分式线性变换

1、关于分式线性变换第一张，PPT共五十三页，创作于2022年6月2一 分式线性变换及其分解1 分式线性变换概念(1) 函数称为分式线性变换,简记为(2) 在扩充z平面上补充定义第二张，PPT共五十三页，创作于2022年6月3(4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的第三张，PPT共五十三页，创作于2022年6月42 分式线性变换的分解第四张，PPT共五十三页，创作于2022年6月5(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2) (I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移第五张，PPT共五十三页，创作于2022年6月6旋转与伸长(或缩短)变换平移映射第六张，PP

2、T共五十三页，创作于2022年6月7此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换.规定: 无穷远点的对称点是圆心O.第七张，PPT共五十三页，创作于2022年6月8.即:第八张，PPT共五十三页，创作于2022年6月9例1试将线性变换分解为简单变换的复合.解因此可分解为的复合.第九张，PPT共五十三页，创作于2022年6月10例2试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个相异的或一个二重的不动点证明线性变换(7.3)的不动点适合即上面系数不全为零,第十张，PPT共五十三页，创作于2022年6月11这时(7.3)为有不动点第十一张，PPT共五十三页，创作于2022年6

3、月12不动点二 分式线性变换的共形第十二张，PPT共五十三页，创作于2022年6月13定义7.3由定义7.3引入两个反演变换第十三张，PPT共五十三页，创作于2022年6月143 定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.注在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.第十四张，PPT共五十三页，创作于2022年6月15三 分式线性变换的保交比性1定义7.4注第十五张，PPT共五十三页，创作于2022年6月162 定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。证明因此第十六张，PPT共五十三页，创作于2022年6月17注因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的.第十七张，PPT

4、共五十三页，创作于2022年6月183 定理7.9注三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是那么，由第十八张，PPT共五十三页，创作于2022年6月19得同理，有因此，有第十九张，PPT共五十三页，创作于2022年6月20 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由同理有 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。 其次，如果已给各点除 外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：第二十张，PPT共五十三页，创作于2022年6月21例3求将分别变为的分式线性变换.解所求的

5、分式线性变换为即整理得第二十一张，PPT共五十三页，创作于2022年6月22四 分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:因圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.第二十二张，PPT共五十三页，创作于2022年6月231 定理7.10 分式线性变换将平面上圆周(或直线)变为圆周(或直线).注1在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.事实上,(7.11)可写成注2同时圆被共形变换成圆-分式线性变换的保圆性.第二十三张，PPT共五十三页，创作于2022年6月24第二十四张，PPT共五十三页，创作于2022年6月25.第二十五张，PPT共五十三页，创

6、作于2022年6月26注3 在扩充z平面上给定区域K及D,其边界是的圆周,则K可共形变换成D.注4例4试决定在分式线性变换下实轴与上半z平面及单位圆周的像.解(1) 因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面,第二十六张，PPT共五十三页，创作于2022年6月27(2) 扩充z平面上的圆周由三个点决定,第二十七张，PPT共五十三页，创作于2022年6月28五 分式线性变换的保对称性1定义7.5注证明“必要性”第二十八张，PPT共五十三页，创作于2022年6月29则所以“充分性”第二十九张，PPT共五十三页，创作于2022年6月30.2 定理7.1证明

7、第三十张，PPT共五十三页，创作于2022年6月31.第三十一张，PPT共五十三页，创作于2022年6月323 分式线性变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,第三十二张，PPT共五十三页，创作于2022年6月33解由定理7.12,例5求线性变换变为上半平面,使将圆盘第三十三张，PPT共五十三页，创作于2022年6月34由线性变换的保交比性,所求的线性变换为即整理后得第三十四张，PPT共五十三页，创作于2022年6月35六 线性变换的应用 由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一

8、些类型.例6第三十五张，PPT共五十三页，创作于2022年6月36事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解第三十六张，PPT共五十三页，创作于2022年6月37例7解故第三十七张，PPT共五十三页，创作于2022年6月38即故解该方程组得故所的线性变换为第三十八张，PPT共五十三页，创作于2022年6月39例8解由线线变换的保对称性,第三十九张，PPT共五十三页，创作于2022年6月40因此这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为第四十张，PPT共五十三页，创作于2022年6月41注1确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.注2第四十一张，PPT共

9、五十三页，创作于2022年6月42例9解由线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式第四十二张，PPT共五十三页，创作于2022年6月43利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为第四十三张，PPT共五十三页，创作于2022年6月44注1确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.注2第四十四张，PPT共五十三页，创作于2022年6月45例10第四十五张，PPT共五十三页，创作于2022年6月46解作线线变换复合上述两个变换得整理得第四十六张，PPT共五十三页，创作于2022年6月47即由得从而所求的变换为第四十七张，PPT共五十三页，创作于2022年6月48例11解(1)先作伸缩变换(2)再作平移变换第四十八张，PPT共五十三页，创作于2022年6月49使得于是(4)排列对应点第四十九张，PPT共五十三页，创作于2022年6月50(5)将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为第五十张，PPT共五十三页，创作于2022年6月51