《垂径定理》教学课件1

1、第三节 垂径定理北师大版九年级数学下册第三章 圆第1页，共23页。 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.定理回顾第2页，共23页。如图，完成下列各题：应用一下:（1） AOB ,AB .（2）AB ABAOB ， （3）AOB AB ， .第3页，共23页。 1.在纸上任意画一个O，以O的一条直径为轴，把O对折 (如图)，你发现了什么？ 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线（直径）.导入新课第4页，共23页。 2.在对折O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重

2、合的点 A、B (如图).把对折的圆摊平，那么折痕 CD 是直径，点 A、B 是关于直线 CD 的一对对称点.连接 AB，得弦 AB(如图)，这时直径 CD 与弦 AB有怎样的位置关系？CDABAMBM还有哪些等量关系？第5页，共23页。 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.该定理的题设是：垂直于弦的直径该定理的结论是：平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂径定理几何语言叙述定理：CD为O的直径，且CDAB，AMBM， ， . 第6页，共23页。 求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 已知，如图，AB是O的一条弦，CD 是O的一条直径，并且CDAB，垂足为M，求证：AMBM

3、， ， .第7页，共23页。CDAB，AM BM，AOC BOC， ，AOD 180 AOC， BOD 180 BOC， AOD BOD .证明：连接OA，OB， 则OA OB，第8页，共23页。 如图，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。想一想：第9页，共23页。 求证：平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 已知，如图，AB是O的一条弦，CD是O的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM， 求证：CDAB， ， .第10页，共23页。 A

4、M BM ， CDAB ， AOC BOC， ， AOD 180AOC， BOD 180 BOC， AOD BOD .证明：连接OA，OB， 则OA OB，第11页，共23页。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的逆定理几何语言叙述定理：AMBM，CD为O的直径，CDAB， ， .第12页，共23页。你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.第13页，共23页。例题讲解 如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即图中 ，点O是 所在圆的圆心）.其中CD 600m，E为 上一点，且OECD，垂足为F，EF 90m.求这段弯路的半径

5、.第14页，共23页。则：OF （R90）m，OECD，CF CD 600 300（m），在RtOCF中，由勾股定理得：OC2 CF2OF2，R2 3002（R90）2解得：R 545，这段弯路的半径为545m.解：连接OC，设弯路的半径为Rm，第15页，共23页。 1.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.练一练第16页，共23页。解：过拱桥所在圆的圆心O作AB的垂线，交 于点C，交AB于点D，则CD=7.2m，由垂径定理，得：AD AB 37.4 18

6、.7（m）设O的半径为Rm，在RtAOD中：AO R，OD R7.2，AD 18.7由勾股定理，得：AO2 OD2AD2，R2 (R7.2)218.72 解得：R27.9故桥拱所在圆的半径约为27.9m.第17页，共23页。 2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。（1）两条弦在圆心的同侧（2）两条弦在圆心的两侧第18页，共23页。1.两条弦在圆心的同侧证明：连接OA、OB、OC、OD，作直径MNAB，则MNCD，由垂径定理，得： ， ,AON BON，CON DONAONCON BON DON即 AOC BOD 第19页，共23页。2.两条弦在圆心的两侧证明：连接OA、OB、OC、OD，作直径MNAB，则MNCD，由垂径定理，得： ， ,AOMBOM，CONDONAOMAOC CON180 BOM BOD DON180 AOCBOD 圆的两条平行弦所夹的弧相等第20页，共23页。