空间解析几何 多元函数的偏导数与全微分 隐函数偏导数

1、第十三讲：空间解析几何的强化训练题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1平面与平面相互垂直，则K= （C）A1 B2 C-1 D-2解： ， ， =0 2过轴和点的平面方程是（B）A B C D解：过轴又即3过点且与直线平行的直线方程是 （D）ABCD解： 4空间直线与平面的位置关系是 （B）A 相互垂直 B 相互平行，但直线不在平面上 C 既不平行，也不垂直 D 直线在平面上解：（1） 故或，即(2)上点代入:,直线不在平面上5方程表示的二次曲线是（B）A 球面 B 旋转抛物线C 圆锥面 D 圆柱面解：这是面上，抛物线绕Z轴旋转的旋转抛物面即6在空间直角坐标系中，方程组代表的图形是 （

2、A）A圆 B圆柱面 C抛物线 D直线解：这是旋转抛物面与平行于面的平面的交线是一个圆二、 填空题（每小题4分，共24分）7平面的截距式方程是 解：即8直线与直线的夹角是 解：9已知两平面相互平行，则 ， 解：10过点且垂直与平面的直线方程为 解：点10平面与平面之间的距离d= 解：12在空间直角坐标系中 ，方程表示的曲面是 解：.两个相交平面三、计算题（每小题8分，共64分）13求过点且与连接坐标原点及的线段垂直的平面方程解：（1）法向量（2）平面的点法式方程点，法向量即14过点和且与向量平行的平面方程解：（1）依叉乘的定义知且故取（2）点法式平面方程：即求过点且垂直于平面和的平面方程解：（1

3、）取（2）点法式平面方程即16求通过点且平行于直线的直线方程解：（2）所求直线方程17化直线方程为标准式直线方程解：（1）求,（2）求直线上一个点令， 得 代入得 （3）标准式直线方程18确定直线：和平面的位置关系解：（1）设为直线和平面的交角故（2）直线上点代入平面方程故直线不在平面上19指出下列曲面那些是旋转曲面？如果是旋转曲面，说明他是如何产生的？（1）（2）（3）（4）解：若中有两个系数相同时，则为旋转曲面在（2）中，系数相同故选 上双曲线绕轴旋转即旋转双曲面20指出下列各方程在平面解析几何和空间解析几何分别表示什么图形？（1） （2） （3） 解：（1）在平面解析几何表示：圆；在空间

4、解析几何表示：圆柱面（2）在平面解析几何表示：双曲线；在空间解析几何表示：双曲柱面（3）在平面解析几何表示：一条直线；在空间解析几何表示：平面四、 证明题（本题8分）21 证明两平面之间的距离d：证：（1）在平面取一点（2）利用点到平面的距离公式（3）点到:的距离五、综合题（每题10分，共30分）22设一平面通过Z轴，且与平面：的夹角为，求此平面方程解：（1）平面过轴（2）即解得或（3）所求平面的方程或23求过点（1，2，1）且与和平行的平面方程解：（1）（2）（3）（4）点法式平面方程24 设直线问A，B取何值时，才能使直线L同时平行于平面和平面解：（1）已知L的方向向量（2）设=（3）故有

5、从而解得第十四讲：多元函数的偏导数与全微分的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1 设则= （A）A BC D解： 2 = （D）A 0 B 1 C D 解：在点（1，0）连续3设在点处有偏导数存在，则=（D）A 0 BC D解：原式=4偏导数存在是可微的 （B）A充分条件 B必要条件C充分必要条件 D无关条件 解：若可微，则存在，反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5函数在点（1，1）的全微=（C）A BC D解：在（1，1）6已知且，则= （A）A 2 BC D解：（1）（2）（3）二、填空题（每小题4分，共24分）7 的定义域是 解： 定义域8设则= 解：（1）（2）9

6、设则= 解： 10设，可微，则= 解：11在点（1，1）处，当，时的全微分是 解：当时，其微分=12设，可微，则= 解：三、计算题（每小题8分，共64分）13已知，若时，求，解：（1）故有（2）（3）14求在点（1，0）处的一阶偏导数，全微分解：（1）故有（2）故（3）15设，求，解：（1）（2）16设，求，解：（1）（2）（3）17 设，可微，求解法（1）：解法（2）：18设，其中有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）19设 ，其中，都有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）20 设 ，有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）四、综合题（每题10分，共20分）21若可微函数满足，计算解：原式注：另法：

7、 原式22 设 有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）+=五、证明题（每小题9分，共18分）23设 其中可微，证明证明：（1）（2）（3）24设，证明 解：（1）（2）由轮换对称性知, （3）故有选做题 证明 满足=0证： ，故有第十五讲：隐函数偏导数求法及偏导数应用的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1设则是的 （C）A 极小值点 B 极大值点C 驻点 D最大值点解：使同时成立的点，称为的驻点2函数的驻点是 （A）A （1，-1） B （-1，-1） C （1，1） D （-1，1）解：令，得又令得的驻点3下列命题正确的是 （C）A 函数的极值点一定是驻点B 函数的驻点一定是

8、极值点C 可微函数的极值点一定是的驻点D可微函数的驻点一定是的极值点解： 可微，函数极值点一定是驻点 选C4函数在点可微是在的两个偏导数，和存在的 （A）A 充分条件 B 必要条件C 充分必要条件 D 无关条件解：可微偏导数存在，反之不成立可微是偏导数存在的充分条件（注不是充分必要条件）5设点为的驻点，且有，则极大值点充分条件是（D）A BC D解：当时有极值，极小值，极大值。即6球面在点（1，-2，2）的切平面 （）A BCD解：（1）令，（2）切平面方程： 二、填空题（每小题4分，共24分）7函数的极大值为 解：（1）驻点（2）有极值有极大值8设在点（1，1，）取得极值，则 解：又，即，9

9、方程确定则= 解：令（2），（3）10曲线，在点（1，1，1） 处切线的方向向量为 解：，切线方向向量：11方程确定，则= 解：令12方程确定，则= 解：（1）（2）在（0，1）处：即（3）三、计算题（每小题8分，共64分）13设方程确定 求解：（1）令（2）14设 由方程所确定，求，解：（1），（2）15设方程确定，求，解：令（2）16设方程确定，求解：（1）（2）（3）17 已知点（5，2）是函数的极值点，求的值解：（1）故（2）故18求的极值解：（1）求驻点，驻点（2，-2）（2）判断极值点：有极值。（2，-2）为极大值点（3）极大值19求在条件下的极值解：（1）化为无条件极值一元函数的

10、极值（2）， 极小值注：代入约束条件得驻点。由实际问题知极大值20求空间曲线对应于的切线方程解：（1）在处对立点（2）切线方向向量：（3）切线方程： 四、证明题（本题8分）21设都是由方程所确定的所有连续偏导数的函数，证明解：（1）注：是一个完整符号，不能认为是和的商五、综合题（每小题10分，共30分）22 设方程确定，求解：（1）求（用复合函数求导法）（两边对X对导，）解，=（注：与15题结果一样）（2）求，=23求的极值解：（1）求驻点： 由 代入得解得或者驻点（0，0）或（1，）（2）判断极值点： 在（0，0）点处：无极值在（1，）处：有极值且 （1，）为极小值点（3）极小值24 把一个

11、正数a分成3个正数之和，并且使他们的乘积最大，求这3个正数解：设a的三个正数分别为依题意：目标函数 约束条件：化为无条件极值 （2） ：代入得 ，（，）为驻点（3）判断极值点：，在点（，）处有极值，且 有极大值 由单峰原理有最大值答 TOC o 1-3 h z u 第十六讲：二重积分的概念、计算及其应用的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1在平面有界且有面积的闭区域D上连续是二重积分存在的 （ B）A 必要条件 B充分条件C 充分必要条件 D无关条件解：若在D上连续，则存在，反之不成立，故选B2在平面闭区域D上有界是二重积分存在的（ A ）A 必要条件 B充分条件C 充分必要

12、条件 D无关条件解：若存在，则在D有界，反之不成立，故选A3设为连续函数，则 （ A ）A.B.C.D.解：交换二次积分次序原式 选A4设则在极坐标系下= （ D ）A B.C D.解：采用极坐标定限原式 选D5设则= （ C ）A BC D解：（1）画出D的示意图（2）原式6设D：=（B）A0 B. C D解：（1）画出积分区域D（2）原式（D关于y轴对称，关于x轴为奇函数）原式 选B二、填空题（每小题4分，共24分）7设若，则 解：由二重积分几何意义知上半球体积 8若D：，则 解：（1）画出积分区域D（2）原式9设D：则 解：（1）画出D（2）D关于y轴对称，且关于x为奇函数原式010设D

13、为，则 解：（1）画出D（2）原式11设则 解：原式12交换积分次序后， 解：（1）画出积分区域D（2）交换二次积分次序：原式I=三、计算题（每小题8分，共64分）13计算，其中D由所围闭区域解：（1）画出积分区域D（2）选择积分次序：为了不分片先对y分积分，后对x积分原式=14计算，D由所围闭区域解：（1）画出积分区域D（2）为了不分片先对分积分，后对y积分原式15交换积分次序解：（1）画出（2）交换积分次序I16计算解：（1）画出积分域D（2）交换积分次序I 17计算解：（1）画出积分区域D（2）改用极坐标定限，计算18计算解：（1）画出（2）改用极坐标定限，计算19计算，其中D由，所围闭区域解：（1）画出积分区域D（2）D关于y轴对称，关于x为偶函数。20计算解：（1）画出积分区域D（2）D关于轴对称，y关于y为奇函数四、综合题（每小题10分，共20分）21计算解：（1）画出积分区域（2）交换积分次序（3）计算二次积分22由圆及直线所围成第一象限的薄板，其密度，求该薄板的质量解：（1）画出平面图形（2）设该薄板质量为M五、证明题 (每小题9分，共18分)23证明证：画出左式积分区域D右式24设为连续函数且，其中D：所围闭区域