齐鲁医学算术-几何平均值不等式

1、精品医学文档 精品医学文档 精品医学文档 算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6 o 数学 数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的 HYPERLINK /wiki/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 不等式 不等式，表现了两类平均数： HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0 o 算术平均数 算术平均数和 HYPERLINK /wiki/%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%8

2、7%E6%95%B0 o 几何平均数 几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正 HYPERLINK /wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0 o 实数 实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正 HYPERLINK /wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0 o 实数 实数，总有：等号成立 HYPERLINK /wiki/%E5%BD%93%E4%B8%94%E4%BB%85%E5%BD%93 o 当且仅当 当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是 HYPERLINK /wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%

3、BD%E6%95%B0 o 对数函数 对数函数之 HYPERLINK /wiki/%E5%87%B9%E5%87%BD%E6%95%B0 o 凹函数 凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为 HYPERLINK /wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 平均数不等式 平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。例子在的情况，设:， 那么.可见。历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一

4、般的，不等式并不容易证明。1729年， HYPERLINK /wiki/%E8%8B%B1%E5%9B%BD o 英国 英国 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6 o 数学家 数学家 HYPERLINK /wiki/%E9%BA%A6%E5%85%8B%E5%8A%B3%E6%9E%97 o 麦克劳林 麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是 HYPERLINK /w/index.php?title=%E8%B0%83%E6%95%B4%E6%B3%95&action=edit&redlink=1 o 调整法（页面不存在） 调整法，然而这个证明

5、并不严谨，是错误的。柯西的证明 HYPERLINK /wiki/1821%E5%B9%B4 o 1821年 1821年，法国数学家 HYPERLINK /wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF o 柯西 柯西在他的著作 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%88%86%E6%9E%90%E6%95%99%E7%A8%8B&action=edit&redlink=1 o 分析教程（页面不存在） 分析教程中给出了一个使用 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95 o 数学归纳法 逆

6、向归纳法的证明 HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_note-1 1：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，那么由于成立，。但是，因此上式正好变成也就是说综上可以得到结论：对任意的 HYPERLINK /wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 o 自然数 自然数，命题都成立。这是因为由前两条可

7、以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有 HYPERLINK /w/index.php?title=%E4%B9%94%E6%B2%BB%C2%B7%E5%85%8B%E9%87%8C%E6%96%AF%E6%89%98&action=edit&redlink=1 o 乔治克里斯托（页面不存在） 乔治克里斯托（ HYPERLINK /wiki/George_Chrystal o en:George Chrystal George Chrystal）在其著作代数论（algebra）的第二卷中给出的

8、HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_note-2 2：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。根据 HYPERLINK /wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 o 二项式定理 二项式定理，于是完成了从到的证明。此外还有更简洁的归纳法证明 HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%

9、BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_note-3 3：在的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。由于 HYPERLINK /wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 o 对数函数 对数函数是一个 HYPERLINK /wiki/%E5%87%B9%E5%87%BD%E6%95%B0 o 凹函数 凹函数，由 HYPERLINK /wiki/%E7%90%B4%E7%94%9

10、F%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 琴生不等式 琴生不等式可知上式成立。基于排序不等式的证明令，于是有，再作代换，运用 HYPERLINK /wiki/%E6%8E%92%E5%BA%8F%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 排序不等式 排序不等式得到：，于是得到，即原不等式成立。此外还有基于 HYPERLINK /wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F o 伯努利不等式 伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。推广算术-几何平均不等式有很多不同形式的

11、推广。加权算术-几何平均不等式不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设和为正实数，并且，那么：。加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩阵形式算术-几何平均不等式可以看成是一维 HYPERLINK /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F o 向量 向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵设，那么有：也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。极限形式也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有这实际上是在算术-几何平均值不

12、等式取成后，将两边的 HYPERLINK /wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E7%A7%AF%E5%88%86 o 黎曼积分 黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。参考来源 HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_ref-1 Augustin-Louis Cauchy, HYPERLINK http:/visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gall

13、ica&O=NUMM-29058 Cours danalyse de lcole Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algbrique,Paris, 1821. p457. HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_ref-2 George Chrystal, HYPERLINK http:/djm.cc/library/Algebra_Elementary_Text-Book_Part_II_Chrystal_edited02.pdf Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46. HYPERLINK /wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF-%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F l cite_ref-3 P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean