2020届天津市部分区高三下学期质量调查数学(文)试题

1、2020届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（文）试题一、单选题1设集合A1,2,3，BxR1x3，则AIB（）A1,2B1,3C2,3D1,2,32设变量x,y满足约束条件2x3y9，则目标函数z2xy的最大值是（）【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】Q集合A1,2,3，BxR1x3，集合A与集合B公共元素组成的集合AB1,2，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合.xy2x0A7B5C3D2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化

2、目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】第1页共17页画出约束条件2x3y9，表示的可行域，如图，xy2x02x3y90y1xy20 x3由可得，将z2xy变形为y2xz，平移直线y2xz，由图可知当直y2xz经过点3,1时，直线在y轴上的截距最大，z最大值为z2315，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通

3、过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a的值为（）3DA3B2C212【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a的值.【详解】输入a3,i1，第2页共17页第一次循环a23,i2；1第二次循环a,i3；2第三次循环a3,i4,43，退出循环输出a3，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结

4、构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4设，则“”是“”的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.【详解】在上递减，若充分性成立，若，则，必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、

5、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.fx5已知函数12x，若af20.3,bf2,cflog5，则a,b,c的大2第3页共17页小关系为（）AcbaBabcCcabDbca【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,b,c的取值范围，从而可得结果.【详解】Q2020.321,120.32，Qlog5log42，2220.32log5，2fxQ12x在R上递减，f20.3f2flog5，2即abc，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函

6、数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间1,2,2,；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6已知双曲线x2y2a2b21a0,b0的左、右焦点分别是F1,F2，双曲线的渐近线上点P3,4满足PF1PF2，则双曲线的方程为（）ABDx2y21691x2y2341x2y2C1916x2y2431【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点P3,4满足PF1PF2，结合a2b2c2，列出关于a、b、c的方程组，求出a、b即可得结果.【详解】Q3,4在x2y22ab21的渐近线上，第4页共17

7、页4b4，a3又QPF1PF2，41，3c3c又a2b2c2，由得，a29,b216，x2y2双曲线方程为1，故选C.916【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.fxsin2x的图象过点,0（如图所示），若将fx的7函数6图象上所有点向右平移称轴的方程为（）6个单位长度，得到函数gx的图象，则gx图象的一条对12Bx4DxAx523Cx12fx若存在实数a,b,c满足fafbfc，其中【答案】D8已知函数x26x,x42x1,x4cba，则abfc的取值范围是（）A（24,36

8、）B（48,54）C（24,27）D48,【答案】B【解析】由二次函数的性质可得abfc6fc，数形结合求出c的取值范围，可得fc的取值范围，从而可得结果.第5页共17页【详解】画出xx26x,x42x1,x4图象，如图，Qabc，由二次函数的性质可得ab6，由图可知，4clog291，f4fcflog91，2f48,flog912log29119，28fc9，486fc54，即abfc的取值范围是48,54，故选B.二、填空题9i是虚数单位，复数17【答案】zi5513i2i_.【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数13i2i2i2i2i即可.【详解】13i

9、13i2ii，故答案为z17i1717i.5555510已知函数fxlogx(a0且a1)，fx为fx的导函数，且满足a第6页共17页f11，则a_.【答案】e11圆柱的体积为3，底面半径为432，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为_.【答案】43【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果.【详解】Q圆柱体积为，底面半径为3，设圆柱的高为h，3422323h，h1，4设球半径为R，31，则2R2224R24，可得R1，444球的体积为R3，故答案为.33312已知圆心在直线xy10上的圆与y轴的两个交点坐标分别为0,4,0,

10、2，则该圆的方程为_.【答案】x22y121313已知a0,b0,c0，若点Pa,b在直线xyc2上，则4ab的abc最小值为_.【答案】222uuuvuuuv14在ABC中，D为AB的中点，点O满足CO2OD，OAOB，若AB10，第7页共17页ACBCOCOAOCOB，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.ACBCOCOAOCOB2OCOAOBOAOBOCOC2ODOCOC2100100200，故答案为200.uuuvuuuv则ACBC_.【答案】2001uuuruuur【解析】由已知，求得ODAB5,OC2OD10，且OAOB0，则2uuuruuuruuuruuuruuuruuur【详解

11、】uuuvuuuvQABC中，D为AB的中点，点O满足CO2OD，OAOB，AB10，1uuuruuurODAB5,OC2OD10，且OAOB0，2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurOCuuuruuuruuur2uuuruuur2三、解答题15在ABC中，b32，cosA（）求a的值；（）求cos2C的值7【答案】（）a3（）9【详解】63，BA2，A(0,)得sinA1cos2A由正弦定理a解：（）在ABC中，由cosA因为BA2，b，sinAsinB63332)32sinA，即acosA32得asin(A所以a333，（）因为c

12、osA63，BA，2第8页共17页2)cosA所以sinBsin(A633，cosB1sin2B31所以sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB3故cos2C12sin2C79【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.16“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动.”他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：步数人数0,500055001,8000138001,12（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小

13、李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为Ai1,2,3L，属于“懈怠型”i的人依次记为Bi1,2,3L，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.i（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M发生的概率.【答案】）；）i）A,A，A,B，A,B6（1（2（5121112，A,B，A,B，A,B，1321225；A,B，B,B，B,

14、B，B,B（）323121323【详解】解：（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56.2人，这两人分别记为A，A.（2）（i）5人中“积极型”有5123012第9页共17页5人中“懈怠型”有5183人，这三人分别记为B，B，B.30123在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：A,A，A,B，A,B，A,B，A,B，1211121321A,B，A,B，B,B，B,B，B,B.2223121323（ii）事件M“抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：A,B，A,B，A,B，

15、A,B，A,B1113212223所以根据古典概型公式，得其概率为PM63.105所以事件M发生的概率35.【点睛】本题考查利用频率估计概率，分层抽样中各层数量的计算，求古典概型概率，属于简单题.17如图，四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAD90，BCCD1AD1，PA2，M为PD的中点.2（1）求证：PAAB；（2）求证：CM平面PAB；（3）求直线CM与平面PAD所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6（1【解析】）根据PAAD，PACD，得到PA平面ABCD，从而得到PAAB；（2）【详解】（1）证明：QPAD90，PAAD又QPACD，CDIADD

16、，CD,AD平面ABCD，PA平面ABCD又QAB平面ABCDPAAB.第10页共17页又QBCAD且BCAD，（2）证明：取PA中点N，连接MN,BN.QM，N分别是PA，PD的中点，MNPAD且MN1AD，212MNPBC且MN=BC，四边形MNBC是平行四边形，CMPBN，又QCM平面PAB，BN平面PAB，CMP平面PAB.（3）解：QCDPA，CDAD，PAADA，PA,AD平面PAD，CD平面PADCMD为直线CM与平面PAD所成的角在RtPAD中，QPA22，AD2，PD23，MD3所以在RtCMD中，tanCMDCD3.MD3CMD.6所以，直线CM与平面PAD所成的角为6.第

17、11页共17页【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，求直线与平面所成的夹角，属于简单题.18已知an是等差数列，b是等比数列，且an11，aa12，ba，ba.341225（1）求an和b的通项公式；n（2）设c1nabnN*，求数列c的前n项和S【答案】（1）an2n1，b3n；（2）S388nnnnn.4n13n1.nn【解析】（1）由a11，a3a412求出an的公差，可得a的通项公式，由nba,ba求出等比数列的首项与公比，从而可得b的通项公式；（2）利用（1）1225n得c1nab1n2n13n2n13n，结合等比数列的求和公式，nnn利用错位相减法可得结果.【详解】

18、（1）Q设等差数列an的公差为d，a11,aa12，342a5d12，d2，a2n1.1n设等比数列bn的公比为q，b1a,ba，225ba3,b9，q3，b3n.122n（2）由题意，得c1nab1n2n13nnnn2n13n,S13332533L2n13n,n3S132333L2n33n2n13n1,n第12页共17页上述两式相减，得4S3232233L23n2n13n1n323213n12n13n1138834n13n1.2234n1S3n1.n【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题.“错位相减法”求数列的和是重点也

19、是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q.1ab0的离心率为，短轴长为22.19已知椭圆C:x2y22a2b22（1）求C的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为kk0的直线l与C交于A,B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且APM面积为23，求k的值.【答案】（1）x2y221；（2）422.【解析】（1）根据椭圆的离心率为2

20、，短轴长为22，结合性质a2b2c22，列出关于a、b、c的方程组，求出a、b即可得结果；（2）设直线l的方程为ykx2，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线EM的斜率，可得直线EM方第13页共17页程，与直线AH的方程联立求得点M,k，根据点到直线的距离公式、弦长423312，从而可得结果.公式以及三角形面积公式可得SAPM4kAPd322k213ea2（1）由题意，知2b22.c2由x2y2消去y并整理，得2k21x28k2x8k240.142【详解】c2a2b2c2a2解得b2.x2y2椭圆C的方程为1.42（2）易知，椭圆的左顶点A2,0，设直线l的方程为ykx2，则E0,2k,H0,

21、2k.ykx2设Ax,y,Bx,y,Px,y112200，64k442k218k2416.2k212k21xx128k28k24，xx.121xxykx2k，0222k212k212k21x01204k24k22k，OPy，直线EM的斜率为EMk2k.k0 x0112kkOP点M,k.直线EM方程为y2kx2k，直线AH的方程为ykx2.4233第14页共17页点M到直线l:kxy2k0的距离为d42kk2k33k214k3k21.12AB1k2xx1k2x121x224xx41k22k21.121k2APAB22k21.3SAPM1121k2APd222k2144kk3k212k21.22，解得k2.2k213QSAOM32，34k20已知函数fxx3ax2b2x，其中a,bR.（1）若曲线yfx在点1,f1处的切线与直线y30平行，求a与b满足的关系；（2）当b0时，讨论fx的单调性；（3）当a0,b1时，对任意的x0,，总有fxxexk成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）32ab20；（2）当a0时，fx在R上单调递增；当a0fx在,a和0,上单调递增；在a,0上单调递减；当