傅里叶变换基础知识

1、傅里叶变换基础知识The manuscript was revised on the evening of 2021傅里叶变换基础知识1.傅里叶级数展开最简单有最常用的信号是谐波信号，一般同期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多 个不同频率的谐波信号线性叠加而成。周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号川）只要满足狄利克雷（dirichlet）条件，都可以展开成傅里叶级数。狄利克雷（dirichlet）条件狄利克雷（dirichlet）条件为：（1）信号x（r）在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于这个间断点时，函数

2、有左极限值和右极限值）；（2）信号x（r）在一周期内只有有限个极大值和极小值；（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即j骅工出应为有限值。-T /20间断点在非连续函数y = f中某点处X0处有中断现象，那么，X0就称为函数的不 连续点。（1）第一类间断点（有限型间断点）：可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（X0令分母为零时等情况）；跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（y = X/%在点x = 0处等情况）（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为式中：x(t) = a0a为信号

3、的常值分量；a+ （a cos ns t + b sin ns t）n=1为信号的余弦信号幅值；b为信号的正弦信号幅值。a、a、b分别表示为：0n na0f ab=上 jT/2 x(t)dtT T /2002/2=j o x(t)cos ns tdtT T /20o 0=jT/2 x(t)sin ns tdt式中：0 T0 /2T为信号的周期；s为信号的基频，即角频率，s=2兀/T，n = 1,2,3.。0000合并同频项也可表示为x(t) = a + A cos(ns t + 0 )0n0 nn =1式中：信号的幅值A和初相位0分别为A = a 2 + b0 = arctan(b / a )

4、频谱的相关概念（1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是An-s （或A.-f）和0n-s（或0 - f）的统称；（2）信号的幅频谱：周期信号幅值A随s（或f）的变化关系，用A广s（或A f）表示；信号的相频谱：周期信号相位气随w (或f )的变化关系，用0n-w(或0 f )表示；信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程;基频：w或f，各频率成分都是w或f的整数倍;0000基波：w0或f0对应的信号;n 次谐波：nw0(n = 2,3,.)或 f (n = 2,3,.)的倍频成分 A cos(nw0t +中)或A

5、 cos(2兀 nf t + 0 )；周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开_cos wt = (e - jwt + ejwt)根据欧拉公式 ejw = coswt jsinwt(j =，贝U2sin wt = j(e-jt ew) 2因此傅里叶级数三角函数表达式x(t) = a0 +2(an cosnwj +气sinnw0t)可改写成a0 + Ea - jbn=1a + jbnn e jnw()t + nn e - jnw()tn=1C = 2 (a - jb )1C = 2 (a + jb )x (t) = C0 + 工 C ejnw0+ 2C e-g =,，+-nn C ejnw0t +

6、2C ejn% nn =1n=1n=0n=1n =-1x(t)=工 C ejnwtn = 0, 1,2,n =-3这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。a_2_J nT-T /200b_2_J T0/2nT- T /200 x(t)sin nw tdt 0 x(t)cos nw tdt0将J代入 C = 2 (a - jb )，则 C/ T0/2 x(t)e- jnwtdtT0 -T0/2在一般情况下。是复数，可以写成C =C + jC = c ej%, nn nRnl n式中|C | =)C2 +C2 nnR nlc(p = arctannR由 C =C + jC = c |e明,C =_(a - jb ) , C = (a+jb )可表不为n nR nl nnnnn 2 n TOC o 1-5 h z C = G - jb ) = |c | e 凡2 nnc +jb )=|c -e-jn-n2. nnn则 x(?) = S C ejn(t = 0,l,2, 变为x(t) = C + 工 C ej% +e