4二次函数应用题教学案8

1、2015年中考解决方案二次函数的应用学生姓名：上课时间：毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page1of17中考说明内容基本要求能结合实际问题二次函数的应用略高要求能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表较高要求能用二次函数解决情境了解二次函达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据简单的实际问题；二次函数数的意义；会用描二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐能解决二次函数与点法画出二次函数的图象标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会其他知识综结合的利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解有关问题自检自查必考点二次函数的实际应用用二次函数的图像和性质解决实际问题，首

2、先应按题意建立合适的函数关系式，特别注意自变量和函数表示的实际意义；然后再利用二次函数的图象和性质解决所求问题。二次函数在实际中的应用主要有以下两个方面：一、结合二次函数的图象求最值问题。这类问题解题时往往会使用配方法去就二次函数图象的顶点式，主要的题型有：1.二次函数与面积最大化问题2.二次函数与利润增长率问题二、利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题。这类问题解题时往往需要根据题目的要求自己建立平面直角坐标系，再利用二次函数的性质解题，主要类型有：1.二次函数与拱桥问题2.二次函数与投篮、喷泉类问题毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page2of17例题精讲一二次函数

3、与利润最大化【例1】进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A.y2a(x1)B.y2a(1x)C.ya(1x2)D.ya(1x)2【答案】D【例2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大

4、利润，最大利润是多少元？（3）该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围【答案】（1）yx120；（2）W(x90)2900W，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元（3）销售单价x的范围是70 x8765kb55【解析】(1)根据题意得75kb45b解得k1，120，所求一次函数的表达式为yx120（2）W(x60)(x120)x2180 x7200(x90)2900Q抛物线的开口向下，当x90时，W随x的增大而增大，而60 x87，当x87时，W(8790)2900891当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元（3）由W500，得50

5、0 x2180 x7200，x整理得，x2180 x77000，解得，x70，110（由图象可知，要使该商场获得利润不12低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60 x87，所以，销售单价x的范围是70 x87【例3】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；设宾馆一天的利

6、润为W元，求W与x的函数关系式；一天订住多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page3of17（【答案】1）房价每增加10元，就会空出一个房间，则增加x元，可以空出房间x10间故y50 x10（0 x160，且x是10的正整数倍）（2）W50 x180 x20 x234x8000则总租金x100105x151125x10111010（3）W1x234x80001x1702108901010【例4】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则

7、相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费为多少元？【答案】设每张床位每天最合适的收费为x元22因为要使租出的床位少且租金高，所以x16【例5】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为30元kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元kg，也不得低于30元kg，市场调查发现:单价定于70元时，日均销售60kg，单价每降低1元，日均多售出2kg，在销售过程每天还要支出其它费用500元，（不足一天时,按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元，（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。

8、（2）将（1）中所求出的二次函数配方成yaxb22a4acb24a的形式，指出单价定为多少时日均获利最多，是多少？（3）将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪一种获总利最多，多多少？【答案】（1）若销售单价为x元，则每千克降低70 x元，日均多售出270 x千克，日均销售量为60270 x千克，每千克获利为x30元依题意得：yx3060270 x5002x2260 x650030 x70（2）y2x2130 x65002x6521950，顶点坐标为65,1950当单价定为65元时，日均获利最多是1950元（3）当日均获利最多时，单价为65元，日均销售6027

9、06570千克那么获总利为195070070195000元当销售单价最高时单价为70元，日均销售60千克毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page4of17将这种化工原料全部售完需7000117天60那么获总利为70307000117500221500元因为221500195000，且22150019500026500元所以，销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元。【例6】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。

10、假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函数关系式商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】1）根据题意，得y24002000 x84（，即yx224x3200 x25025（2）由题意知225x224x32004800，解得x100，x20012因为要使百姓得到实惠，故取x200，所以每台冰箱应降价200元（3）对于y225x224x3200，2400200015084500024150250max2当x25150时，y所以，每台冰箱降

11、价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元模块二二次函数与面积最大化【例7】正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y求y与x之间的函数关系式y【答案】x26x【解析】由题意知：y3x232，化简得：yx26x【例8】有一边长为5米的正方形场地，现在要在里面建一矩形游泳池，如图所示，要求一边距场地边缘为x米，一边为2x米，求矩形的面积y与x的关系表达式x2xy【答案】2x215x25(0 x2.5)根据题意知：矩形的边长分别为：(5x)米，(52x)米毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page5of17所以矩形的面积为：y(5x)(52x)；去括号

12、，整理得：y2x215x25(0 x2.5)【解析】本题没有要求写出自变量的取值范围，中考中在没有要求写出范围的情况下学生可以不写，不扣分，写出并且写对的不会额外加分，但是如果写错会扣分【例9】张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD设AB边的长为x米矩形ABCD的面积为S平方米（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值AD花圃BCxb2a22【答案】由题意得SABBCx322xS2x23x由a20328S最大值4acb21284ax8时，S有最大值是12

13、8【例10】如图所示，有长24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的边AB长为x，花圃的面积为S米2（1）请求出S与x的函数关系式（2）按照题中要求，所围的花圃面积能否是48m2若能，求出的x值；若不能，请说明理由ADBC（【答案】1）根据题意得Sx243xs3x224x（2）不能；把S48代入得3x224x48解得x4毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page6of17即AB4AD243x12这与墙的最大长度为10米矛盾，不合实际所围的花圃面积不能是48m2【例11】如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC，CD

14、上的点，CE1，CF43,直线EF交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HMAG，HNAD，垂足分别为M，N，设HMx，矩形AMHN的面积为y求y与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积为多少？【答案】正方形ABCD的边长为4，CE1，CFBE343，BG4又AGCF，FECGEB，CFCEBGBE又HMBE，HMGEBG，MGHMBGBEx，AM8x，yx8xx28x0 x4MG44443333yx28xx32124433当x3时，矩形面积最大，最大面积为12三二次函数与运行轨迹【例12】一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度ym与水平距离xm之间的

15、关系用如图所示的二次函数图象表示（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）（1）由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式；（2）求出铅球被推出的距离；（3）若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page7of17y83BA5-22Cx由图象得，图象经过2,0，0,，2,三点，5则：c3解得：a1，b，c3O【答案】设y与x之函数关系式为yax2bxc58334a2bc084a2bc3251233y与x之间的函数关系式为y125x2x1233令y0，则125x2x01233解得：x10，x2（不合题

16、意，舍去）12铅球被推出的距离是10米；过B作BDOC于Dy1x28x201x423B点坐标4,31212由（2）得点坐标是（10，0）BDC15346318SOABCSOABDS232311【例13】小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线y1x2585x，其中ym是球的飞行高度，xm是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题

17、.教师版Page8of17y(m)【答案】1）yx2x(x4)218116抛物线yx2x开口向下，顶点为4，对称轴为x4.（2）令y0，得：x2x0，解得：x0，x8，55抛物线的对称轴为x5，顶点为5，O（555518165551812球飞行的最大水平距离是8m（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m165球洞x(m)设此时对应的抛物线解析式为ya(x5)2又点(0，0)在此抛物线上，165，0，a25a16165125y1616(x5)212551【例14】如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线yx23.5运行，然后准确落入篮筐内，5已知篮筐的中心离地面

18、的距离为3.05米球在空中运行的最大高度为多少米？如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离是多少米？yOx【答案】3.5米；4米毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page9of17【例15】如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点C距守门

19、员多少米？（取437）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取265）y421AO【答案】（1）设第一次落地时抛物线的表达式为ya(x6)24，由已知：当x0y1，即136a4，a112MBCDx表达式为y11(x6)24或者yx2x11212（2）令y0，解得x643所以x643符合题意，所以x64313，所以足球第一次落地距守门员13米。（3）第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CDEF（即相当于将第一次的抛物线向下平移了2个单位）21(x6)2412x解得x626，62612CD|xx|461012BD1361017（米）他应再向前跑17米【解析】本题是利用建模思想解

20、题的一个典型应用题，本题的第三问的解法有很多，此处给出的是最容易想到的也是最简单的方法，另外也可以通过求出C点坐标的方法等求出第三问模块四二次函数与拱桥问题毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page10of17【例16】有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m如图把它的截面边缘的图形放在所示的直角坐标系中（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？【答案】由题意得：（1）抛物线的顶点坐标为（5，4）；（2）设这条抛物线所对应的函数关系式为yax524因为图象

21、经过（0，0），所以025a44752434解得a254x524函数关系式为：y25（3）当x=7时，桥洞离水面的高度为y92525【例17】如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽AB为12米，如图建立直角坐标系（1）求抛物线的函数解析式；（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中31.7）（【答案】1）设函数解析式为yax24将B6,0代入解析式yax24，解得a19抛物线的函数解析式为yx2419（2）当y1时，119x24，解得x33，2x6310当水位上1米时，水面宽约为10米【例18】某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板

22、房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page11of17（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？（【答案】1）设抛物线的表达式为yax2点B6,5.6在抛物线的图象上5.636a，a7，45抛物线的表达式为y745x2（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐

23、标为(k,1)已知窗户高1.6m，t5.61.644745k2【答案】yx2(3x3)；能k5.07，k5.07（舍去）12CD5.07210.14m设最多可安装n扇窗户，1.5n0.8n110.14，n4.06最多可安装4扇窗户【例19】如图所示，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米，以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围有一辆宽2.8米，高2.55米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道。yOxACB59【例20】如图有一座抛物线形

24、拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽是10米建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280千米(桥长毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page12of17忽略不计)。货车正以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)，试问：如果货车按原来速度行驶，能否完全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，

25、速度应超过每小时多少千米？OyCDxAB【答案】y1x225当x5时，y1，水位上涨到O点所需时间为14小时，汽车到达的时间为2804070.25小时，所以按原速度不能通过，要使汽车安全通过，速度应超过60千米/小时【例21】一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米，高6米，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线右侧，1距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，你能否根据这些3要求，确定通过隧道车辆的高度限制？【答案】建立如图所示的直角坐标系，设隧道横截面抛物线的解析式为yax26，因为当x6时，y0，求得a1，所以抛物线的解析式为y1x26，当x624时，y10，因为车辆顶

26、部与663隧道要有不少于1米的空隙，所以通过隧道车辆的限高应为1013米333课后作业【题1】有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中（1）求这条抛物线所对应的函数关系式（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page13of17（【答案】1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（5，4）所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为yax524由图象知该函数过原点，将O0,0代入上式，得：0a0524解得a425故该二次函数解析式为y4x52425

27、（2）对称轴右边1米处即x6，此时y465243.8425因此桥面距离水面5.63.841.76米【题2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围65kb55【答案】(1)根据题意得75kb45解得k1,b120,所求一

28、次函数的表达式为yx120（2）Wx60 x120 x2180 x7200 x902900Q抛物线的开口向下,当x90时，W随x的增大而增大，而60 x87，当x87时，W87902900891毕业班解决方案模块课程初三数学.二次函数.应用题.教师版Page14of17当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元（3）由W500，得500 x2180 x7200，整理得，x2180 x77000，解得，x70，x11012由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60 x87，所以，销售单价x的范围是70 x87【题3】已知某种商品去年

29、售价为每件a元，可售出b件今年涨价x成（1成=10%），则售出的数量减少mx成（m是正常数）试问：（1）如果涨价1.25成价格，营业额将达到ab1m24m，求m；1m2m1m2xmx1010m（2）如果适当的涨价，能使营业额增加，求m应在什么范围内？（【答案】1）涨价x成后，营业额为y则ya1b1ab1x4m当x1.25时，yab1m24mx0，解得m则m1m810m9（2）由于yabab，有x0，且x0，m0，得0m11mmx2x10100未涨价的营业额为ab，则适当涨价，且使营业额增加，1mmx210100【题4】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”ADDCCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，