刚体转动惯量及其计算方法

1、本科毕业论文题目:刚体转动惯量及其计算方法 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 1、引言1 HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 2基本概念1 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 2.1描述刚体位置的独立变量1 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 2.2刚体运动的分类2 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 3刚体力学中的质量和惯性2

2、 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 3.1刚体力学中的惯性运动2 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 3.2惯性运动在刚体力学中的应用3 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 4刚体的几种基本运动3 HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 4.1定轴转动3 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 4.2刚体平面平行运动3 HYPERLINK l bookmark54

3、 o Current Document 4.3定点转动4 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 4。4 一般运动4 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 5刚体转动惯量的计算方法4 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 5.1转动惯量的引入45。2 转动惯量的计算方法65.2。1定义法65。2.2惯量椭球法7 HYPERLINK l bookmark145 o Current Document 5.2。3惯量主轴法85.2。4实验方法测量95。2。5陀螺运动

4、的描述10 HYPERLINK l bookmark199 o Current Document 6结论13参考文献：13致谢错误!未定义书签。刚体转动惯量及其计算方法 摘要:在刚体动力学中，有大量的篇幅研究刚体的转动问题，无论是定轴转动、 平面平行运动，还是绕定点的转动，其动力学方程中均含有转动惯量。转动惯量 在刚体力学中有很重要的的地位，相当于质点在动力学中的质量地位相当，应用 较为广泛。本文对质量各种分布刚体的转动惯量进行浅谈，及对定点转动问题进 行定量分析。关键词：刚体;运动；转动惯量；定点转动。1、引言随着科学技术的迅猛发展,转动惯量作为一个重要的工程参数，在越来越多 的领域受到重视

5、，如何更方便，快捷，准确的计算转动惯量成为了一个迫切需要 解决的问题.转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的 乘积的和，而与质元的运动速度无关。与质点的平动动能比较而言，转动惯量相当于平动时 的质量.物体转动时转动惯量是表示物体在转动中惯性大小的量度关于转动惯量的研究由 来已久，现在所取得的成果就是前人一点一滴积累来的。本文将在此基础上，本着循序渐进 的原则，对转动惯量及多种计算方法进行探讨。近年来伴随着高新技术的日新月异，对 物体转动惯量，尤其是对非均质不规则物体早点过来的深入性研究，已经对未来 的航空、航天、军事及精密仪器制造等高精尖行业产生了深远的影响。2基本

6、概念2.1描述刚体位置的独立变量在大多数问题中，是要确定物体在外力作用下，它的位置如何随时间变化， 赤即确定它的运动规律。我们知道：质点是被抽象为没有大小的几何点（但有一 定的质量）。因此，要确定质点在空间的位置，需要三个独立变量，例如X,y,Z或 r,0 .一个质点既然要三个独立变量来确定它的位置，那么有个质点组成的刚 体，似乎应当有3n个独立变量才能去定它在空间中的位置.其实不然，刚虽然是 有n个质点组成，但因为任意两点间的距离保持不变，所以只要确定了刚体内不 在一条直线上的三点的位置，刚体的位置就能确定。这是因为如果确定了刚体中 两点的位置，刚体还可绕着这两点的直线转动；如果再在刚体中把

7、不知这条直线 共线的另一点的位置固定，那么刚体就不能做任何运动了.每一个质点既然要三个独立变量来确定它的位置，而确定刚体的位置需要确 定刚体内不共线的三点0 A,B （图21）的位置，因此，确定刚体位置需要九个 变量。但因三点间三个距离OA,OB和AB是数，所以实际上只要用六个独立变量 就可以定刚体位的置。不共线的三点确定刚体位置是，刚体内任选取一点O，然 后通过O点选取任一个直线作为转动轴，那么要确定O点的位置需三个独立变 量，要确定轴线在空间中的位置取向需三个独立变量（即这轴线的方向余弦）， 而要确定刚体绕这轴线转了多少角度，又要一个变量。在这七个变量中，三个方 向余弦是不互相独立的（它们

8、的平方和为1）。这就是到现在最优的方法，但也不 是很理想。2。2刚体运动的分类上面已经提到：刚体用六个独立变量就可以定刚体位的置，所以其最一般的 运动，是具有六个独立变量的平动与转动的组合。但在某些条件的约束下，刚体 可以作少于六个独立变量的运动。如：刚体作运动时的独立变量是三个、定轴转 动时的独立变量是一个、作平面运动时的独立变量是三个、作定点转动时也只有 三个独立变量，作一般运动时刚体不受任何约束，可以在空间任意运动，但可分解 为质心的平动（三个独立变量）与绕通过质心的某某直线的定点转动（三个独立 变量）.因此刚体作一般运动时有六个独立变量。3刚体力学中的质量和惯性3。1刚体力学中的惯性运

9、动从动力学的角度讲，惯性运动仅适用于质点或仅适用于平动。惯性和惯性运 动是有区别的，惯性包括平动惯性和转动惯性;平动惯性与其质量“M”有关，转 动惯性与其转动惯量“I”有关。当刚体转动时，刚体上各点作曲线运送，用单 一的运动学特征不能完全反映出刚体复杂的运动状态，也不能完全反映出惯性运 动的本意。所以，该进一步研究动力学的特征，即：刚体的动量，动量矩动能等。 从刚体的惯性和惯性运动的含义及动力学的定律出发，可定义为刚体的动量和动 量矩均守恒的运动成为刚体的惯性运动，即mv =常量，L = I w =常量（3-1）为了更确切地定义刚体的惯性运动还得满足作用于刚体上的合作用力为零 与合作用力矩为零

10、，即f = 0 ， m = 0（3-2）由（3-1） （3-2）式得出的这一刚体的惯性运动也是 质点惯性运动的推广. 根据（3-1） （32）式其中的一个就能判断一个刚体是否作惯性运动。3。2惯性运动在刚体力学中的应用.刚体作定轴转动时的惯性运动刚体绕固定轴作匀角速转动时有两种 情况。一是固定，二是固定轴通不过质心。对刚体绕轴通过质心的固定轴转动情 况看，满足式（31）的可以看成是惯性运动，刚体定轴转动的惯性运动也是由 小=常量 来确定，可按惯性运动的规律来处理这类问题。如固定轴通不过质心 则不能用简单的惯性运动的规律来处理这类问题，在这种情况下，虽然某一方面 保持了物体原来的状态，而且总动量

11、矩为零，但总动量不一定为零，所以这种情 况不能看作是惯性运动，这一点就是研究质点与刚体时利用动力学规律处理惯性 问题的不同之处.。刚体作定点转动时的惯性运动 质心与定点重合，外力矩 喝=0此时,刚体可能的运动有三种情况，第一种是绕中心的惯量线轴作匀角速 转动；第二种是对固定于惯性空间和这一特别选定的坐标做规则运动；更一般的 运动。这三种运动中，因为以质心为定点，所以 mv =常量，因此L = Tw =常量，福=0 ,按着第（3-1）式，这三种情况都是定 点惯性运动。4刚体的几种基本运动4.1定轴转动如果刚体运动时，其中有两个点始终不动，那么因为两点可以决定一条直 线，所以这条直线上的质点都固定

12、不动，整个刚体就绕着这条线转动，这条折现 叫做转动轴，而这种运动叫做绕固定轴转动简或称定轴转动.我们要知道刚体绕 这条直线转了多少角度，就能确定刚体的位置。因此，刚体做定轴转动时只有一 个独立变量。如图4-1图4-14.2刚体的平面平行运动在刚体运动过程中，若体内任一点到某固定平面的距离始终保持不变，则称 该刚体的运动为平面平行运动，简称平面运动。刚体的平面运动可以简化为平面 图形在自身固定平面内的运动.今后说到平面图形的运动，就是指刚体的平面运 动。这是运动可分解为某一平面内任一点的平动（两个独立变量）及绕通过此点且垂直与固定平面的固定轴的转动（一个独立变量），所以刚体作平面运动时有 三个独

13、立变量。如 图42所示：图4-24。3定点转动图4-3刚体在运动过程中有一点永远保持不动.整个刚体就绕着通过这一点的某一 瞬时轴运动，这种运动称为定点转动.此时转动轴并不固定于空间（因只通过一个 点）与定轴转动时的情形不同，我们要用两个独立变量才能确定瞬时轴运动的取 向，再用一个变量确定刚体绕这条轴线转了多少角度，所以刚体作定点转动时也 只有三个独立变量。如拖累的运动（图43 ）4.4 一般运动刚体不受任何约束，可以在空间任意运动但可分解为质心的平动（三个独立 变量）与绕通过质心的某某直线的定点转动（三个独立变量）。因此刚体作一般 运动时有六个独立变量.5刚体转动惯量的计算方法5。1转动惯量的

14、引入为引入转动惯量，刚体可看成是由n个质点组成，刚体可绕固定轴Oz转动，于是刚体上每质点都绕Oz轴作圆周运动。在刚体上取质点i，其质量为Am.，绕 oz轴作半径为r的圆周运动.设质点i受两个力作用，一个是外力f，另一个是 刚 体中其它质点作用的内力F，并设外力F和内力F均在与Oz轴相垂直的同 一平面内。由牛顿第二定律，质点i的运动方程呈为 TOC o 1-5 h z F + F = Ama(5一1)ititi ita表为质点的切向加速度.如以F和F 分别表示外力F和内力F在切向的分 itit ititit力，那么质点i的切向运动方程为F + F - Am ra(5一2)(5-2)式中a是角加速

15、度：切向加速度与角加速度a之间的关系气=ra。(52)式两边各乘以r得iF r + F r = Am r 2 a(53 )it i it ii i式中F r和F分别是外力F和内力F切向分力的力矩.考虑到外力和内力在法 向的分力七和F；均通过转轴Oz ,所以其力矩为零.故上式左边也可理解为作用 在质点，上的外力矩与内力矩之和。若遍及所有质点，可得为2零，故上式为由于刚体内各质点间的内i=1i=1i=1(54)(55)则有f = Z (Amr 2)a i i(56)iti=1i=1与刚体的形状、糖量分(布m以及转轴的位置有关，也就是说，它只 ii与绕定轴z动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫转动

16、惯量。对于绕定轴转 Am r2动的刚俺1它为一恒量，以i表示，即式中的(57)(5-7)代入(5-6)就有Mn= Ia(5-8)(58)式表示刚体绕定轴转动时的与牛顿第二定律等效的动力学方程。可见， i=1刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，这个关 系叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。把式(58)与描述质点运动的牛顿第二定律的数学表达式相对比可以看出, 它们的形式很相似：外力矩M和外力F相对应，角加速度a与加速度a相对应， 转动惯量I与质量m相对应.转动惯量的物理意义也可以这样理解：当以相同的 力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，它们所获得的角加速度

17、一般是不一样的。转动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变得慢，也就是保 持原有转动状态的惯性大；反之，转动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角 速度改变得快，也就是保持原有的转动状态的惯性小.因此我们说，转动惯量是描 述刚体在转动中的惯性大小的物理量.故下面进行讨论计算转动惯量的几种方 法。5。2转动惯量的计算方法5.2。1定义法由I =Z （丽尸2）可以看出，转动惯量I等于刚体上各质点的质量与各质点到 i i转轴的距离平方的乘积之和。如果刚体上的质点是连续分布的，则其转动惯量可 以用积分进行计算，即(59)I - f r 2 dm在国际单位制中，转动惯量的单位是Kg m2。下面计算两

18、种简单形状刚体的转动惯量。例一质量为m、长为l的均匀细 TOC o 1-5 h z 长棒，如图52所示，求通过棒中心并。与棒垂直的轴的转动惯量。解设细棒的线密度为人.如图所示，I取一距离转轴oo为r处的质量元dm = Xdr，4血由式（5-9）可得图5-2由于转轴通过棒的中心，有1 = f r 2 dm = f X r 2 dr如以通过棒的端点且平行乍0X的fA（高轴为转轴，用同样的方法。可计算出 0棒对此转轴的转动惯量为ml 2/3。可见所得的结果ml 2/12相比，它比转轴为oo时 的转动惯量要大。我们在普通物理研究中己学过计算转动惯量的最简单的方法平行轴定律和垂直轴定律,它们的表达式分别

19、为I = I + md2 （平行轴定律）和I = I +1 （垂直 cz x y轴定律），但用这种方法来计算转动惯量时，对一些复杂的问题不能进行充分的 解析，而这些方法只限制于只计算对称轴的转动惯量，所以我们采用其他的方法 如将要介绍的惯量椭球法。5。2。2惯量椭球法由理论力学知识知道物体在一般情况下的惯量张量为xxxy 6 xz-II-Iyx yy yz(5-10)并且把它叫做对O点而言的惯量张量，而这一惯量矩阵的每一个元素（轴转动惯 量和惯量积）则叫做惯量张量，也叫惯量系数。其中I =m (y2 + z2) i=1I =m (z2 + x2)i=1I =m (x2 + y2) i=1I =

20、 I = Em y z yz zyi i ii=1I = I =Em z x zx xzi i ii=1I = I =Lmxy xy yxi i i对质量均匀分布，且形状规则的刚体，我们可把上两式改写成积分形式，即(511)(512)IxxIyyIzzj (y 2 + z 2) dm j (z 2 + x 2)dm j (x 2 + y 2)dm(5-13)IyzI(514)Ixyzx=I = j xydm据（5-9）式I，I，I就叫做刚体对x轴，y轴，z轴的轴转动惯量，至于I，xx yy zzyzI,，1则因含有两个坐标的相乘项，所以叫做惯量积。若令转动轴的方向余弦各位以:。，丫并利用（5-

21、10）式容易得到一般刚体的转动惯量，由惯量张量计算转动惯量的计算公式I =(以 P y)*yx-1X zx-IxyIyy-1zyyzIMP=I a2 +1 p2 +1 y2 21 py -21 ya-21 ap（5T5）XXyyzzyzxy式中a, p,y为任一转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦，三个转动惯量和六个 惯量积（由于对称关系，实际上也只有三个是相互独立的）作为统一的一个物理 量，来代表刚体转动时惯性的量度.由于惯量系数都是点坐标的函数，所以，如果 利用静止坐标系，那么刚体转动时，惯量系数亦将随之而变，这显然是很不方便 的。因此，通常都选取固连在刚体上，随着刚体一同转动的坐标系,这样惯量

22、系数 都将是常数。动坐标系的原点和坐标轴只需固定在刚体上即可，坐标轴的取向则完全可以 任意选取.因此，我们可以利用这一性质,同时消去转动惯量中惯量积，以使问题更 为简化。为了消去惯量积,一般是采用下面介绍的方法。如果我们在转动轴，载取一 线段OQ，并且使OQ=1/打=R,I为刚体绕该轴时的转动惯量，则Q点的坐标为x=Ra,y=R P,z=Ry因为通过O有很多转轴，按照上面所讲的方法,就应有很多的Q点，些点的轨迹 方程为利用R2I = 1及式（5-15）I x2 +1 y2 +1 z2 -2I yz-2I zx-21 xy = 1（515）xxyyzzyzzxxy这是中心在O点的二次曲面方程，一

23、般来讲，它是闭合曲面，因为I不等于零， （I = 0是R趋于无限大），古（5-15）式代表一个中心在。点的椭球,这就是我们推 导的惯量椭球方程.如果O为刚体的中心（或重心）则所作出的椭球叫做中心惯量 椭球按（519）式画出椭球后，据R = 1/3的关系，由某轴上矢径R的长，计算 出刚体绕该轴的转动惯量I，虽然用惯量椭球可以计算转动惯量，但我们的主要 目的并不在此，我们的主要目的是如何用它来消去惯量积，所以下面再次讨论消 去惯量积的方法.5.2。3惯量主轴法因为每个椭球都有相互垂直的三条主轴，如果是这些主轴为坐标轴，则椭球方程 中含有异坐标项城的项统统消失，惯量椭球的主轴叫惯量主轴，而对惯量主轴

24、的 的转动惯量叫主转动惯量，并以I,I ,I表之，因为惯量积己都等于零，无需再 123用两个下角标，如果取O点上的惯量主轴为坐标轴,则惯量椭球的方程将简化为I x2 +1 y2 +1 z2 = 1（516）此时系数I,I ,I就是O点上的主转动惯量，而惯量积I ,I ,I则统统等于零.123xy zx yz所以选取惯量主轴为坐标轴，问题就能得到简化.以上讨论中显然消去6个惯量 积，在定点转动中，定点转动如陀螺运动中，由于转动轴在空间的取向随时变化， 这种情况在转动定律中出现多余的力矩，也就是说角动量和角速度矢量不一致的 原因，下面进一步讨论这个问题。5.2。4实验方法测量对于形状不规则的刚体我

25、们可以通过实验方法直接测量.其基本方法和装着 图样如下：1,垂物台2.遮痢棒3,绕线塔裙4.光电门5滑轮6而码图57测量刚体转动惯量实验装着图5-7所示，质量为m的刚体放在承物台上， 然后用细线连接砝码的一端。（测出砝码所降的距离h，时间为t，记录下来）滑 轮的质量和滑动摩擦力都可以忽略。实验装原理的解释：装着中有两种运动，一个是转动，另一个是匀变速机械运动，我们灵活应用这 两种运动的规律，可以计算形状不规则刚体的转动惯量。若用10来表示形状不规则刚提的转动惯量、圆盘的转动惯量为If:则总得转动惯量可表为： TOC o 1-5 h z I = I +1而转动部分的运动规律为：M = Fr =邓

26、其中P表示圆盘的角加速度,F的大小等于砝码所受的重力大小，它和圆盘切向加速 度的关系a =邛测出砝码所降的距离h，时间t以后，砝码的运动方程为,1 一_h = at 22因h是确定，而时间可以用时间表来记录。从而可以计算线加速度a。从式可以计算I，它的值为：Fr 2t 22h代入数据可以算出I，且I = m r 2由代入式，无规则的刚提的转动惯量为：I =与(Ft2 - hm)0 2 h5。2.5陀螺运动的描述定点转动如陀螺运动中，由于转动轴在空间的取向随时变化，是三维空间问 题，需要用两个坐标系、三个独立变量来描述。以固定点O为坐标系原点，。-&、， 为空间固定坐标系，。-工关为固定在转动体

27、上随转动体一起转动的动坐标系。陀 螺某时刻的位形如图5-7所示：欧拉角的变化范围为:图5-80 2兀,0 0 k,0 2兀在这范围内的欧拉运动学方程为: - sin中 sin0+0 cos中 sin0 cos中一0 sin中- cos0 + 中和如下的欧勒动力学方程为：/件-(12 -1知-MI -(I -1 )圣-MI-(I -1知-M式(518)中Mx,M,M表示对每个转轴的力矩。(517)(518)利用上面六个方程原则上可求解刚体的所有定点运动问题，但由于上述六个方程都是互相耦合的非线性常微分方程，其求解是相当繁难的，有时甚至是不可能的， 因此到目前为止，只有三种情况可求出其精确的解析解

28、，这三种情况是：欧勒一 潘索情况、拉格朗日-泊松情况、柯娃列夫斯卡娅情况，现在只讨论第一种相对简 单的情况。对于对称重刚体（/ = 12。13, L0 - ），欧勒动力学方程变为：I一（1 1 ）=x23 y zI （I I ）=（5-19） TOC o 1-5 h z y31 z xI=0一般理论力学教材的解法是：对519的第三方程取积分得 z = n （常量）， 然后将之代入5 19-（ 1）， （2）两式得由+（ / 3 n 2S = o和x I 2x1 +（I；3）2 n2二, n = 土匕，再求解上述两个二阶微分方程等等。y 12yI z这种求解方法比较繁难，为此，本文给出一种较为简单的方法。由于M = ,由动量矩定理毕 =M知，L为常矢量（表示角动量），为此， dt取L的方向沿静止坐标系的o&轴方向，则L在动系OZ轴上的投影为：匕=L cos e（5-20）又因为L = I z = 13n （常量）（5-21）由（5-20）、（5-21）两式知e为常量，令e = e，则e = 此时欧勒运动学方程变 为： =0sinesin中x=0sinecos中（522）y=0cose+平=nz由（5-22）中第一，第二两式得： 2 +x2 二y二02 sin 2 e（5-23）又因L2 = I 2 2 + I 2