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齐次方程 第三节一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量: 例1. 解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( C 为任意常数 )例2. 解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C 为任意常数)可得 OMA = OAM = 例3. 在制造探照灯反射镜面时,解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 .过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) ( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)定常数), 求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 例4. 求解解:令得再令 YX u , 得令积分得代回原变量, 得原方程的通解:得 C =

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