中考攻略专题10几何三大变换之平移探讨

1、专题10：几何三大变换之平移探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。（结合全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：1）构造平移图形；2）点的平移；3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；

2、（6）四边形的平移。一、构造平移图形：典型例题：例1.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位eqoac(,1)，ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的eqoac(,A)1B1C1;（2）写出A1、C1的坐标；（3）将eqoac(,A)1B1C1绕C1逆时针旋转90，画出旋转后的eqoac(,A)2B2C1，求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结)果保留。例2.（2012海南省8eqoac(,分）)如图，在正方形网络中，ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（2，4）、（2，0）

3、、（4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出ABC关于原点O对称的eqoac(,A)1B1C1.（2）平移ABC，使点A移动到点A2（0，eqoac(,2)），画出平移后的A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.（3）在ABC、eqoac(,A)1B1Ceqoac(,1)、A2B2C2中，eqoac(,A)2B2C2与成中心对称，其对称中心的坐标为.练习题：1.如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数ykx与直线的交点A、B均在格点上，根据所（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画出平移给的直角坐标系（点O是坐标原点），

4、解答下列问题：后的直线AB.（2）若点C在函数ykx的图像上，ABC是以AB为底边的等腰三角形，请写出点C的坐标.2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，3)、(4，1)，先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，在将线段A1B1绕远点O顺时针旋转90得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2(1)画出线段A1B1、A2B2；(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长3.（2012辽宁丹东8分）已知：ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的

5、边长是1个单位长度）（eqoac(,1)）画出ABC向下平移4个单位得到的eqoac(,A)1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出eqoac(,A)2BCeqoac(,2)，使A2BC2与ABC位似，且位似比为21，并直接写出C2点的坐标及eqoac(,A)2BC2的面积二、点的平移：典型例题：例1.在平面直角坐标系中，将点P（1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为例eqoac(,2.)如图，在ABC中，C=90，M是AB的中点，动点P从点A出发，Q沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到

6、终点B.已知P，两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，MPQ的面积大小变化情况是【】A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小例3.如图所示，已知A(1,y)，B(2,y)为反比例函数y2121x图像上的两点，动点P(x,0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【】135A.(,0)B.(1,0)C.(,0)D.(,0)222例4.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线CDE上移动，若点C、D、E的坐标分别为（1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横

7、坐标的最大值为【】1.将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A，则点A的坐标是【】A.1B.2C.3D.4练习题：A(2，3)B（2，）C（4，1）D.（0，1）2.在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A处，则点A的坐标为.3.如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足PQO60(1)点B的坐标是，CAO，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为eqoac(,x)，OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和

8、相应的自变量x的取值范围点P从点O出发，以1cms的速度沿线段OAAB运动；动点Q同时从点O出发，以4.如图，在OABC中，点A在x轴上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm动acms的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动设运动时间为t秒(1)填空：点C的坐标是(_，_)，对角线OB的长度是_cm；(2)当a=1时，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围例2.如图

9、，AB的坐标分别为（1，0）、0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，三、直线（线段）的平移：典型例题：例1.将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是（a）、（b，3），则a+b=例3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=-17x2+x+4经过A、B两点.22（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（

10、秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.经例4.（2012福建福州14分）如图，已知抛物线yax2bx(a0)过A(3，0)、B(4，4)两点(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3)如图，若点N在抛物线上，且NBOABO，则在(2)的条件下，求出所有满足PODNOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)练习题：1.将直线y2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式

11、为【】Ay2x1By2x2Cy2x1Dy2x22.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与y轴相交，于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0）B（1，2）D（3，0）连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON若抛物线yax2bxc经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值3.如图，直线yxm(m0)交x轴负半轴于点A、交y

12、轴正半轴于点B且AB5，过点A作直线ACABm3交y轴于点C.点E从坐标原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动.直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t(t0)s.(1)求直线AC的解析式；(2)直线l在平移过程中，请直接写出BOF为等腰三角形时点F的坐标；(3)直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系备用图四、曲线的平移：典型例题：例1.将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是例2.在平面直角坐标系中，将抛物线yx

13、2x6向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为【】12A1例3.如图，把抛物线y=2B2C3D6x平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（6，0）和原点O（0，0），它的顶12点为P，它的对称轴与抛物线y=x交于点Q，则图中阴影部分的面积为2例4.如图，经过点A(0，4)的抛物线yx2bxc与x轴相交于点B(0，0)和C，O为坐标原点(2)将抛物线yx2bxc向上平移个单位长度、再向左平移m(m0)个单位长度，得到新抛物12(1)求抛物线的解析式；1722线若新抛物线的顶点P在ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，OMBOABACB，求AM的长练

14、习题：1.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【】A.（2，3）B.（1，4）C.（1，4）D.（4，3）2.将抛物线yx21先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是【】Ay(x2)22By(x2)22Cy(x2)22Dy(x2)223.已知直线y=2x5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N（1）如图，当点M与点A重合时，求：抛物线的解析式；（4分）点N的坐标和线段MN的长；（4分）（2）抛

15、物线y=x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点eqoac(,M)，使得OMN与AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4分）4.已知抛物线y=x2+4x+m（m为常数）经过点（0,4）.（1）求m的值；（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件：的对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8.试求平移后的抛物线的解析式；.试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被圆P所截得的弦A

16、B的长度；若不存在，请说明理由5.如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线yx2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y(xh)2k.所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h、k的值；（eqoac(,2)）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点eqoac(,M)，使AOMABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.五、三角形的平移：典型例题：例1.如图，ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点现将BCD沿BA方向平移1cm，得到EFG，FG交AC于H，则GH的长等于cm例eqoac(,2.)如图

17、，ABC中，B=90，AB=6cm，BC=8cm，将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：四边形ACFD是菱形。例eqoac(,3.)如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到DCE，连接BD，交AC于F（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长例4.如图，在平面直角坐标系中有eqoac(,Rt)ABC，A90，ABAC，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2）。（1）求d的值；（2）将ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函

18、数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。2如图，将等边eqoac(,.)ABC沿BC方向平移得到eqoac(,A)1B1C1若BC3，SPBC3，则练习题：1.如图，ABC是由ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC3cm，则ACcm1BB13.如图（1），eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF（2）将图（e

19、qoac(,1)）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论4.如图，eqoac(,Rt)OAB中，OAB90，O为坐标原点，边OA在x轴上，OAAB1个单位长度把eqoac(,Rt)OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得eqoac(,AA)1B（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标六、四边形的平移：典型例题：例1.如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函

20、数的图象经过点C（1）求点C坐标和反比例函数的解析式；（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值例2.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=12x与直线l2：y=x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.（1）求M，N的坐标；（2）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个t单位长度的速度移动.设矩形ABCD与OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）在（2）的条件下，当t

21、为何值时，S的值最大？并求出最大值.例3.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0 x2.5错误！未找到引用源。.试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；记DGP的面积为Seqoac(,1)，CDG的面积为S2试说明S1S2是常数；当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.练习题：1.如图，已知抛物线y=ax+bx+3经过点B（1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4,0）直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，FEH=90，EFHG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒。（1）求此抛物线的解析式；（2）当