因子分析数学模型学习教案

1、会计学1因子分析数学模型第一页，共38页。R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵(j zhn)表示因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵(j zhn)表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵(j zhn)表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学

2、模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表

3、示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因

4、子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用

5、矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析

6、Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型用矩阵表示R型因子分析 Q型因子分析R型因子分析的数学模型第1页/共37页第二页，共38页。简记(jin j)为且满足(mnz)第2页/共37页第三页，共38页。 为任一

7、个(y )m 阶的正交阵，上式仍满足约束条件因子分析每个相应的系数(xsh)不是唯一的，即因子载荷阵不是唯一的。通过模型 以F 代替X ，由于(yuy)mp,从而达到简化变量维数目的。因子分析的目的第3页/共37页第四页，共38页。正交因子(ynz)模型中各统计量的意义因子载荷的统计意义因子载荷aij 的统计意义是第i 个变量(binling)与第j 个公共因子的相关系数。用统计学术语叫权重，表示Xi 依赖Fj 的份量（比重）。第4页/共37页第五页，共38页。因子载荷(zi h)阵A中第i行元素的平方和，即称为变量Xi 的共同度。为了说明它的统计学意义，对Xi的表达式两边(lingbin)求

8、方差，即公共因子(ynz)方差剩余方差变量共同度的统计意义第5页/共37页第六页，共38页。因子(ynz)载荷阵A中各列元素的平方和记为表示(biosh)第j 个公共因子对所有分量的总影响，称为第j 个公共因子对X 的贡献，它是衡量第j 个因子相对重要性的指标公共因子Fj方差(fn ch)的统计意义第6页/共37页第七页，共38页。因子载荷(zi h)阵的估计方法主成分(chng fn)法 主因子法 极大似然法设样本(yngbn)的协差阵的特征值和对应的标准正交化特征向量分别为：则协差阵可分解为第7页/共37页第八页，共38页。当最后p-m个特征值较小时，协差阵可以(ky)近似的分解为A即为因

9、子(ynz)协方差阵。当X的协方差阵未知，可以用样本协方差阵S去代替。第8页/共37页第九页，共38页。因子(ynz)旋转不管用何种方法确定因子载荷矩阵A，它们都不是唯一的，我们可以由任意一组初始公共因子做线性组合，得到新的一组公共因子，使得新的公共因子彼此之间相互独立，同时也能很好的解释原始变量之间的相关关系。这样的线性组合可以找到无数组，这样就引出了因子旋转。因子旋转的目的是为了找到意义更为明确，实际意义更明显(mngxin)的公因子。因子旋转不改变变量共同度，只改变公因子的方差贡献。第9页/共37页第十页，共38页。因子旋转分为两种：正交旋转和斜交旋转特点：正交旋转：由因子载荷矩阵A左乘

10、一正交阵而得到，经过旋转后的新的公因子仍然(rngrn)保持彼此独立的性质。正交变化主要包括方差最大旋转法、四次最大正交旋转、平均正交旋转。斜交旋转：放弃了因子之间彼此独立这个限制，可达到更简洁的形式，实际意义也更容易解释。不论是正交旋转还是斜交旋转，都应该在因子旋转后，使每个因子上的载荷尽可能拉开距离，一部分趋近1，一部分趋近0，使各个因子的实际意义能更清楚地表现出来。第10页/共37页第十一页，共38页。 方差(fn ch)最大化正交旋转假设前提：公因子的解释能力能够(nnggu)以其因子载荷平方的方差来度量先考虑两个因子的平面正交旋转：对A按行计算(j sun)共同度，考虑到各个变量的共

11、同度之间的差异所造成的不平衡，需对A中的元素进行规格化处理，即每行的元素用每行的共同度除之。规格化后的矩阵，为方便仍记为A，施行方差最大正交旋转（C为正交阵）：假设前提：公因子的解释能力能够以其因子载荷平方的方差来度量先考虑两个因子的平面正交旋转：对A按行计算共同度，考虑到各个变量的共同度之间的差异所造成的不平衡，需对A中的元素进行规格化处理，即每行的元素用每行的共同度除之。规格化后的矩阵，为方便仍记为A，施行方差最大正交旋转（C为正交阵）：假设前提：公因子的解释能力能够以其因子载荷平方的方差来度量先考虑两个因子的平面正交旋转：对A按行计算共同度，考虑到各个变量的共同度之间的差异所造成的不平衡

12、，需对A中的元素进行规格化处理，即每行的元素用每行的共同度除之。规格化后的矩阵，为方便仍记为A，施行方差最大正交旋转（C为正交阵）：假设前提：公因子的解释能力能够以其因子载荷平方的方差来度量先考虑两个因子的平面正交旋转：对A按行计算共同度，考虑到各个变量的共同度之间的差异所造成的不平衡，需对A中的元素进行规格化处理，即每行的元素用每行的共同度除之。规格化后的矩阵，为方便仍记为A，施行方差最大正交旋转（C为正交阵）：假设前提：公因子的解释能力能够以其因子载荷平方的方差来度量先考虑两个因子的平面正交旋转：对A按行计算共同度，考虑到各个变量的共同度之间的差异所造成的不平衡，需对A中的元素进行规格化处

13、理，即每行的元素用每行的共同度除之。规格化后的矩阵，为方便仍记为A，施行方差最大正交旋转（C为正交阵）：第11页/共37页第十二页，共38页。目的：希望所得结果能使载荷矩阵的每一列元素的绝对值尽可能向1和0两极分化，即原始变量中一部分主要与第一因子(ynz)有关，另一部分主要与第二因子(ynz)有关，也就是要求（b112,bp12），（b122,bp22）这两组的方差尽量大。为此，正交旋转的角度必须满足使旋转后得到因子(ynz)载荷阵的总方差V1+V2=G达到最大。第12页/共37页第十三页，共38页。经过计算，其旋转角度(jiod)可按下面公式求得：第13页/共37页第十四页，共38页。第1

14、4页/共37页第十五页，共38页。推广到多个公共因子(ynz)的情况如果公共因子多于两个，我们可以逐次对每两个进行上述的旋转，设公共因子数m21.第一轮旋转，每次取两个，全部配对(pi du)旋转，变换共需进行m(m-1)/2次2.对第一轮旋转所得结果用上述方法继续进行旋转，得到第二轮旋转结果。每一次旋转后，矩阵各列平方的相对方差之和总会比上一次有所增加。3.当总方差的改变不大时，就可以停止旋转。第15页/共37页第十六页，共38页。因子(ynz)得分因子分析的数学模型是将变量表示为公共因子的线性组合。由于公共因子能反映原始变量的相关关系，用公共因子代表原始变量时，有时更有利于描述研究对象的特

15、征，因而往往(wngwng)需要反过来将公共因子表示成为变量的线性组合，即称上式为因子(ynz)得分函数。第16页/共37页第十七页，共38页。估计因子(ynz)得分函数的方法加权最小二乘法回归(hugu)法 回归(hugu)法是1939年由Thomson提出来的，所以又称为汤姆森回归(hugu)法。第17页/共37页第十八页，共38页。Thomson假设公共(gnggng)因子可以对p个变量做回归，由于假设变量及公共(gnggng)因子都已经标准化了，所以常数项为0.即回归方程为：第18页/共37页第十九页，共38页。 则，我们(w men)有如下的方程组：我们(w men)现在仅知道由样本

16、值可得因子载荷阵A,由因子载荷的意义知：第19页/共37页第二十页，共38页。j=1,2,m第20页/共37页第二十一页，共38页。于是(ysh)F=BX,就是估计因子得分的计算公式。,记为B.第21页/共37页第二十二页，共38页。在估计出公因子得分后，可以利用因子得分进行进一步的分析，如样本(yngbn)点之间的比较分析，对样本(yngbn)点的聚类分析等，当因子数m较少时，还可以方便地把各样本(yngbn)点在图上表示出来，直观地描述样本(yngbn)的分布情况，从而便于把研究工作引向深入。第22页/共37页第二十三页，共38页。因子分析的步骤(bzhu) 计算所选原始变量(binlin

17、g)的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量(binling)之间的相关关系。可以帮助判断原始变量(binling)之间是否存在相关关系，这对因子分析是非常重要的，因为如果所选变量(binling)之间无关系，做因子分析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。 选择分析的变量(binling)用定性分析和定量分析的方法选择变量(binling)，因子分析的前提条件是观测变量(binling)间有较强的相关性，因为如果变量(binling)之间无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以原始变量(binling)间应该有较强的相关性。第23页/共37页第二十四页，共38页。 提

18、取公共(gnggng)因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的设计方案或有关的经验或知识事先确定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大于1)的那些因子，因为方差小于1的因子其贡献可能很小；按照因子的累计方差贡献率来确定，一般认为要达到60才能符合要求。 因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解释,并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字。第24页/共37页第二十五页，共38页。 计算因子得分 求出各样本的因子得分，有了因子得分值，则可以(ky)在许多分析中使用这些因子，例如以因子的得分做聚类

19、分析的变量，做回归分析中的回归因子。第25页/共37页第二十六页，共38页。因子分析计算步骤(bzhu)与实例分析 对我国30个省市自治区的农业生产情况作因子分析。从农业生产条件和生产结果及效益出发，选取六项指标分别为：X1乡村劳动力人口（万人）、X2人均经营(jngyng)耕地面积（亩）、X3户均生产性固定资产原值（元）、X4家庭基本纯收入（元）、X5人均农业总产值（千元/人）、X6增加值占总产值比重（%）原始资料数据如下页表:第26页/共37页第二十七页，共38页。序号地 区X1X2X3X4X5X61北 京66.90.932972.413290.732.52549.72天 津80.21.6

20、44803.542871.621.77449.63河 北1621.82.034803.542871.810.8004544山 西635.42.762257.661499.140.55556.25内蒙古514.110.175834.941550.150.905166.46辽 宁605.12.963108.862059.351.475253.17吉 林534.24.734767.511940.461.115463.18黑龙江494.88.245573.022075.421.628357.89上 海661.021660.034571.813.044835.610江 苏1530.21.262826.8

21、62868.331.192150.611浙 江1123.10.945494.233289.070.856563.312安 徽1953.61.443573.621508.240.575659.213福 建775.80.822410.052295.191.149662.814江 西1103.21.32310.981804.930.664959.915山 东2475.11.443109.111989.530.88095516河 南2815.81.53782.261508.360.582358.517湖 北1296.51.62291.61754.130.879962.818湖 南2089.31.422

22、348.721719.180.58764.719广 东1439.80.883249.612928.241.09659.720广 西1579.91.433090.171590.90.569464.521海 南165.91.354454.771575.490.353565.222四 川3903.71.082870.451340.610.444364.123贵 州1376.61.182282.271206.250.289265.424云 南1642.22.424025.061096.730.345664.225西 藏88.62.5111559.831257.710.434970.426陕 西1046

23、.12.62228.551091.960.438359.727甘 肃6725.862879.361037.120.488357.228青 海137.12.626725.111133.060.409670.329宁 夏139.14.015607.971346.890.497362.530新 疆288.53.967438.131161.711.493957.8第27页/共37页第二十八页，共38页。第一步 将原始数据标准化第二步 建立(jinl)指标间的相关系数阵R：第28页/共37页第二十九页，共38页。第三步 求R的特征值和特征向量。序 号特征值贡献率累积贡献率（%）12.776546.275

24、646.275621.740929.016075.291730.711611.861287.152940.43347.224894.377850.23693.948498.326360.10041.6736100第29页/共37页第三十页，共38页。 由于前三个特征值累积贡献率已达87.15%，所以取前三个特征值所对应(duyng)的特征向量如下：u1u2u30.1460-0.6242-0.18540.16310.52700.75470.24210.52720.5369-0.54630.01530.2325-0.54550.2317-0.04220.54530.02250.2276第30页/共

25、37页第三十一页，共38页。 第四步 列出因子载荷(zi h)矩阵表。 因子指标a1a2a3X10.2433-0.8236-0.15640.7621X20.27180.69540.63660.9629X30.40350.69570.45290.8520X4-0.91030.02020.19610.8675X5-0.90890.3057-0.03560.9210X60.90860.02960.1920.8634第31页/共37页第三十二页，共38页。 第五步 对因子载荷阵实行方差最大正交旋转，旋转后的矩阵如下： 由上表可见(kjin)，每个因子只对应少数几个指标的因子载荷较大，因此可根据上表对指标进行分类。 因子指标F1F2F3X1-0.3793-0.725