大学物理第十七章题解

1、第十七章真空中的静电场17-1三个相同的点电荷放置在等边三角形的三个顶点上，在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？解设等边三角形的边长为a，则由顶点到中心的距离为3a3；设顶点处电荷为q，中心处电荷为Q，Q与q反号考虑到等边三角形的对称性，可知Q受其它三个电荷的合力为零，与Q的大小无关；顶点处三个电荷q所受合力的大小相同上方顶点处电荷q受其它三个电荷的作用力如图所示，合力为零要求2Fcos30F0即2q24a203q(Q)24(3a3)20可求出Q3q317-2电子所带电量最先是由密立根通过油滴实验测得的，其实验装置如图所示一个很小的带电油滴在均匀电场E中，调节

2、A、B两端的电压，使作用在油滴上的电场力与油滴所受重力平衡如果油滴的半径为1.64104cm，在平衡时E1.92105Vm1，求油滴上的电荷已知油的密度为0.851gcm3解由qEmg0，可得qmgE4R3g3E48513.14(1.64106)39.831.921054R24R于是E(224R4R8.021019C5e17-3半径为R、电荷线密度为的半圆形带电线如图所示，求圆心O点的场强解在带电曲线上取一个长度为dl的电荷元，其电量dqdl电荷元在O点的场强为dE，如图所示由于电荷分布对Ox轴对称，所以全部电荷在O点产生的总场强沿Oy方向的分量之和为零，O点的总场强E沿Ox方向，E(dE)i

3、x由于dl=Rd，所以dlcoscosdEcosdEdx00cosd)i(sin|2)i200i2R017-4如图所示，匀强电场E与半径为R的半球面S的轴线平行试计算通过此半球1面的E通量若以半球面的边线为边，另取一个任意形状的曲面S，问S的电通量多大？221解以半球面S的边缘为边界作一个平面S，此平面为一个圆，10面积为R2由于E与S面垂直，所以通过S面的E通量00R2E因为通过S面和S面的E通量与通过S面的E通量相等，故通120过S面和S面的E通量均为R2E12（17-51）一点电荷q位于边长为a的立方体中心，试问通过立方体每一面的E通量多大？（2）如果电荷q移到该立方体的一个顶角上，这时

4、通过立方体每一面的E通量多大？解（1）立方体的六个面组成闭合曲面，由高斯定理可知通过此闭合曲面的电通量q0由于立方体的六个面对其中心对称，所以每个面通过的电通量为6q1234560（2）由于dEdSEedS，因此q所在的三个面的电通量为零（Ee）nn以q为中心，以2a为边长做大立方体，使原立方体恰为大立方体的18由（1）知，通过大立方体每个面的电通量各为q6而原立方体的每个面为大立方体每个面的14，0所以通过小立方体其它三个面的电通量各为q240（17-61）设地球表面附近的场强约为200Vm1，方向指向地心，试求地球所带总电量（2）在离地面1400m处，场强为20Vm1，方向仍指向地心，试计

5、算1400m以下大气里的平均电荷体密度解（1）在地球表面外、沿地球表面作一个球面，以此球面为高斯面，设地球所带总电量为Q，地球半径R6.4106m，由高斯定理SEdSE4R2Q0所以QE4R28.85101220043.14(6.4106)29.1105(C)0（2）在距地球表面1400m处，作与地球表面同心的球面，以此球面为高斯面，设从离地面1400m到地面的大气所带总电量为Q，由高斯定理SEdSE4R2QQ0则QQE4R29.1104(C)，QQ9.11048.2105(C)，所以0Q8.21051.141012Cm3V43.146.421012140017-7厚度为d的无限大平板均匀带电

6、，电荷体密度为，求板内外电场E的分布解垂直于平板表面作横截面如图，图中虚线为与表面平行、距离两表面等距离（均为d2）的平面AB由于带电平板无限大，电荷分布对平面AB对称，可知电场强度E与平板表面垂直，在距离平面AB距离相等处电场强度的大小E相同作对平面AB对称的闭合高斯面S，高斯面S由与平面AB平行的两个底面S和S和1222与平面AB正交的柱面S组成，两个底面S和S到平面AB的距离均为lS和S的E通31212量相等，ESES；S的E通量为零当ld2时，根据高斯定理12312ES2lS1110l即可求出E当ld2时，根据高斯定理102ES1Sd2110可求出Ed平板带正电，E垂直表面向外；平板带

7、负电，E垂直表面向内2017-8求电荷面密度为的无限长均匀带电圆柱面（半径为R）的场强分布，并画出Er曲线解由于均匀带电圆柱面无限长，电荷分布对圆柱面轴线轴对称；所以电场线在垂直于圆柱面轴线的平面内，为过圆柱面轴线的放射状半直线用以圆柱面轴线为轴，两底面与圆柱面轴线垂直的闭合圆柱面为高斯面，如图所示高斯面的两底面半径为r，与E平行，E通量为零；高斯面的圆柱侧面长度为l，与E正交，E通量2rlE在带电圆柱面内部，rR，由高斯定理可得EdS2rlE110r可求出EQ4r24r所以E0在带电圆柱体外部，rR，由高斯定理可得12RlEdS2rlE220R故E圆柱面带正电，E沿半径方向向外；圆柱面带负电

8、，E沿半径方向指向轴线20请读者画出Er曲线17-9如图所示，在半径分别为R、R的两个同心薄球面上均匀分布着电荷Q和121Q（1）求I、II、III区场强分布（2）求I、II、III区电势分布2解由于电荷分布对球心O具有球对称性，故电场分布也对球心O具有球对称性，可知电场线为过O点的放射状半直线，场强E沿半径方向，在到O点的距离r相同处，场强大小E相等（1）设研究的场点到O点的距离为r，以O为圆心、r为半径的球面为高斯面，E与高斯面正交根据高斯定理，在I区，rR，有1EdSE4r2011所以E01Q在II区，RrR，则由E4r211122200QQQQ在III区，rR，则由E4r212可求出E

9、12233200（2）取参考点在无穷远，积分路径沿半径方向，沿电场线积分在III区，rR，23(r)Edl4r24rrr(r)REdlEdlR1dr(R)4rrR2rR2QQQQ12dr123300在II区，RrR，12Q222232320QQQ1QQ1dr12(12)r4r24R4rR00202在I区，rR，1rR1R2(Q0(R)14RR1(r)R1EdlR2EdlEdl123Q12)210124r2334r23317-10在半径为R，电荷体密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为r的小球，如图所示试求：O、O、P、M各点的场强解把带电体看成半径为R的均匀带电的球A，与半径为r的均匀带电的球

10、B的迭加相当于在原空腔处补上体电荷密度为和的球体设沿OO的单位矢量为er空间任意一点的场强EEE，其中E和E分别是带电ABAB球A和带电球B在此点的产生的场强，E与E可根据对称性由高斯定理求出AB14r对O点E0r3eOOeOOOrr0OO014r对O点Er3e0OOeOOOrr0OO04r234r33r对P点E1P0OP414r3r3er3e(OPr2r20OP0OPr)eOPr4r234r233r2r21414r3R3对M点ER3er3e(Mrr0OM0OM0OMOM补充讨论设N是半径为r的空腔内的任意一点，则)er4r23ONr4r23NOr33OO14r14rEr3ONr3NO(rr)

11、rNONNO0ONON0NONO00说明在空腔内各点场强都相等，方向由O指向O，为均匀场17-11半径为R的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，求场强和电势分布参考点选在该圆柱面上解由于均匀带电圆柱体无限长，电荷分布对圆柱轴线轴对称；所以电场线在垂直于圆柱轴线的平面内，为过圆柱轴线的放射状半直线用以圆柱轴线为轴，两底面与圆柱轴线垂直的闭合圆柱面为高斯面，如题所示高斯面的两底面半径为r，与E平行，E通量为零；高斯面侧面长度为l，与E正交，E通量2rlE在带电圆柱体内部，rR，由高斯定理可得42EdS2rlE所以Er10r2l110在带电圆柱体外部，rR，由高斯定理可得E2dS2rlE2R2l0

12、2rR2因此E20圆柱带正电时，E沿半径方向向外；圆柱带负电时，E沿半径方向指向轴线参考点选在带电圆柱的圆柱面上，积分路径沿半径方向，沿电场线积分在带电圆柱体内部，rR，电势为rrREdlR1在带电圆柱体内部，rR，电势为rdr(R2r2)2400rrREdlR2R2R2Rdrln2r2r004r解（1）14RR43RR6R6R0，Aq6R17-12电量均为4109C的四个点电荷置于正方形的四个顶点，各顶点距正方形中心O点5.0cm试求：（1）O点的场强和电势（2）将试探点电荷q1109C从无穷远处0移到O点，电场力做功多少？（3）电势能的改变为多少？解（1）根据场强迭加原理，O点的场强EEE

13、EE01234根据电势迭加原理，O点的电势41q1234091094.010942.88103(V)5102（2）电场力做功Aq(0)1.01092.881032.88106(J)0（3）电势能的改变为WA2.88106(J)17-13如图所示，AB2R，OCD是以B为圆心、R为半径的半圆A点有点电荷q，B点有点电荷q（1）把试探点电荷q从O点沿0OCD移到D点，电场力对它做了多少功？（2）把试探点电荷q从D点沿AD的延长线移到无穷远处，电场力对它做0了多少功？qq1qqq()0，()OD000qqAq()010OD0qq（2）020D05（17-14已知空气的击穿场强为3106Vm，测得某次闪电的火花长100m（1）求这次发