三角函数中三角变换常用的方法和技巧

1、 三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(l+tanAtanB)倍角公式tan2A=2tanA/1-(tanA)A2cos2a=(cosa)A2-(sina)A2=2(cosa)A2-l=l-2(sina)A2sin2A=2sinA*cosA半角公式sinA2(a/

2、2)=(1-cosa)/2cosA2(a/2)=(1+cosa)/2tanA2(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa)万能公式sin(a)=(2tan(a/2)/(1+tanA2(a/2)cos(a)=(1-tanA2(a/2)/(1+tanA2(a/2)tan(a)=(2tan(a/2)/(1-tanA2(a/2)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：a-Q+卩）卩；2a=（a+卩）+Q卩）；a2a-=(a-P)+a；a二2等等

3、。函数y=2sin(A)3(B)2In1cos-+x(xeR)的最小值等于(16丿).解析：注意到题中所涉及的两个角的关系:in1in、nx+x13丿L6丿2(C)1(D)、込所以将函数f（x）的表n1n1+xcos+xL6丿L6丿达式转化为f（x）=2cosni=cos-+x，故f(x)的最小值为1.故16丿选（C）.13nP1in、aL4丿L4丿=+(a+卩)，评注：常见的角的变换有：a=（a+卩）一卩，2a=（a+卩）+（a卩），(n1|Pn1+L4丿L4丿会发现角之间的关系.2a_P=a+(aP),P=a+PaP=a+P.只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往111例2、

4、已知cosa=7，cos(a+p)二14,a,p均是锐角，求cosP。cosP=cos(a+p)a=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina.解：4訂5.3Q/11、15込4打1sina=,sm(a+p)=。.cosp=()x+x=7141471472小结：本题根据问题的条件和结论进行卩二（a+P）-a的变换。1a2兀兀a+B例3、已知cos(a2p)9,sin(-p)=，且a兀,0p,求cos分析：观察已知角和所求角，可作出巳J=（a-y）-（牛-卩）的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。.a兀,0P,2TOC o 1-5 h z兀B兀a兀a，卩42422解:sin(a4订59

5、cos(|P)=.cos=cos(诂(2卩)一冷+于2=埠例4、已知sin卩二msin（2a+卩）,求证:分析：由角的特点，因已知条件所含角是2+卩,卩,所证等式含角+卩,所以以角为突破口。.2a+P=（a+卩）+a,卩=（a+卩）a,sin（a+卩）a=msin（a+卩）+a,即sin（a+卩）cosacos（a+卩）sina证明：=msin（a+卩）cosa+mcos（a+卩）sina,（1m）sin（a+卩）cosa=（1+m）cos（a+卩）sina1+m/m主1tan（a+p）=tana.1m小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角,在三角变换中角的

6、变换很重要。二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决.例1、若sin(a+p)二亍,sintanatanP解:1由sin=(a+0)=2,sintanatanPsinacosPcosainPncos2x例2、当0 x时，函数f(x)的最小值是()4cosxsinxsin2xTOC o 1-5 h z11(A)4(B)(C)2(D)-24解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，分子小n与

7、分母同时除以cos2x转化为关于tanx的函数进行求解.因为0 xy,所以40tarn1所以f(x)=1tanx-tan2x/1-tanx一一I2丿三4.故选(A).评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：若所给的三角式中出现了“切、割函数”则可利用同角三角函数基本关系将切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；2sinacosasin2asinacosa+1tan(a+中)11+tan(a+：)sinx例3、化简：(tanlOo、,.3)cos100sin5Oo解：原式=(血1O0朽cos1Oo)cos100sin1003cos10。cos10。

8、2cos40。2sin500cos100sin50。sin50。若所给的三角式中出现了“弦函数”与切函数”，有时可以利用公式tanx二cosx将“弦函数”化为“切函数”进行解答.例4、已知tan(a+)=3,的值。解:Vtana=tan(a+巴)=TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 44.2sinacosa2sinacosa2tana4sin2asinacosa+1sin2asinacosa+sin2a+cos2a2tan2atana+17点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。三、升幂与

9、降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一.例1、已知a为第二象限角,且sina卫,4(n)sina+I4丿sin2a+cos2a+1的值.分析：由于已知条件中知道sina的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答.解:原式=-22(sina+cosa)2sinacosa+2cos2a违(sina+cosa)4cosa(sina+cosa)当Q为第二象限角，且sma,0cosa所以(n)sina+I4丿sin2a+co

10、s2a+14cosa评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1.例2、求值：屮厅-4sin20+8sin320。、2sin20。sin480。解：原式：=V3-4sin20(l-2sin220。)=.3-4sin20ocos40。43sin20。43sin20。二2sin(40。+20。)-4sin20。cos40。J3sin20。二2(sin40。cos20。-cos40。sin20。(3sin20。=2sin（40。-20。）=2把v3sin20。3注：怎样处理sin320和朽是本题的难点，解决的方法是“降幕”和“常数变换法”。1例3、化简sin2asin2p+co

11、s2acos2p-cos2acos2P。f2分析：从“幕”入手，利用降幕公式。解：原式四、常数变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：1=sin2a+cosa=seeatana=csqa-cota，1=sin900=sin450，1=seca-cosa,1=cscasina等等。例1、已知tan+a14=2，求12sinacosa+cos2a的值.分析：由已知易求得tana的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1,可将1化为sin2a+cos2a，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求

12、解.解:n由tan+ak4丿1+tana1-tana得tana于是原式=sin2a+cos2a2sinacosa+cos2atan2a+122tana+13评注：对于题中所给三角式中的常数(如:等)，比照特殊角的三角函数13cos210o3cos280。cos280ocos210ocos280ocos210。4sin40osin20。护2016sin40osin20o=32cos20作用.131例2、求值()cos280ocos210ocdo值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的解:(coslO。+J3sinl0)(cosl0。一j3sinl0。)co

13、s210osin210o4(sin30ocos10。+cos30osin10o)(sin30ocos10ocos30osin10。)cos210osin210o原式=32-一、sin4x+cos4x+sin2xcos2x例3、(2004年全国高考题)求函数f(x)=的最小正周2-sin2x期，最大值和最小值。分析：由所给的式子sin4x+cos4x+sin2xcos2x可联想到1=(sin2x+cos2x)2o解:f(x)=sin4x+cos4x+sin2xcos2x2-sin2xTOC o 1-5 h z11二一sin2x+ HYPERLINK l bookmark14 o Current

14、Document 421所以函数f(x)的最小正周期是兀，最大值为，最小值为才。五、消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决.nkn例1、已知sin卩=msin（3a+卩）,m丰1且a+kn（kgZ）,ah（kgZ）.221+m求证：tan（a+B）二tana.1一m分析：由于已知和结论中都含有参数m,所以我们可以把已知变形，求出sinB1+mm，m=sm（2azp），代入匚mtana化简，即可证得等式成立评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法.本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成.六、变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向

15、变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosasin2a=，tana土tanp=tan（a+p）（1tanatanp）等。2sma例1：求值:（v3+tan12o-3）csc12。4cos212-2解：先看角，都是12；再看“名”需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。（朽sin】2。一3）.1原式=（切、割化为弦）COS12。sinl24cos212-2一1任（逆用二倍角）朽sin12。-3cos12o2日护2。-亍02）2sin12cos12（2cos212-1）=sin

16、24。cos24（常数变换）-2、3（sin12cos60。一cos12sin60。）sin24。cos24。二43sin（12。-60。）（逆用差角公式）=4j3sin（-48。）2sin24。cos24。sin48。=4打（逆用二倍角公式）注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。例2、求tanl7+tan28。+tanl7tan28。的值。tan（17+28。）（1-tanl7tan28。）+tanl7tan28。解：原式=tan45（l-tanl7。tan28。）+tanl7。tan28。二1小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用tana土tanBtan(ap)=的变形式tanatanp=tan(ap)(1+tanatanp).1+tanatanp例3、求tan(6)+tan(+6)+、：3tan(6)tan(+6)的值。6666tan(一6)+tan(+6)tan吟-6)+q+6)=耸与一661tan(16)tan(-+6)66tan(唇6)+t