2020届高考数学新坐标一轮资料 第5章 第27课 正弦定理和余弦定理

1、第27课正弦定理和余弦定理最新考纲内容要求ABC正弦定理、余弦定理及其应用1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容abcsinAsinBsinC2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsincosAbca；(2)abcsinAsinBsinC；cosB2ca(3)sinA2R，sinB2R，sinC2RcosCabc变形形式C；abc2222222bcc2a2b2；2ab(1)已知两角和任一边，求另一角和解决其他两条边；问题(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他

2、两角2.三角形常用面积公式1(1)S2aha(ha表示边a上的高)；111(2)S2absinC2acsinB2bcsinA.1(3)S2r(abc)(r为内切圆半径)1(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sinAsinB()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a43，b42，则B45或135.()aabc(4)在ABC中，sinAsinAsinBsinC.()解析(1)正确ABabsinAsinB.(2)错误由cos

3、Ab2c2a22bc0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA.(4)正确利用a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是_abc钝角三角形由正弦定理，得2RsinA，2RsinB，2RsinC，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cosCa2b2c22ab0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(2016全国卷改编eqoac(,)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已2知a5，c2，cosA3，则b_.23由余弦定理得5b242b23，1

4、解得b3或b3(舍去)eqoac(,4)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A6，a1，2b3，则B_.2ab323或3由正弦定理sinAsinB，代入可求得sinB2，故B3或B3.eqoac(,5)在ABC中，A60，AC4，BC2eqoac(,3)，则ABC的面积等于_b2c2a2c2161223由题意及余弦定理得cosA12bc24c2，解得c2，11所以S2bcsinA242sin6023.bsinBAC所以cosB1sin2B1利用正、余弦定理解三角形3在ABC中，BAC4，AB6，AC32，点D在BC边上，ADBD，求AD的长.【导学号：62172148】解设A

5、BC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC3(32)2622326cos41836(36)90，所以a310.310a310又由正弦定理得sinB10，由题设知0B4，31011010.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得3AD2sinBcosBcosB10.a2c2b2ABsinB6sinB3sin2B规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它

6、边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1(1)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sinBsinC)(a3c)sinA，则角B的大小为_(2)(2016全国卷eqoac(,)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA455，cosC13，a1，则b_.21abc(1)30(2)13(1)由正弦定理sinAsinBsinC及(bc)(sinBsinC)(a3c)sinA得(bc)(bc)(a3c)a，即b2c2a23ac，a2c2b2332acac.又cosB，cosB2，B30.45(2)

7、在ABC中，cosA5，cosC13，31235sinA5，sinC13，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC5134126351365.abasinB又sinAsinB，bsinA6316532113.5判断三角形的形状4(1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosAbcoseqoac(,B)，则ABC的形状为_1(2)(2017镇江期中eqoac(,)在ABC中，若cosA2，sinBsinC2sineqoac(,A)，则ABC的形状为_(1)等腰三角形或直角三角形(2)等边三角形(1)acosAbcosB，由正弦定理得sinAcosAsinBcos

8、B，即sin2Asin2B，2A2B或2A2B，即A2B或ABeqoac(,)，ABC为等腰三角形或直角三角形(2)sinBsinC2sinA，bc2a，1又cosA2，b2c2a212bc2，b2c2a2bc，又bc2a，则(bc)2a23bc3a2，bca2bc2，(bc)20，即bc，2bceqoac(,a)，ABC为等边三角形规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能B变式训练2(1)设角A，C

9、是ABC的三个内角，则“ABC”是“ABC是钝角三角形”的_条件5bc(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，若2sinAcosBsinC，那么ABC一定是_三角形.【导学号：62172148】(1)充分不必要(2)等腰(1)由ABC，AB2，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立(2)法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2ab2ab.a2c2b22acca2与三角形面积有关的问题已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinA

10、sinC.(1)若ab，求cosB；(2)设B90，且aeqoac(,2)，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cosBa2c2b212ac4.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca2.1所以ABC的面积为2221.规律方法三角形面积公式的应用方法：111(1)对于面积公式S2absinC2acsinB2bcsinA，一般是已知哪一个角就6使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3(2016全国卷eqoac(,)ABC的内角A，

11、B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；3(2)若ceqoac(,7)，ABC的面积为2eqoac(,3)，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，即2cosCsin(AB)sinC，故2sinCcosCsinC.1可得cosC2，所以C3.133(2)由已知得2absinC2.又C3，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcosC7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为57.7思想与方法ABC1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，2222中互补和互余的情况，结合

12、诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换eqoac(,3)在ABC中，ABabsinAsinB.易错与防范1已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解8在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为钝角A为锐角或直角图形bsinA关系式absinAababab解的一解两解一解一解个数2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解课时分层训练(二十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题eqoac(,1)在ABC中，a15，b10，A60，则cosB_.615

13、10333由正弦定理可得sinB，所以sinB3，再由ba，可得B为锐2角，所以cosB1sin2B63.2(2016天津高考改编eqoac(,)在ABC中，若AB13，BC3，C120，则AC_.1由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC，即13AC292AC3cos120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4舍去eqoac(,3)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2ab9eqoac(,3)，则ABC的面积为_a2b2c2131依题意得cosC2ab42，C60，因此ABC的面积等于2absin133C2324.4在ABC中，已知b40，c20，C6

14、0，则此三角形的解的情况是_(填“一解”“二解”“不存在”)不存在bsinc40sin60203，c20，bsincc，ABC不存在15(2016全国卷改编eqoac(,)在ABC中，B4，BC边上的高等于3BC，则sinA_.310a10过A作ADBC于D，设BCa，由已知得AD3.B4，AD33a2a2BD，BDAD3，DC3a，ACa2253eqoac(,a)，在ABC中，由正弦定理得sin45，6若acos(A)bsin2B0，内角A，B的对边分别为a，b，则三角等腰三角形或直角三角形因为acos(A)bsin2B0，5a3asinBAC310sinBAC10.形ABC的形状为_所以a

15、cosAbcosB0，所以sinAcosAsinBcosB0，所以sin2A10sin2B，所以AB或AB2，所以三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形eqoac(,7)已知ABC中，AB3，BC1，sinC3cosC，则ABC的面积为_.【导学号：62172149】32由sinC3cosC得tanC30，所以C3.BCAB13根据正弦定理可得sinAsinC，即sinA32，4x29x216x221所以sinA2.因为ABBC，所以AC，所以A6，所以B2，即三角形为直角三角形，13故eqoac(,S)ABC2312.8(2017镇江期中eqoac(,)在ABC中，如果sinAsinBs

16、inC234，那么tanC_.15sinAsinBsinCabc，abc234，设a2x，则b3x，c4x，122x3xcosC4.又c(0，)，sinc154，sinCtanCcosC15.339(2017盐城模拟eqoac(,)在锐角ABC中，AB2，BCeqoac(,3)，ABC的面积为2，则AC的长为_112cc11337eqoac(,S)ABC2ABBCsinB223sinB2，3sinB2.1又ABC为锐角三角形，故cosB2.在ABC中，由余弦定理得1AC249223cosB131227.AC7.10(2017苏州期中eqoac(,)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c

17、，若1tanA2tanB，a2b23c，则c_.sinA2sinB1tanA2tanB，cosAcosB，acosB2bcosA，a2c2b2b2c2a2，3a23b2c2，1又a2b23c，c2c0，即c1，或c0(舍去)二、解答题11(2017南通一模eqoac(,)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(abc)(abc)ab.(1)求角C的大小；(2)若c2acosB，b2，求ABC的面积.【导学号：62172150】a2b2c2解(1)在ABC中，由(abc)(abc)ab，得1212ab2，即cos2ac，1C2.2因为0C，所以C3.(2)法一：因为c2acosB，由

18、正弦定理，得sinC2sinAcosB，因为ABC，所以sinCsin(AB)，所以sin(AB)2sinAcosB，即sinAcosBcosAsinB0，即sin(AB)0，又3AB3，所以AB0，即AB，所以ab2.112所以ABC的面积为eqoac(,S)ABC2absinC222sin33.a2c2b2法二：由c2acosB及余弦定理，得c2a化简得ab，112所以，ABC的面积为eqoac(,S)ABC2absinC222sin33.12(2016苏北四市期末)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为31a，b，c，已知sinA5，tan(AB)2.(1)求tanB的值；(2)

19、若b5，求c.【导学号：62172151】解(1)在锐角三角形ABC中，由sinA3，得cosAsinA3所以tanAcosA4.541sin2A5，tanAtanB2，得tanB2.由tan(AB)1tanAtanB113因为2S(ab)2c2a2b2c22ab，则结合面积公式与余弦定255(2)在锐角三角形ABC中，由tanB2，得sinB5，cosB5，115所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB25，bcbsinC11由正弦定理sinBsinC，得csinB2.B组能力提升(建议用时：15分钟)eqoac(,1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A

20、BC的面积为S，且2S(ab)2c2，则tanC_.43理，得absinC2abcosC2ab，即sinC2cosC2，所以(sinC2cosC)24，sin2C4sinCcosC4cos2C4，sin2Ccos2Ctan2C4tanC4所以4，tan2C14解得tanC3或tanC0(舍去)2在ABC中，tan_AB122sinC，若AB1，则2ACBC的最大值为213AB因为tan22sinC，22ABsin所以2sinC，ABcos14ABAB2sin2cos2AB2cos222sinC，1cosC2sinC.3sin3A3sinAc，且满足2cosC.sinAB1cosAB2sinC.因为ABC，所以ABC，所以sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，所以sinC13又sin