2017青海中考）请完成如下探究系列的有关问题：探究1:如图， ABC是等腰直角三角形，/ BAC= 90 ,点D为BC上一动点，连接 AR以AD为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF连接CF.

5、则线段CF, BD之间的位置关系为 CFL BD,数量关系为 CF= BD ;探究2:如图，当点 D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究 1中的两条结论是否仍然成立？为 什么？（请写出证明过程）解：当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论仍成立.证明：四边形ADEF 是正方形，AD= AF, / DA已 90 , . / DA斗 / CAD= /BAO/CAD 即/DAB=/FAC 又 AB= AC, AD= AF,. DAB FAC, . CF= BD, / ACF= / B./ BAC= 90 , AB= AC,. / B= / ACB = 45 , .BCF= /ACBF Z

6、 ACF= 45 +45 =90 ,即 CFBD.探究3:如图，如果 AB AG / BAO 90 , / BCA仍然保留为45 ,点D在线段BC上运动，请你判断线 段CF, BD之间的位置关系，并说明理由.解：当/ BCA= 45 时，CF BD.证明：过点 A 作 AML AC 交 BC 于点 M,则/AM3 / AC限 90 ./ AC阵 45 , . / AMC= / AC附 45 , AC= AM./MAC= /FAD= 90 ,/ MAN / CAD= Z FAO/CAD 即/MAD= /FAC ; AD= AF, /.A DAbMAFAC（SA$, ，/ACF= /AMD= 45

7、 , . . / BCA Z ACF= 90 ,即 CF BD.（2016青海中考节选）如图，分别以 ABC的边AB和AC为边向 ABC外作正三角形（等边三角形）、正四 边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图中，求证： AB9 AAD(C(2)由(1)证得AB9 AAD(C由此可推得在图中/ BO C= 120 .请你探索在图中/ BOC的度数，并说明理由或写出证明过程.图.解：(1) ABD和4ACE都是等边三角形，AD= AB, AC= AE, / BAD= Z CAE= 60 , / BA* / BAG= / CAEF / BAQ即 / DAC= / BAE. .AB

8、段 ADCSAS ;图ZBOC= 90 .证明如下：设 AD与BE交于点G. / BAD= 90 ,/ AB曰 / AGB= 90 . AB段 AD(Q/ ADC= /ABE/ ADO Z AGB= 90X . Z AGB= Z DGO 1 / DGOb Z ADC= 90 ,./ DOG= 90 , .BOC= 90 .7. （2014青海中考）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题.(1)如图，将角尺放在正方形ABCDk,使角尺的直角顶点 E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点 G.求证：EF= EG;(2)如图，移动角尺，使角尺的顶点E始

9、终在正方形 ABCD勺对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF(选填或)EG;(2)中的“正方形 ABCD改成(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图，将“矩形ABCD ,使角尺的一边经过点 A(即点G, A重合)，其余条件不变，若 AB= 4, DG= 3,求良勺值.解：(1)/AE斗/AEG= 90 , / AEF+ Z CEF= 90 ,/ AEG= / CEF.X/Z GAE= ZC= 90 , EA= EC, . .EAg ECF(ASA,，EG= EF;(2)=；公-&-EM BE EN EM AD过点E作EMLAB于点

10、M彳ENLBC于点N.则/MEN= 9。，EW BC, EW/ AB,而而无，前而.又./GEM /MEF= 90 , Z FEN+ Z MEF= 90 ,/ FEN= Z GEMl,EF EN 4 RtAGME RtA FNE,则一=一=一 EG EM 3, 中考考点清单)矩形的性质与判定.定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图.性质文字描述字母表示参考图(1)对边平行且相等AD瘙触BG AB瘙统CD(2)四个内角都是直角_ / DAB_= / ABC= /BCD= Z CDA= 90(3)两条对角线相等且互相平分AC= _BD_ OA= OC= OB= OD(4)矩形既是中心对称

11、图形，也是轴对称图 形3.判定文字描述字母表示参考图(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形若四边形ABC比平行四边形，且/ BAD= 90。，则四边形ABC比矩形(2)后二个角是直角的四边形是矩形若/BAD= /ABC= /BCD= 90 ,则四边形ABC皿矩形(3)对角.线相等的平行四边形是矩形若AC= _BD ,且四边形 ABC虚平行四边 形，则四边形 ABC比矩形菱形的性质与判定图.定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图.性质文字描述字母表示参考图(1)菱形四条边都相等AB= BC _ = CA DA(2)对角相等/ DAB= / DCBZ ADG= / ABC(3)两条对角线

12、互相垂直，且每条对角线平 分一组对角AC BR / DAC= / CA乐 / DCA= /ACB / ADB= /BDC= / ABD= / DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图 形.判定文字描述字母表示参考图(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形若四边形ABCDM行四边形，且 AD= AB, 则四边形ABC比菱形(2)四条边相等的四边形是菱形若AB= BC= CD= DA则四边形 ABCD菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱 形若Ad BDD且四边形 ABC虚平行四边形， 则四边形ABC比菱形正方形的性质与判定.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如

13、图 (3).性质文字描述字母表示参考图(1)四条边都相等即 AB= BC= CD= DA(2)四个角都是90即/ABC= /ADC= /BCD= / BAD= 90。1(3)对角线互相垂直平分且相等即 ACL _BD_ AO= OC= OD= OB(4)对角线平分一组对角/ DAC= / CAB= / DCA= / ACB= / ADB= / BDC= / ABD= / DBC= 45 (5)止方形既是中心对称图形，也是轴对称 图形.判定文字描述字母表示参考图(1) 一组邻边相等且有一个角是直角的平行若四边形ABC虚平行四边形，且 AB= BC, /ADC= 90 ,则四边形 ABCD止方形.

14、四边形叫做止方形.(2)有角是直角的 一菱形是止方形.若/ABC= 90且四边形 ABC皿菱形，则四 边形ABC皿止方形.(3)有一组邻边相等的矩形是止方形.若AB= BC,且四边形 ABC虚矩形，则四边 形ABC皿止方形.(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是 止方形.若四边形 ABCM, AC B口 AC平分BD, BD 平分AC, AC= BD,则四边形 ABCD是止方形.对特殊的平行四边形的判定理解不透彻【例】如图，在矩形 ABC邛，M, N分别是AD, BC的中点，P, Q分别是BM DN的中点.求证： MB第ANDC(2)四边形MPNQ!什么样的特殊四边形？【错解】(1)在矩形A

15、BCM, AD= BG .M, N分别是AD, BC的中点，AM=AB= C口11一 ，一 。qAD, CN= 2BC,，AM= CN 在 MAB 和 ANCD 中， / A= Z C= 90 , .MA望 NCDAM= CN(2)四边形MPNa平行四边形.【错因分析】由于对特殊四边形的判定方法理解不透彻，所以不能对问题进行深入的探究和挖掘.一一 一 ,一，一，11,【正解】(1)在矩形 ABCD中,AD= BG - M N分别是 AD, BC的中点，AMh2AD, CN= BC, . AMh CN在ab= cq MA* 口 ANCD43,A= /C= 90, .MA里 NCDAMh CN(2

16、)四边形 MPNQ菱形，理由如下：连接AP,易证 A, P, N三点共线，且 AB隼 BAMAN= BM ;MAB2 ANCD 1 BMh DNP,Q分别是 BMDN 的中点，PMh NQDQ= BP,又易知D阵BN,/ MDQ= / NBP一_ _，一，-，一，1 MQ肾 NPB MQ= NP, 四边形 MPN得平行四边形，: M是AD的中点，Q是DN的中.点，MQ= /AN，MQ1MP= 2BM，MP= MQ .,四边形 MQNP菱形.,中考重难点突破)矩形的判定与性质【例1】如图，在四边形ABC邛，对角线AC,BD相交于点 O,AO= CQBO= DQ且/ABO Z ADC=180(1)

17、求证：四边形 ABCD矩形；(2)若/ ADF： / FDC= 3 : 2, DFAC,则/ BDF 的度数是多少？【解析】(1)先由对角线互相平分证明四边形 ABCD是平行四边形，再由对角相等及已知其和等于180可得/ABC= 90 ,即可得出结论； (2)由/ADF： Z FDC= 3 ： 2, Z ADC= 90 ,可求出/ FDC的度数，再由 DF! AC可 求得/ DCO的度数，又由 OC= OD可得/ODC的度数，从而利用/ BDF= / OD.C / FDC求解即可.【答案】解：(1) . AO= CO BO= DO .四边形 ABCD 是平行四边形，ABC= /ADC：/ ABO Z ADC= 180 ,ABC= /ADC= 90 , .四边形 ABCD 是矩形；(2) / Z ADC= 90 , / ADF： / FDC= 3 ： 2, / FDC=36 , - DFAC, / DC