人教版八年级数学竞赛专题全等三角形

1、人教版八年级数学竞赛专题：全等三角形（含答案）1.如图，ABC为边长是1的等边三角形，BDC为顶角BDC是120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连结MN，形成一个AMN求AMN的周长ANMBCDE解析延长AC到E，使CEBM，连结DE易知在BMD与CED中有BDDC，MBDECD90，BMCE，从而MBDECD所以MDDE，MDBEDC于是在DMN与DEN中有DNDN，MDDE，MDN60MDBCDNEDCCDNEDN从而MDNEDN，故NEMN所以AMMNANAMNEANAMNCCEANAMMBNCANABAC22.ABC为等腰直角三角形，C90，点M

2、、N分别为边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD2BM，点E在射线NA上，且NE2NA，求证：BDDE解析取AD中点F，连EFEAMBNCFD在BMC与DMA中，AMMC，BM12BDMD，BMCDMA，故在ANC与EAF中，NANEAE，AFADBCNC，由ADBC知AMDCMB于是有ADMCBM，ADBC，ADBC同样易知BMCANC，于是有CBMCAN111222EAFANC，所以FAFANC于是有AEFNAC，EFAACN90EFD从而在EAF与EDF中有AFFD，EFEF，故FAFEDF于是有EDFEAF，FEDFEA总之，EDFMDAEDFNACEDFAEFEDFFED90，

3、即BDDE3.已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD2CEFAEDBC解析如图，延长CE、BA，设交于F则FBEACF，ABAC，得ABDACF，CFBD又BECF，BE平分FBC，故BE平分CF，E为CF中点，所以2CEFCBD4.在ABC中，已知A60，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，P、Q为，QFAC，QF，若GP1，求PQABC形外两点，使PEAB，PEABAC22QF1ACEG，PEABFG，故PEGGFQ，所以PGGQ，的长解析如图，连结EG、FG，则EGAC，FGAB，故PEG150QFG又122EG

4、PFGQFQGFGQ30，又EGF60，所以PGQ90，于是PQ2PG2AQPEFBGC5.在梯形ABCD的底边AD上有一点E，若ABEeqoac(,、)BCE、CDE的周长相等，求BCAD解析作平行四边形ECBA，则ABECEB，若A与A不重合，则A在EA（或延长线）上，但由三角形不等式易知，A在EA上时，ABE的周长ABE的周长；A在EA延长线上时，ABE的周长eqoac(,?)ABE周长，均与题设矛盾，故A与A重合，AEBC，同理EDBC，BC1AD2AAEDBC6.ABC内，BAC60，ACB40，P、Q分别在边BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线求证：BQAQA

5、BBP解析延长AB到D，使BDBP，连结DP易知ABC80，所以QBC40ACB，ACAQQCAQQBAQBPC因BDPBPDABC40ACB，所以ADPACP，D12ACADABBDABBP于是BQAQABBP7.设等腰直角三角形ABC中，D是腰AC的中点，E在斜边BC上，并且AEBD求证：BDAEDC解析如图，作BAD的平分线AF，F在BD上ADFBEC由于BAF45ACE，ABAC，ABFCAE，故ABFCAE，故ECAF又CFAD45，ADCD，于是AFDCED，于是ADBEDC8.设ABE、ACF都是等腰直角三角形，AE、AF是各自的斜边，G是EF的中点，求证：GBC也是等腰直角三角

6、形解析如图，作AQ、GP、EM、FN分别垂直于直线BC，垂足为Q、P、M、NAFEGMBQPCN由EBM90ABQBAQ，ABBE，EMBBQA，故有EMBQ，BMAQ同理FNQC，CNAQ，所以BMCN，EMFNBQQCBC1EMFN又EGGF得BPCP，且GP122BC，故GPBPCP又由GPBC，故结论成立9.已知ABAC，ABAC，D、E在BC上（D靠近B），求证：DE2BD2CE2的充要条件是DAE45AFBDEC解析如图，作FCBC，且FCBD，则ACF45B，又ABAC，故ABDACF，ADAF，且D4FBAC90若DAE45，则EAF45，因ADAF，得ADEAFE，则DE2E

7、F2EC2FC2EC2BD2反之，若DE2EC2BD2，由EF2EC2FC2得EFDE又ADAF，故ADEAEF，又DAF90，于是DAE4510.两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成3块，每一块通过平移、旋转后拼成另一个三角形解析如图，设ABC与ABC关于l对称，分别找到各自的内心I、I，分别向三边作垂线ID、IE、IF与ID、IE、IF，于是6个四边形AFIE均为轴对称的筝形，且四边形AFIE四边形AEJF，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合AAEEFlCClFDDBBl11.已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分

8、成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等解析如图，设BCBC，A至BC距离等于A至BC距离，取各自的中位线FE、FE，则FEFE由ABC、ABC均为锐角三角形，可在BC、BC上各取一点D、D，使图中标相同数字的角相等，于是AEFeqoac(,D)EF，DEFAEF，FBDeqoac(,FD)B，EDCeqoac(,E)CD评注还有一种旋转而不是对称的构造法A3A6F1425EF4152E1465241325BDCBDC12.已知ABC与ABC中，AA，BCBC，SABCSABC，ABC与ABC是否一定全等？AABC解析如图，让B与B重合，C与C重合，A、A在BC同侧，若

9、A与A重合，则ABCABC；否则由条件知四边形ABCA为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于是ABCACB，ABACeqoac(,，)ABCACB综上，可知ABC与ABC全等评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明13.如图所示，已知ABC、CED均为正三角形，M、N、L分别为BD、AC和CE的中点，求证：MNL为正三角形ANLESCBTMD解析如图，设BC、CD中点分别为S、T，连结NS、SM、MT、TL则四边形CSMT为平行四边形，设BCD，则NSM60180240LTM，NCL360120240，又NCSNSCMT，LCLTCTSM，故CNLSNMTML，NL

10、NMML，于是MNL为正三角形评注注意有时S在MN另一侧，此时NSMLTMNCL120，不影响最终结论14.ABC中，A90，ABcAC6，BCa，M是BC中点，P、Q分别在AB、取PQ中点K（图中未画出），则PQAKMKAM，于是BP2CQ2的最小值为，AC上（可落在端点），满足MPMQ，求BP2CQ2的最小值（用a、b、c表示）解析如图，延长QM至N，使QMMN，连结PN、BN、PQ、AM由于M是BC、NQ的中点，故BNCQ，BNAC，BNBP，又PM垂直平分NQ，故BP2CQ2BP2BN2PN2PQ2aa224取到等号仅当PQAM即四边形APMQ为矩形时AQPBMCN15.已知P为ABC

11、内一点，PACPBC，由P作BC、CA的垂线，垂足分别是L、MCMPLEFBAD设D为AB中点，求证：DMDL解析如图所示，取AP中点E，BP中点F，连ME、ED、DF、FL显然四边形DEPF是平行四边形，所以EPDF，FPDEDEPDFP又由PMAC，所以EMEAEPDF，PEM2PAC；同理FLDE，由PFL2PBCPACPBC，所以DEMDEPPEMDFPPFLDFL，从而DFMLFD，所以DMDL16.在ABC中，已知CAB60，D、E分别是边AB、AC上的点，且AED60，EDDBCE，CDB2CDE，求DCB的度数解析如图，延长AB到F，使BFED，连CF、EFCEADBF因为EABAED60，所以FDA60，EDBCED120，ADAEEDBFCEEDDBDBBFDF于是，ACAF，ACFAFC60又因为EDB120，CDB2CDE，所以CDE40，CDB80，ECD180CEDEDC20在CDA和CBF中，CACF，CADCFB60，ADBF，所以CDACBF，故FCBACD20于是，DCB60CDEFCB2017.在ABC中，B、C为锐角，M、N、D分别为边AB、AC、BC上的点，满足AMAN，BDDC，且BDMCDN求证：ABAC解析若DMDN，则在DM上取一点E，使DNDE连结BE并延长交AC于F，连结EN在BED与CND中，BDDC，BDEC