专题2-6函数图像与方程

1、专题2-6函数图像及方程函数图像内容应用函数图象研究函数性质，及求解不等式和方程知识点1、做图：定义域一简化解析式一列表一描点一连线2、y = f( x)图象变换(1)平移左右：y = f(x a)上下：y = f(x) a(2)对称 x 轴：y = - f(x) y轴：y = f(- x)原点：y = - f(- x)(3)伸缩x坐标为原来1 ： y = f(ax) ay坐标为原来a倍：y = af(x)(4)翻折x轴下方翻折到上方，原图像去下保上：y = |f(x)|y轴右边翻折到左边，原图像去左保右：y = f(|x|)3、识图：给定图象明确变化趋势，研究函数定义域、值域、单调性、奇偶性

2、、周期性、对称性等4、用图：直观呈现函数性质及变量关系，特别在数形结合上的应用5、对称证明：任意一点关于某一中心或轴的对称点仍在该图象上f(x) = f(2a - x)则 f(x)关于 x = a 对称；f(a + x) = f(b - x)则 f(x)+ a + b 关于x = -2一对称a + b 一f(a + x) + f(b - x) = 0 则 f(x)关于(2- ,0)对称；f(a + x) + f(a - x)=2b则f(x)关于(a,b)对称2sinx例1函数y =11 +或xx e -竽,0) u (0字的图象是() ，、TT【分析】结合函数奇偶性确定函数值的正负，确定x =

3、2处导数的正负性【详解】函数为奇函数且 x 0时，y 0时，y 0 :排除C、D,_ 2cos x 4sin x1 + 3x3(1 + J )2兀口日 ,32 tt 、八x = 2 时 y = n= 0 x = 2时，y在单调增区间：排除 B【考核】区间函数值的正负性、导函数的正负性确定函数图像1例2函数f(x) = x2 + ex - 2 (x0)与g(x) = x2 + ln(x+a)的图象上存在关于 y轴对称的点，则 a的取值范围()e A (-，e【答案】【分析】B(- #)C(-亚)【详解】C?xo 0 且，有 f(xo ) = g(-xo )2 x 12x 1xo2 + e o -

4、 2 = xo2 + ln( -xo+a) ? e 0 - 2 = ln(-xo+a)假设交点横坐标X0 = 0 ,解a = e 而 xpCx 0 , a e a (-00% e )得:函数对称性，函数图象交点求参数范围例3若实数a满足x + lgx = 2,实数b满足x +10 x = 2,函数f(x)=a + b -2 ln(x+ 2) - -2，x 0则关于x的方程f(x) = x解的个数为2x 0时求方程的解；x。时，x2 - 2 = x 得 x = 2a + b2、x 0 时，21n(x + 2) - -2- = xa 满足 x + lg x = 2 , b 满足 x +10 x =

5、 2y1 = lg x, y2 = 2 - x, y3 = 10 x,即y1与y2交点横坐标为 a, y2与y3交点横坐 标为b,而y1与y3关于y = x对称(a,b)是 y1 与 y2交点，(b,a)是 y2 与 y3 交点：b = 1g a 或 a = 10b即 a + b = 2 ? -2 x 0、= 0、 0只有D符合【考核】函数奇偶性，判断函数图象例5函数f(x)=-8 sin 2x, x 0，贝U h(x) = f(x) - log4x的零点个数(A 2 B 3 C 4 D 5【答案】D【分析】确定函数f(x)与10g4 x交点个数-、，-一一1兀【详解】1、x 0 时，f(x)

6、= 2f(x - 2),即：区间xC (0,2上的函数值是区间(-2,0上各对应值x - 2的一半;同样，x 0的后续区间里,一式. x每隔2的距离，函数值相对于x减半x = 54 , f(x) = 1; x = 4 , log4X = 1;y4即在第三个周期里有2个交点【考核】函数图像、函数零点 例6定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1) = -f(x),在-1,0上是增函数，关于函数f(x)的判断(1)f(x)的图象关于(2 ,0)对称(2)f(x)的图象关于x = 1对称f(x)在0,1上是增函数(4) f(2) = f(0)其中正确的有【答案】(2)(4)【分析】【详解】1、f(x

7、+1) = - f(x) = -f(-x), f(x + 1) + f(-x) = 0,即 f(x)关于(2 ,0)对称2、f(x+1) = - f(x), f(x+2)= -f(x+1) = f(x) = f( -x),关于 x = 1 对称3、f(x + 2) = f(x)知:T = 2,有 f(2) = f(0)4、R上的偶函数f(x)且在-1,0上是增函数，在0,1上是减函数【考核】函数性质(根据奇偶性、周期性、对称性得到函数图象)例7函数f(x)=a 2x, x 0，关于x的方程f(f(x) = 0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围()C(-8,0)?(0,1)D(0,1)?(

8、1,+8A (-00,0)B(0,1)【答案】C【分析】【详解】1、x 1 时，f(x) = -log2x x 0 时，f(x) =-log2 x 0,贝U f(f(x)= log1/2(-lOg2 x) = 0 ,有x = 23、x0,a 0时，a-x 0,则f(f(x)= a MJ0,无解4、x 0,a = 0时，a-x =0 ,则f(f(x)= a -0= 0恒成立，无数个解5、x 0时，ax 0 ,则f(f( x)= log1/2(a- x)= 0, x = -log2a即 a 1 有解11 f(f( x) = 0有且仅有一个头数解，即为 x =-综上：其他情况 a的取值保证x无解即可

9、，aC (-8,0)?(0,1)【考核】方程有唯一实根，分类讨论 例8函数y = x 1 1的图象与函数y = 2 sin x (-2a知图象所有交点的横坐标之和为【答案】4【分析】【详解】画出函数的图象，它们都关于(1,0)中心对称，即交点也存在中心对称f(2 -x) + f(x) = 0 ,对称点横坐标之和为 2共有两对对称点：所有交点横坐标之和为4【考核】函数图象、性质例9函数f(x) = ax - a-x (a 0且a丰 有R上为减函数，则函数 y = loga (冈-1)的图象是()y / ，ABC-【答案】C【分析】f(x)在R上为减函数判断a的取值范围，评估 y = loga (

10、|x卜1)的图象【详解】首先根据|x| -1 0得到定义域为(-oo-1)U(1,+ 8)排除a、b0 a 0、f(X2)0：找到 X2、X3 的中点 X4； f(X3)0：找到 X1、X3 的中点 X44)重复2-3的步骤：找到逼近X0的点Xn使f(Xn) 一0易错点1、f(X)零点是一个实数，即f(X)=0的根，函数f(X)与X轴交点横坐标2、零点存在性定理是零点存在的充分不必要条件；零点个数根据函数 的单调性、对称性、周期性等判断或结合函数图象一 一一ex, x uA -1,0)B0,+ 8)C-1,+ oo)D1,+ 8)【答案】C【分析】数形结合：f(x)与y = -x - a的函数

11、图象，通过交点求a【详解】如下图，红色y = -x - a, a(截距)变化时两函数交点会从1个变成2个，边界情况：a值增大时，红色左下方移动至(0,1)时出现2个交点a = -1即a-1存在2个零点【考核】函数图象的交点情况(方程的根)例2函数f(x)=有4个零点，则7A (4 ,+ 002- |x|, x 2b的取值范围(7B (-04 )g(x) = b - f(2 - x),其中 b C R,若函数 y = f(x) - g(x)恰好7c (0,4 )D (7 ,2)【答案】D【分析】y = f(x) - g(x) = 0, g(x) = b - f(2 - x) ： f(x) + f

12、(2 - x) = b,谈论 f(x) + f(2 -x)与 y = b 的交点情况x2 , x 0f(2 -x) = x, 0 x2 , f(x) + f(2 -x)=x2+ x + 2, x 02, 0 x 2【详解】2 + x , x 0f(x) = 2 - x, 0 x 2y = b在(7 ,2)时恰好4个交点【考核】函数图象的交点情况(方程的根),一， 一、，一兀.一 -例3函数f(x) = cos(3x +6 )在0, nr的零点个数【答案】3【分析】数形结合【详解】【考核】函数图象、函数零点x.+x2 + 2ax + a, x 0,函数f(x) =2 o o 、c，关于x的方程f

13、(x) = ax恰好有2个互-x + 2ax -2a, x 0异的实数解，则a的取值范围【答案】(-8,0)?(4,+ 8)【分析】讨论a检查函数图象零点情况【详解】x2 + ax + a , x 0 或用二次函数性质列不等式组讨论(注意覆盖所有情况) 【考核】函数图象、零点问题例 5 函数 f(x) = ln x -x + 1x- 1(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有2个零点(2)若x0是f(x)的一个零点，证明曲线 y = ln x在A(x, ln x)处的切线也是曲线 y = ex的切线【答案】参考详解【分析】【详解】x + 12, 一 、一， 一 、一1、m(x)= 彳

14、=1 + x-7 在(0，1)和(1，+倜减，g(x) = ln x在定义域内(0,1)和(1,+ 倜增，故f(x) = ln x - x+7在(0,1)和(1,+。单调增(建议用定义法证明) x - 11) f(x)在(0,1)连续lim(ln x)而 lim(1Tm(in x 1.2) f(x)在(1,+ 8g续-)1, lim (lnx) x 1 x 1 且 lim (ln x 1 -2-) x 1x 1且 lim (ln x)x 10 而 lim (1x 1+lim+ (ln xx21)+ , lim (ln x) x 1 x且 lim (lnx 1 2)x +x 10 而 lim (

15、1 二-)x 1 x 1,即有且仅有一个零点而 lim (1 -2-) 1x x 1,即有且仅有一个零点2+ xo - 1故f(x)在(0,1)和(1,+若上有且仅有2个零点2、xo是f(x)的一个零点，有 ln xo = 1曲线y = ln x在A(xo, ln xo)处的切线为1y = - (x - xo) + In xo,右与y = e 有且仅有一个父点,则它们相切人，、1x令 g(x) = (x - xo) + ln xo - ex =-xoxo2 y-1 - e (x C R, xo o 且 xo 丰 1)g (x) = 1 - ex 则 g(x)在(-ln xo)上递增, xo在(

16、-ln xo,+ 00上递减In xo g(-ln xo ) = - xo+ xo - 1 - xo = -xo(xo - 1)2+ xo - 12=o xog(x)在(-8,+ 54只有一个零点，即命题成立 【考核】函数零点问题例6函数y = 2x + log 2 x的零点所在区间为()1 1A (4，3、c ,1 2、)B (3 ,5 )2 1、C (5 ,2 )1 2D (2 ,3 )【答案】C【分析】确定函数定义域(o,+0零点存在定理在a,b上 f(a)f(b)o【详解】1、在区间端点值一正一负即可2、2x + log2x在定义域上是增函数3、x = 5 , y = 2x + log

17、2 x oy = f(x) + 3x =【考核】零点存在性定理x2 - 2x, x o，则函数y = f(x) + 3x的零点个数()x，A o B 1 C 2 D 3【答案】C【分析】画出目标函数在定义域内的图象，确定交点情况【详解】x2 + x, x o x【考核】函数零点个数例8定义在 R上的偶函数f(x)满足对？ xC R有f(x + 2) = f(x) - f，且当xC 0,1时，f(x)= -2x + bo若y = f(x) - log a (x + 1)在(0,+ 8恰文有3个零点，则实数 a的取值范围()A (1, .5 )B (,3,5 ) C ( 2 ,2) D ( .3

18、,+ 8)【答案】B【分析】？ xC R有f(x + 2) = f(x) - f(1)得到b的值，判断f(x)与loga(x + 1)图象在(0,+ 8：有3个交点时，a的取值情况【详解】1、当 xC0,1时，f(x)= -2x + b 由偶函数：xC-1,0时，f(x) = 2x + b2、f(x + 2) = f(x) - f(1),得 f(1) = f(-1) - f(1) = 0 , b = 23、f(x + 2) = f(x) - f(1) = f(x)作出 f(x)及 loga (x + 1)在(0,+ 8：图象A 4【答案】【分析】【详解】.恰好有3个零点的边界：当f(x)及lo

19、ga (x + 1)存在交点(2,2)为2个，存在交点(4,2) 为4个，它们之间为3个交点【考核】函数性质、函数图象及零点(交点)1例9函数y = 2 ln x + x - 2的零点所在的区间是()A (1,1) B (1,2) C (e,3) D (2,e) e【答案】B【分析】函数y在定义域内单调增，判断各区间端点值正负【详解】x = 1, y = 21n x + x - 2 = - 1 0【考核】零点存在性、函数性质例10定义在 R上的偶函数f(x)满足f(x - 1) = f(x + 1),且当xC 0,1时，f(x) = x2,则y = f(x) -|log5x|零点个数()B 8 C 5 D 10C函数周期性、奇偶性确定 f(x)图象，再确定它与|log5x|在(0,+ 8J点情况函数零点(交点)训练 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x + 2) = f(x),且当xC0,1时,f(x) = x,则g(x) = f(x)-lOg4|x|零点个数()A 0 B 2 C 4 D 6例11函数f(x) = e -2，x 0有三个不同的零点，则 m的取值范围 x3 - 3mx- 2, x 0时，e -2= 0有x = ln2,存在