2022年人教高中数《二项式定理》教设计全国一等奖

1、二项式定理（第 1 课时） 一,内容和内容解析 内容：二项式定理的发觉与证明 内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 2 3 第一章第 3 节的内容二项式定理是多 项式乘法的特例, 是中学所学多项式乘法的延长, 此内容支配在组合数模型之后, 随机变量 及其分布之前, 既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作预备另外,由于二 项式系数是一些特殊的组合数, 由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式, 这对深化组合 数的熟识有好处； 由于二项式定理的发觉, 可以通过从特殊到一般进行归纳概括, 在归纳概括过程中仍可 以用到组合计数模型, 因此,这部分内容对于培养同学数学抽象与数学建模素养有着不

2、行忽 略的价值教学中应当引起充分重视 二,学情分析 这一堂课是面对高二同学； 同学已经初步具备了多项式乘法, 同类项合并, 排列计数原 理,组合数计数原理以及归纳推理等学问储备； 能够在老师的引导下懂得并把握本节课中的 推理演绎过程；但是,同学的自我探究,归纳,分析的才能仍有待提高； 三,课程学习目标 （ 1）学问目标： 使同学把握二项式定理及推导方法,二项式开放式,通项公式的特点, 并能利用二项式定理运算或证明一些简洁问题； （ 2）才能目标：在同学对二项式定理形成的参与争辩过程中,培养同学观看,猜想, 归纳的才能,以及同学的化归意识及学问迁移才能； （ 3）情感目标：通过二项式定理的学习,

3、培养同学解决数学问题的爱好和信心,让学 生感受数学内在的和谐,对称美及数学符号应用的简洁美； 四,设计思想： 本课接受合作探究, 自主学习, 合作沟通的争辩性学习方式, 重点放在定理 的形成,证明的探究及定理基本应用上,在学问的形成,进展过程中开放思维, 逐步培养同学发觉问题,探究问题,解决问题的才能和制造性思维的才能； 目标解析： （ 1）二项式开放式是依多项式乘法获得的特殊形式,因此从多项式乘法动身去发觉二 项式定理符合同学的认知规律 但归纳概括的结论, 假如不加以严格的证明不符合数学的基 第 1 页,共 8 页本要求因此, 在归纳概括的过程中,用好组合模型不仅可以更自然地得到结论, 仍能

4、为证 明二项式定理供应方法 （ 2）由于二项开放式是一个复杂的多项式假如不把其看成一个数列的和,引进数列 的通项帮忙懂得与应用, 同学很难短期内对定理有深化的熟识因此, 通过一些特例, 建立 二项式开放式与数列及数列和的联系,是达成教学目标的一个重要途径 （ 3）数学核心素养是数学教学的重要目标,但数学核心素养需要在每一堂课中查找机 会去落实 在二项式定理的教学中, 从特殊的二项式开放式的特点归纳概括一般二项式开放 式的规律是进行数学抽象教学的很好机会； 同时利用组合计数模型证明二项式定理, 以及利 用二项式定理这个模型解决问题,也是进行数学建模教学的好机会 基于上述分析,本节课的教学重点定为

5、：发觉并证明二项式定理 五,教学重点与难点： 重点： 1 使同学参与并深刻体会二项式定理的形成过程,把握二项式定理； （2）能正确应用二项式定懂得决一些简洁的问题； 难点 : 1 二项式系数与组合数之间的联系； （2）二项开放式的应用及一些易混淆的概念； 六,教学策略分析 数学是一门培养人的思维进展的重要学科；因此,在教学中让同学自己发 现规律是最好的途径；正所谓 “学问之道,问而得,不如求而得之,深固之； ” 本节课的教法贯穿启示式教学原就以启示同学主动学习,积极探求为主,创设 一个以同学为主体,师生互动,共同探究的教与学的情境,接受引导发觉法, 由同学熟识的多项式乘法入手,进行分析,又可利

6、用组合的有关学问加以分析, 归纳,通过对二项开放式规律的探究过程,培养同学由特殊到一般,经过观看 分析,猜想,归纳（证明）来解决问题的数学思想方法,培养了同学观看,联 想,归纳才能；不仅重视学问的结果,而且留意了学问的发生,发觉和解决的 过程,贯彻了新课程标准的教学理念,培养了本节课内容正确的 “学问生长点 ”, 这对于同学建立完整的认知结构是有积极意义的； 七,教学过程与设计 教 问题或任务 师生活动 设计意图 学 第 2 页,共 8 页环 节 问题 1 今日是星 老师 1： 提出问题 1 1 b , a 2 b , 问题引入 同学 1： 同学摸索 期五 , 老师 2：提出问题 2 7 天后

7、的这一天是星期 同学 2： 同学摸索 几呢？ 老师 3：写出并观看 a 15 天后的这一天呢？ 的开放式,你能得到哪些规律？ 回 问题 2 如今日是星 同学 3： 利用多项式乘法得出 a 3 b 的开放 提出问题 式 期五 , 再过 8100 天后 的那一天是星期几 .老师 4：引导同学分析 a 1 b , a 2 b , 引导同学通 a 3 b 的开放式特点 过对特殊情 问题 3 为明白决问 4 同学 4：探究 a b 的开放式； 形的观看, 顾 归纳猜想一 前 题 2,需要用到 a n b 般情形的基 知 本特点 的开放, 你认为这个展 引 开式式会怎样呢？ 老师 5： a 5 b 的开放

8、式是怎样的？ 老师引导, 同学 5： 发觉项数,项的次数,项的系数并猜 同学依据所 出 猜 想： a 5 b 的开放式 得具体的展 开式,从展 想 开式中的项 数,项的次 数,项的系 数等角度进 行归纳,并 依据归纳所 得猜想一般 的开放式的 结果 同 学体会由 特殊到一般 的归纳猜想 的过程 探 问题 4 猜想一： 老师 6：提出问题 3 n a b n 0a n1 1a b同学 6： 引起摸索,并提出想法 老师 7：提出问题： n k k ka b n nb 第 3 页,共 8 页寻 中的 k ？ 在 a 3 b 3 0 a 2 1a b 2 ab 23 3b 一般问题回 规 到特殊情形

9、律 中 , 为 什 么 “ 01, 13, 23, 进行争辩 获 31 ”？ 把问题回到 得 同学 7： 同学依据所得的运算结果,观看得到 结 论 开放式的项的特点：开放式中的每哪一项由每 个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的 已知的结构 a 3 b 开放式中的项 2 3a b是由 aab , aba , 进行处理 baa 后合并同类项得到从三个括号中的一个 括号选择“ b ”剩余两个括号选择“ a ”构成 同学通过计 算器得到计 算结果 的,由于从三个括号中的一个括号选择“ b ”, 一旦确定哪个括号选 “ b”,剩余两个括号选择 也就确定了,由于“ b ”有三种选择,所以对 应同类项的个

10、数就为 3 ,即“ a2b ”的系数为 3 老师 8：能否用计数模型进行说明？ 2同学 8：“ a b ”可以看成是从三个括号中选择 一个括号选“ b ” ,剩余两个括号选择“ a ”, 完成这件事的全部可能,要做这件是,我们可 分成两步来完成：第一,从三个括号中选择一 1个括号选“ b ”,有 C种选择；其次,剩余两 个 括 号 选 择 “ a” 就 C21种 选 法 , 故 有 老师通过引 导同学对展 开式各项构 成的观看, 得到项的构 成 21 C3 1 1 C3 种选法,所以, 11 C3 依此可以 得到其它系数的组合数形式： 3 a b 0 3 C3 a 1 2 2 2 C3 a b

11、 C3 ab 3 3 C3 b 第 4 页,共 8 页3 老师 9：依据所得 a b 开放式的规律, 你能 否得猜想 a b n 的开放式中 0 , , , k , , n的值？ 同学 9： n a b C n 0 a n n n Cn b C1an 1b Ck a n k b k 通过特殊与 一般的项的 关系对比, 得到对系数 意 义 的 理 解 依据开放式 系数即同类 项的个数这 一结论,引 导同学们通 过一般到特 殊,用组合 计数模型对 各项系数进 行争辩 得到开放式 系 数 的 猜 想 老师 10：提出问题 3 由归纳猜想 第 5 页,共 8 页证 问题 5 你能证明 同学 10： 提

12、出想法 到理论证 明 n a b明 引导定 老师 11：你认为证明问题 3,关键是几步？ 提炼学 生0 n Cn a 1 n 1 Cna b 理 同学 11：（ 1）项的结构； （ 2）项的系数 提炼证明 k n k Cn a bk n nCn b 要点 明 n N 吗？ 老师 12： 证明： a bn 是 n 个 a b 相乘, 强调规范表 晰 概 依据多项式的乘法,开放式每一项都中意 达 念 n k k a b （ k 0,1, , n ） 对项 an kbk （ k 0,1, , n ）看成问题： 从 n 个括号中选择 k 个括号选 “ b ” ,剩余括 号选择“ a”,相乘而成 可这样

13、设计计数模型, 要做这件事,可分成两步来完成： 第一, 从 n 个括号中选择 k 个括号选 “ b”,有 k Cn 种选择； 其次,剩余括号选择“ a ”就 C n k n k 1 种选法, k k 依据分步计数原理有 C n 1 C种选法 所以,项 a n k b k 的同类项有 C n k ,故 a n k b k 的 系数为 C n k （ k 0,1, ,n ） k n k k 所以, a b n 开放式每一项中意 C a b（ k 0,1, , n ） 明晰概念 老师 13：上述公式叫二项式定理, 开放式共有 问题 6 从数列的角 n 1 项,其中各项的系数 k C n（ k 0,1

14、, , n ） 同学从数列 叫做二项式系数 度看二项式开放式, 你 老师 14：提出问题 4 能获得什么熟识？ 同学 14： 二项开放式可以看成是一个数列的 的角度获得 和,数列的通项公式是 Cn a k n k b k ,表示数列第 对二项式展 开式的再认 k 1识 项 第 6 页,共 8 页老师 15：二项式开放式的通项是开放式中第 问题 7 你能 依据 k 1 项： Tk 1k n k k Cn a b 让同学体会 n a b 的开放式得出 老师 16：引例： 今日是星期五, 如 8100 天 利用二项式 n a b 的开放式吗？ 后的这一天是星期几呢？ 定理模型进 解: 行运算, 课堂

15、练习 1 8 100 （7 1）100C 100 0 7 100 C 100 1 799 C100 r 7100 r 感受数学模 型的在数学 + 99 100 +c 100 7+c 100 7 0应用中的价 值 1 求 1 n x 的 展 开 8 100 被 7 除的余数是 1,因一天是星期六 . 此 8100 天后的这 课 堂 练 习 式； 1 老师 17：例 1: 求 1+2x 5的开放式 . 熟识二项式 2 求 2 x 1 6的 x 求 1-2x 5开放式第三项以及其二项式系 定理模型 数,求 x3 项的系数 开放式 师生共同完成； 课堂练习 课堂练习 2 老师 18：布置课堂练习 1,

16、 2 求 x 1 9开放式中 x 3 x 同学 15： 完成课堂练习； 2 让同学体 会用通项公 的系数 式表示开放 式的简洁 性 问题 8 你从二项 老师 18：提出问题 6 师生共同回 课 式定理的发觉, 证明与 同学 16：本节课猎取二项式定理的过程： 先由 顾总结 引 应用的过程中体会到 特殊察 a 3 b , a 4 b , a 5 b 的开放式猜 领同学感悟 一些什么？ 数学认知的 想一般 a n b 的开放式项的结构, 再通过对特 过程,体会 数学核心素 殊形式 a 3 b 开放式项的争辩得到 a n b 的 养 开放式项的规律,最终进行理论证明；课堂展 示了猎取一个一般性结论的过程：第一要通过 堂 小 特殊到一般进行猜想结论,表达了数学抽象过 结 程；其次,得到猜想后,要进行理论论证,体 现了数学规律推理；