新人教版八年级上册初中数学 13.4 课题学习最短路径问题 教学课件

1、 第十三章 轴对称 13.4 课题学习最短路径问题 学习目标1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.（重点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.（难点）新课导入情境导入 相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.BA新课导入思 考这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一

2、下吗？如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.Bl那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？A新课导入如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？ABl新课导入ABl解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C 即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短.如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？新课导入你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？分析：

3、如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=BC，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=BC的点应该怎么找呢？ABl新课导入如图，作出点B关于直线l的对称点B，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=BC.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+BC的值最小？B容易得出：连接AB交直线l于点C，则点C即为所求.ABlC你能证明这个结论吗新课导入证明：在直线l上任意取一点C（不与点C重合），连接AC，BC，BC.由轴对称的性质可得：BC=BC，BC=BC，则AC+BC=AC+BC=AB，AC

4、+BC=AC+BC.在ABC中，ABAC+BC，所以AC+BCAC+BC.由点C的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故点C的位置符合要求.lABBCC新课讲解 知识点1 1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.BlAC新课讲解 知识点1 2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B，连接AB交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A，连接AB交

5、直线l于点C），此时点C就是所求作的点.ABlCB新课讲解练一练如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？解：如图，作点B关于河边a的对称点B，连接AB交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.ABaBP新课讲解练一练如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：作点B关于直线l的对称点B；连接AB，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.

6、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角ABlCB新课讲解如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：作点B关于直线l的对称点B；连接AB，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）D分析：上述题目中应用了轴对称把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形两边之和大于第三边.ABlCB新课讲解练一练两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来

7、抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.解：如图，作点C关于AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则点E即为所求.也可作点D关于AB的对称点D，连接CD同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.新课讲解练一练如图，在等腰RtABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.分析：上述题目可以描述为，点C，D为线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得CE+DE的值最小.ACDBE新课讲解练一练如图，在等腰RtABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位

8、置.解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D，连接CD交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDDBE新课导入思 考（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）新课讲解 知识点 造桥选址问题 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ABabMN新课讲解分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.

9、当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.你能用几何语言将上述的问题重新表达吗？ABabMN新课讲解如图： 直线a，b满足a/b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，满足AM+MN+NB的值最小.ABabMN新课讲解分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AA=MN，AM+NB=AN+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，AN+NB的值最小.ABabMNA新课讲解如图，连接A，B两点的线段中，线段AB最短.因此，线段AB与直线b的交点位置即为所求的位置，即在点N处造桥MN，所得路径

10、AMNB是最短的.ABabMNA新课讲解证明：在直线b上另外任意取一点N，过点N作NMa，垂足为M，连接AM，AN，NB.在ANB中，ABAN+BN，AN+NBAN+BN.即AN+NB+MNAN+BN+MN.AM+NB+MNAM+BN+MN.即AM+NB+MN的值最小.ABabMNAMN新课讲解 知识点 两点一线型问题 Pl2l1如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得PMN的周长最小.新课讲解 知识点 两点一线型问题 作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.Pl2l1P1P2NM如图，在直线l1和直线l

11、2上分别找到点M，N，使得PMN的周长最小.新课讲解 知识点 两点一线型问题 解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2.Pl2l1P1P2NM如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得PMN的周长最小.新课讲解 知识点 两点两线型问题 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.Pl2l1Q新课讲解 知识点 两点两线型问题 作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.Pl2l1QP1Q1NM如图，在直线l1和

12、直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之间，线段最短.新课讲解练一练某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.CABO新课讲解练一练a解析：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；（2）作点C关于OB的对称点C2；（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，

13、CE.所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.CABOC1EC2D新课讲解练一练如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？Al1l2B新课讲解解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A；（2）作点B关于直线l2的对称点B；（3）连接AB，分别交直线l1，l2于点C，D，连接AC，BD.所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.Al1l2BBACD课堂小结最短路径问题直线异侧的两点到直

14、线上一点距离和最短的问题直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题当堂小练如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A.900 B.1200 C.1500 D.1800ACDB当堂小练解：ACCD，BDCD，ACD=BDC=ACD=90.AC=AC=BD，在ACE和BDE中， ACE=BDE， AEC=BED， AC=BD，则ACEBDE（AAS），CE=DE，AE=BE.点E是CD的中点. AE=600，则AE+BE=AE+BE=1200.ACDBEA当堂小练如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？AB当堂小练FHEGABMNC解析：（1）如图，作点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作MNEF于点M，则MN为所建桥的位置.拓展与延伸分析：本题考查了含有30角的直角三角形的性质和应用，同时考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和三角形内角和定理，要熟练掌握学过的知识才能综合应用解题.ABCMN如图，在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M