高等数学习题精选精解2

1、第七章 向量代数与空间解析几何697、求旋转抛物面与平面的交线在面上的投影方程698、设一向量与三个坐标平面的夹角分别是，试证：699、求经过直线且与平面交成角的平面方程700、已知两条直线的方程是，则过且平行于的平面方程是（ ）701、点关于平面的对称点为，求的方程702、通过直线和的平面方程是（ ）703、设两直线，（1）证明：和是异面直线（2）求和之间的距离（3）求过且平行于的平面方程704、求直线在平面上的投影直线方程705、设直线及平面（1）求直线在平面上的投影直线方程（2）求直线绕轴旋转一周所成的曲面方程706、求到点与平面距离相等的点的轨迹所满足的方程707、设为一平面在坐标轴上

2、的截距，为原点与该平面之间的距离，证明： 708、证明：（其中不为0）表示母线平行于的柱面多元函数微分法及其应用709、求函数的定义域710、设，且当时，则（ ）（1）（2）（3）（4）711、，求712、设，求713、证明：714、极限是否存在？715、极限是否存在？716、计算极限717、求718、设，求（1）；（2）719、讨论在点的连续性720、讨论，在点的连续性721、求函数在处的偏导数722、求下列函数的偏导数（1）（2）（3）723、设，则724、设函数在点处存在对的偏导数，则（1），（2）（3）（4）725、设，求726、设，求727、设求偏导数、728、二元函数在点处（ ）（

3、1）连续、偏导数存在（2）连续、偏导数不存在（3）不连续、偏导数存在（4）不连续、偏导数不存在729、二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的（ ）（1）充分而非必要条件（2）必要而非充分条件（3）充分必要条件（4）既非充分条件又非必要条件730、函数在点处偏导数存在，是在该点处（ ）（1）连续的充分条件（2）连续的必要条件（3）可微的必要条件（4）可微的充分条件731、求曲线在点处的切线与轴的倾角732、已知，求733、设，则在点处的值为（ ）734、验证函数满足波动方程735、设，求736、设，求、及737、证明满足738、设，证明：739、设二元函数，则740、设，求741、设，则7

4、42、已知，求743、设函数可微，且，则在点（1，2）处的全微分744、设是由方程所确定的二元函数，求745、由方程所确定的函数在点处的全微分=（ ）746、考虑二元函数的下面四条性质：（1）在点处连续（2）在点处的两个偏导数连续（3）在点处可微（4）在点处的两个偏导数存在若用表示可由性质推出性质，则有（ ）（1） （2）（3）（4）747、设，讨论在点是否可微？748、讨论函数在坐标原点处（1）是否连续（2）偏导数是否存在（3）是否可微（4）偏导数是否连续749、设，且当时，则750、设，可导，则751、设，具有二阶连续导数，则752、设具有二阶连续导数，且，求753、设函数，其中函数具有二

5、阶导数，具有一阶导数，则必有（ ）（1）（2）（3）（4）754、设函数，其中函数有连续的导数，求755、设，求756、设函数，其中是可微函数，则757、设，其中、均可微，则758、利用变量替换，一定可以把方程化为新方程（ ）（1）（2）（3）（4）759、设是次齐次函数，即， 为某一常数，则结论正确的是（）（1）（2）（3）（4）760、设，其中具有二阶连续偏导数，求761、设，具有二阶连续偏导数，求762、设具有二阶连续偏导数，且满足，又，求763、设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求764、设变换可把方程化简为，求常数765、设函数具有连续的二阶偏导数，则766、设有三元方程

6、，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）（1）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数（2）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和（3）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和（4）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和767、设函数由方程确定，则768、设是由方程所确定的函数，则769、设，求770、设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求771、设函数由方程给出，都是可微函数，则有等式772、设有连续偏导数，和分别由方程和所确定，求773、设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定：和，求774、设，是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求775、在曲线

7、的所有切线中，与平面平行的切线（ ）（1）只有一条（2）只有两条（3）至少有三条（4）不存在776、曲线上点处的切线平行于平面，则点的坐标可以是（ ）（1）（2）（3）（4）777、求在处的切线方程778、求曲面平行于平面的切平面方程779、试证：锥面的所有切平面都通过锥面的顶点780、曲面在点处的且平面方程是（ ）781、由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为（ ）782、曲面在点的法线方程为（ ）783、试证曲面在任一点处（其中）的切平面，在三个坐标轴上的截距之和为常数784、在椭球面上哪一点处的切平面在坐标轴上的三个截距相等？785、设函数在点附近有定义，且，则（1

8、）（2）曲面在点的法向量为（3）曲线在点的切向量为（4）曲线在点的切向量为786、试证曲面上任一点处的切平面都过原点（其中具有一阶连续导数）787、证明曲面上任一点处的切平面均与直线平行788、曲面上点处的切平面与平面的夹角（ ）（1）（2）（3）（4）789、求球面与椭球面在点处的交角（即交点处两个切平面的夹角）790、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为（ ）791、设是曲面在点处指向外侧的法向量，则在点处沿方向的方向导数为（ ）792、设函数，单位向量，则793、数量场在点处沿其向径方向的方向导数794、函数在点处的梯度795、问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求出此方向导数的最大

9、值796、求函数在点、的梯度之间的夹角797、设数量场，则798、设，则799、设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是（ ）（1）在处的导数大于零（2）在处的导数等于零（3）在处的导数小于零（4）在处的导数不存在800、已知函数在点的某个邻域内连续，且，则（ ）（1）点不是的极值点（2）点是的极大值点（3）点是的极小值点（4）根据所给条件无法判断点是否为的极值点801、设，则点是该函数的（ ）（1）驻点，但不是极值点（2）驻点且是极小值点（3）驻点且是极大值点（4）驻点，偏导数不存在的点802、函数的极值点是（ ）（1）（2）（3）（4）803、求函数的极值804、某养殖场饲养两种鱼，若

10、甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为和，求使产鱼总量最大的放养数805、设是由确定的函数，求的极值点和极值806、设是由确定的函数，求该函数的极值807、设、均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则808、求二元函数在由直线、轴和轴所围成闭区域上的极值、最大值与最小值809、求表面面积为的最大长方体的体积810、设为实数，且满足关系式，试证：811、求在椭圆域上的最大值和最小值812、已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值813、在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短814

11、、求抛物线和直线之间的最短距离815、在已给的椭球面内一切的内接长方体（各边分别平行于坐标轴）中，求其体积最大者816、求函数的三阶麦克劳林公式817、求函数的三阶麦克劳林公式818、求函数在点的泰勒公式819、求函数在点的二阶泰勒公式，并写出余项820、设函数，有，且，则（1）（2）（3）（4）821、设，且已知，则（1）-1（2）-2（3）1（4）2822、设函数在点（1，1）处可微，且，求823、已知函数满足方程（1）试选择参数，利用变换将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项（2）再令使新方程变换形式。824、函数由关系式确定，其中函数可微，且，则825、设函数，方程确定是的函数，其

12、中可微；，连续，且，求826、设函数，其中是由确定的隐函数，则827、设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求828、设，求829、设，其中都具有一阶连续偏导数，且，求830、设函数具有二阶连续导数，而满足方程，求831、设函数在内具有二阶导数，且满足等式（1）验证（2）若，求函数的表达式。832、设直线在平面上，而平面鱼曲面相切于点（1，-2，5），求的值833、作一平面与直线垂直，且与球面相切834、设函数，试证：当时，函数有且只有一个极值；又若时，这个极值必为极大值835、设在部分球面上函数有极大值，试求此极大值，并利用上述结果证明对任意正数总满足836、在第一卦限内作球面的切平面，使得切

13、平面与三个坐标面所围的四面体的体积最小，求切点坐标837、设曲线的方程为，其中具有一阶连续偏导数，点为外一点，为点到曲线的最短距离（点在上），试证明：必位于曲线在点处的法线上838、设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式；（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界线上找出使（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。第九章 重积分839、设， ，其中，则（ ）（1）（2 （3）（4）84

14、0、设连续，且，其中是由，所围区域，则=（ ）（1）（2）（3）（4）841、计算，其中为842、设是连续函数，则（1）（2）（3）（4）843、将二重积分化为先对，后对的二次积分，则844、交换积分次序845、交换二次积分的积分次序846、设为连续函数，则（1）（2）（3）（4）0847、计算，其中是由直线、所围成的区域848、计算，其中是由曲线与直线所围成的区域849、设区域由轴与曲线（其中）所围成，则二重积分850、计算二重积分，其中是由双曲线及直线、所围成的平面区域851、设平面区域由曲线与直线所围成，求852、计算二重积分，其中是由直线、所围成的平面区域853、设是以点、和为顶点的三

15、角形区域，求854、计算，其中：855、设，求,其中856、设,，而表示全平面，则857、计算二重积分，其中858、积分859、计算，其中是由抛物线与直线所围成的区域860、计算861、计算机二重积分862、累次积分可以写成（ ）（1）（2）（3）（4）863、设是连续函数，则=（ ）（1）（2）（3）（4）864、设函数连续，区域，则（1）（2）（3）（4）865、计算：，其中：866、计算积分，其中由、围成867、设，求868、设区域，则869、计算二重积分，其中870、设区域，计算二重积分871、计算二重积分，其中是由曲线和直线围成的区域。872、计算积分，其中873、计算二重积分，其中

16、积分区域874、计算二重积分，其中是由直线、以及曲线所围成的平面区域875、设是平面上以点、和为顶点的三角形区域，是在第一卦限的部分，则（1）（2）（3）（4）0876、下列四个等式中不成立的是（）（1）（2）（3）（4）其中，877、计算，其中是由、围成的区域，是上的连续函数878、求二重积分的值，其中是由、围成的区域879、设区域，为上的正值连续函数，为常数，则（1）（2）（3）（4）880、设为已知连续函数，在圆域上计算二重积分，其中为正常数881、设有闭区域；，则（）（1）（2）（3）（4）882、有界闭区域由平面、及三个坐标面围成，设，不计算的具体值，利用三重积分的性质可知（ ）（1

17、）（2）（3）的大小不具体计算不能进行比较（4）的值计算不出来，故无法比较它们的大小。883、设是由曲面所围成的闭区域，则（1）0（2）（3）（4）3884、设为，则885、设，是由所围成的正方体，则（1）（2）（3）（4）886、设由与所围区域在第一卦限的部分，则（1）（2）（3）（4）887、，其中为由平面与三个坐标面围成的区域888、，其中为由平面与三个坐标面围成的区域889、，其中为由平面、及围成的区域890、计算三重积分，其中为由平面、所围成的区域891、，其中：892、，其中是由马鞍面与平面、所包围的空间区域893、，其中是由曲面及平面所围成的区域894、计算，其中为平面曲线，绕轴

18、旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域895、，其中是由球面与抛物面所围成896、计算，是所围成的区域897、计算，其中区域是由所确定898、将三重积分化为球面坐标系下的三次积分，其中：，则=（ ）899、计算，900、计算，是由不等式所确定的空间闭区域901、计算，其中是由锥面与球面所围的空间区域902、，903、，904、计算，其中是的球体905、设函数连续，：，求、906、设连续，函数，其中，：，及，求907、设具有连续导数，求908、由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是（ ）909、求闭曲线所围图形的面积（）910、求曲面上点处的切平面与曲面所围空间区域的体积911、求球面和柱面所包

19、围的且在柱面内部的体积912、求曲面将球面分成两部分的体积之比（ ）913、曲面与所围成并包含点的立体体积等于（ ）（1）1（2）（3）（4）914、计算由曲面所围成的立体体积（其中常数）915、一半径为2的球体，其密度与点到球心的距离成正比，已知球面上各点的密度等于2，试求该球体的质量916、设有一半径为的球体，是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心位置917、求面密度为常量，半径为的匀质圆形薄片，位于，上，求该薄片对于轴上点处单位质量的质点的引力918、设有一高度为为时间）的雪锥在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为

20、小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130厘米的雪锥全部融化需要多少时间？919、求920、设闭区域。为上的连续函数，且，求921、求，其中是由圆和所围成的平面区域922、计算二重积分，其中923、设，表示不超过的最大整数，计算二重积分924、设函数在区间上连续，并设，求925、计算926、设函数、在有界闭区域上连续，且，试证：必存在点，使得927、设为上的单调增加的连续函数，证明：928、假设在区间上连续，证明：929、设，其中连续，试把化成对的定积分，并求930、设函数连续且恒大于零，其中，（1）讨论在区间内的单调性，（2）证明当时，第十一章 无穷级数10

21、28、判断级数是否收敛，若收敛，求其和。1029、用定义判断是否收敛？1030、讨论级数的敛散性。若收敛，求其和1031、级数1032、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性：1033、用定义验证级数是否收敛1034、用定义验证级数是否收敛1035、设级数收敛，则必收敛的级数为（ ）（1）（2）（3）（4）1036、若级数的部分和序列为，则，=（ ）1037、级数的和为（ ）1038、求下列级数的和：1039、判断级数的敛散性：1040、若级数收敛，则（ ）（1）、均收敛（2）、中至少有一个收敛（3）、不一定收敛（4）收敛1041、若级数收敛，则（ ）（1）必收敛（2）未必收敛（3）（4

22、）发散1042、若收敛，试证与同时收敛或同时发散1043、若两个级数（1）一个收敛，一个发散（2）两个都发散，问和如何？1044、若级数收敛，则级数（ ）（1）收敛（2）收敛（3）收敛（4）收敛1045、已知级数，则级数1046、判断级数的敛散性1047、判断级数的敛散性1048、判断级数的敛散性1049、设，且收敛，试判断的敛散性1050、判断级数的敛散性1051、判断级数的敛散性1052、利用柯西准则判断级数的收敛性1053、用比较审敛法考察下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）1054、用比较审敛法判断下列级数的敛散性（1）（2）（3）（4）1055、设，收敛，证明当时也

23、收敛1056、若，且，证明级数发散1057、给定两个正项级数及，已知，问为何值时，不能判断这两个正项级数有相同的敛散性？（1）（2）（3）（4）1058、设级数与收敛，且，试证级数也收敛1059、设为正项级数，下列结论中正确的是（ ）（1）若，则级数收敛（2）若存在非零常数，使得，则级数发散（3）若级数收敛，则（4）若级数发散，则存在非零常数，使得1060、下述各项正确的是（ ）（1）若级数和都收敛，则收敛（2）若收敛，则和都收敛（3）若正项级数发散，则（4）若级数收敛，且，则级数也收敛1061、证明若收敛，则收敛，反之不真，举例说明1062、证明若和收敛，则、都收敛1063、设为常数，则级数

24、（ ）（1）绝对收敛（2）条件收敛（3）发散（4）收敛性与的取值有关。1064、判断级数敛散性：（1）（2）（3）（4）1065、判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）1066、判断级数的敛散性，并估计部分和代替产生的误差1067、证明收敛1068、判断级数的敛散性：，其中，均为正数1069、判断级数的敛散性：1070、级数（常数）（1）绝对收敛（2）条件收敛（3）发散（4）收敛性与的取值有关。1071、求证级数绝对收敛1072、判断级数的敛散性1073、设常数，且级数收敛，则级数（ ）（1）发散（2）条件收敛（3）绝对收敛（4）收敛性与有关1074、设，且收敛，常数则级数（ ）（1）绝对收

25、敛（2）条件收敛（3）发散（4）敛散性与有关1075、设，则下列级数中肯定收敛的是（ ）（1）（2）（3）（4）1076、判断级数是否收敛？如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？1077、判断下列级数的敛散性：1078、若绝对收敛，则也绝对收敛1079、判断级数的敛散性：1080、级数的敛散性为（ ）1081、判断级数的敛散性：1082、设，证明级数收敛1083、判断级数的敛散性：1084、判断级数的敛散性1085、判断级数的敛散性1086、判断级数的敛散性1087、设，则级数（ ）（1）与都收敛（2）与都发散（3）收敛、发散（4）发散收敛1088、判断级数的敛散性：1089、判断级数的敛散性

26、：1090、若级数收敛，则的取值范围是（ ）1091、若级数收敛，则级数是（ ）（1）绝对收敛（2）条件收敛（3）发散（4）可能收敛，也可能发散1092、若级数收敛，且，则可否断定级数收敛？1093、设已知两发散级数及各项不为负数，问下列级数收敛性如何？（1）（2）1094、设，且，则级数（ ）（1）发散（2）绝对收敛（3）条件收敛（4）收敛性根据所给条件不能确定1095、设，若级数发散，收敛，则下列结论正确的是（ ）（1）收敛，发散（2）发散，收敛（3）收敛（4）收敛1096、级数的收敛域是（ ）1097、若在处收敛，则此级数在处（ ）（1）条件收敛（2）绝对收敛（3）发散（4）敛散性不变1

27、098、若在处发散，则级数在处（ ）（1）条件收敛（2）绝对收敛（3）发散（4）敛散性不变1099、幂级数的收敛域为（ ）1100、已知级数求收敛半径及收敛域1101、幂级数的收敛半径1102、求的收敛区间1103、，求其收敛半径1104、设级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为（ ）1105、设有级数，若，则该级数的收敛半径为（ ）1106、若级数的收敛域为，则的收敛半径为（ ）1107、设幂级数与的收敛半径分别为和，则幂级数的收敛半径是 （ ）（1）5（2）（3）（4）1108、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性1109、设为正数，试对的不同值，讨论幂级数的收敛域1110、求

28、幂级数的收敛域，其中均为大于零的常数1111、求的收敛域及和函数，并求级数的和1112、求幂级数的收敛域，并求和函数1113、求幂级数的收敛域，并求和函数1114、求幂级数的和函数，并求级数的和1115、求幂级数在区间内的和函数1116、求幂级数的收敛区间与和函数1117、求幂级数的和函数及其极值1118、求幂级数的收敛域及和函数1119、利用逐项求导，逐项微分求下面级数在其收敛区间上的和函数：，并求1120、求幂级数的收敛域，并求其和函数1121、1122、求级数1123、设，求1124、将函数展开成的幂级数1125、将函数展开成的幂级数1126、将函数展开成的幂级数1127、设，试将展开成

29、的幂级数，并求级数1128、将函数展开成的幂级数1129、将函数展开成的幂级数，并求级数的和1130、将函数展开成的幂级数1131、试将展开成的幂级数1132、展开为的幂级数，并求的和1133、将展开成的幂级数1134、将展开成的幂级数1135、将展开成的幂级数1136、将展开成的幂级数，并证明（1）（2）1137、将展开成的幂级数1138、将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间1139、将函数展开成的幂级数1140、将函数在点展开成幂级数1141、设，求1142、设函数的傅立叶级数展开式为，则其系数1143、设，则1144、设是以为周期函数，且其傅立叶系数为，试求为实数）的傅立叶系数1145

30、、设是可积函数，且在上恒有，则1146、设为的周期函数，则其傅立叶级数在处收敛于（ ）1147、已知的傅立叶级数为，其和函数为，则1148、设，而，其中，则1149、设，则其以为周期的傅立叶级数在点收敛于（ ）1150、设函数是以为周期的周期函数，且在闭区间有，则的傅立叶级数在点收敛于（ ）（1）（2）（3）1（4）01151、将函数展开成傅立叶级数1152、将函数展开成傅立叶级数1153、将函数在区间上展开成正弦级数1154、将在区间上展开成余弦级数，并求级数的和1155、把函数在上展开成正弦级数，并由他推导出（1）（2）1156、设，其中，则1157、将函数（常数展开成傅立叶级数1158、

31、将函数展开成周期为4的余弦级数1159、将函数展开成以2周期的傅立叶级数，并由此求级数的和1160、将函数，展开成以2周期的傅立叶级数，并由此求数项级数的和1161、若级数收敛，则（ ）（1）收敛（2）收敛（3）收敛（4）收敛1162、设有以下命题：若收敛，则收敛若收敛，则收敛若，则发散若收敛，则、都收敛则以上命题中正确的是（ ）（1）（2）（3）（4）1163、设，则下列命题正确的是（ ）（1）若条件收敛，则与都收敛（2）若绝对收敛，则与都收敛（3）若条件收敛，则与的敛散性不定（4）若绝对收敛，则与的敛散性不定1164、已知，（）证明：收敛，并求其和1165、设有两条抛物线和，记它们交点的横

32、坐标的绝对值为。（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；（2）求级数的和1166、从点作轴的垂线，交抛物线于点，再从作这条抛物线的切线与轴交于，然后又从作轴的垂线，交抛物线于点，依次重复上述过程得到一系列的点求（1）求的长（2）求级数的和1167、判断级数的敛散性，若此级数收敛，则求其和1168、已知，求级数的和1169、判断级数的敛散性1170、判断级数的敛散性，并说明是绝对收敛、条件收敛还是发散？1171、计算1172、设，证明：（1）存在，（2）发散1173、设，（1）求的值（2）试证：对任意的常数，级数收敛1174、若级数及都发散，则（1）必发散（2）必发散（3）必发散（4）必发散1175、设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由1176、设有方程，其中为正整数，证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛1177、判断级数的敛散性，并证明：1178、设偶函数的二阶导数在的某邻域内连续，且，试证明级数绝对收敛1179、设级数收敛，而是收敛的正项级数，证明：（1）存在正数，使，（2）级数绝对收敛1180、