数学物理方法快速学习资料及练习题

1、-.现代远程教育数学物理方法课程学习指导书作者：先林08年2月.-可修遍-.课程学习方法指导为便于学员尽快进入本课程的学习，下面将简要介绍本课程的性质及基本要求，并给出学习方法指导。一、课程的性质、目的和任务通过本课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，并能将数学结果联系物理实际，加深对物理理论的理解，为学习电动力学和量子力学等后继课程打下良好的基础。二、课程教学的基本要求通过本课程的教学,学员应达到下列基本要求:1.掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、了解残数及其在积分中的应用2.掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程3.初步学会

2、确定边界条件和初始条件4.熟练掌握分离变量法、达朗贝尔法、付里叶变换法和拉普拉斯变换法5.了解特殊函数的导出和意义三、学习方法建议学习本课程最基本的方法是课前预习，课后复习，多做习题。针对课前预习时存在的问题，通过上课时认真的学习，并尝试运用上课时所学容解决这些问题，或者通过课外指导书，仔细研究书中例题，在此过程中搞懂、会做课后习题，从而对课程容有进一步认识。此外，每章结束后，做好阶段性总结。还要制定学习计划，善于自主学习。学习中，既重视知识的记忆，也重视对知识的反思。此外，为方便大家自主学习，现将教材及参考书罗列如下：（一）教材：高等数学（第四册）大学高等教育（二）参考书：1、数学物理方法，

3、梁昆淼，高等教育，第三版2、数学物理方法教程，志旺，高等教育3、数学物理方法学习指导，端正，科学希望各位学员善于这些教参书，能取得一个良好的成绩。课程学习进度安排周次日期第一周第二周第三周第四周学习容（章节名称、学习的容提纲）第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章哥西定理哥西积分第四章解析函数的幂级数表示4.1函数项级数的基本性质4.2幂级数.-可修遍-.与解析函数4.3罗朗级数第五周第六周第七周第八周第九周第十周第十一周第十二周第十三周第十四周第十五周第十六周第十七周第十八周第四章解析函数的幂级数表示4.4单值函数的孤立奇点第五章残数及其应用5.1残数5.2利用残数计算实积分1-5章复习课

4、第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换7-14章复习课第十五章勒让德多项式球函15.1勒让德微分方程及勒让德多项式15.2勒让德多项式的母函数及其递推公式15.3按勒让德多项式展开第十五章勒让德多项式球函数15.4连带勒让德多项式15.5拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题第十六章贝塞耳函数柱函数15-16章复习课及总复习课课程学习课时分配章次第一章第二章第三章第四章第五章第七章第八章第九章第十章教学容复数与复变函数解析函数哥西定理哥西积分解析函数的幂级数表示残数及其应用一

5、维波动方程的付氏解热传导方程的付氏解拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解波动方程的达朗贝尔解学时444844444备注.-可修遍-.第十三章第十四章第十五章第十六章付里叶变换拉普拉斯变换勒让德多项式球函数贝塞耳函数柱函数4484第一章复数和复变函数一、章节学习目标1.熟练掌握复数的运算。2.掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确地求出复数的实部、虚部、模与辐角，了解共轭复数的性质。3.理解复数的几何意义。4.了解各种区域。5.理解复函的极限与连续。6.知道复函极限存在与连续的充要条件。二、章节重点本部分学习的主要容包括复数、复变函数的基本概念、复球面与无穷远点三个部分。掌握复数的几种表示方法

6、。分别为以下三种：1.复数的代数表示；2.复数的几何表示；3.复数的指数表示。其中复数的几何表示与指数表示可以使有关复数的运算简化，从而达到能够正确解题的要求。例如计算复数的乘幂及复数的方根时，运用复数的几何表示和指数表示就能快速计算出结果。对复数的运算规则也需掌握，需明确实数中的运算规则在复数中同样是适用的。本部分学习的主要容还包括复变函数的基本概念。其中所涉及复变函数的极限与连续问题，是首先要了解的。对于复函的极限定义与连续定义需要知道。并且需要知道复变函数极限存在与连续的充要条件，即函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点zxiy连续的充分000必要条件是二元实函数u(x,y),v(x

7、,y)于(x,y)连续。这是本章的重中之重，一定要掌握00它的定义、定理以及应用，对这一部分书本上的例题要会计算。三、章节考试大纲第一节复数复数域复平面复数的模与幅角复数的乘幂与方根第二节区域与约当曲线复变函数的概念复变函数的极限与连续性第三节复球面闭平面上的几个概念四、章节练习题（一）选择题1.z为复数，则（）。.-可修遍-.Alnz没有意义；Blnz为周期函数；CLnz为周期函数；Dln(z)lnz。2由对数函数的定义有（）。zLnzLnzALnz1212BLnz22LnzzDLnzLnz0CLnz12LnzLnz12（二）填空题1.复数1i的幅角为，模为。2函数w图形为。zR，将z平面的

8、图形；以原点为中心，R为半径的圆，变为w平面的第二章解析函数一、章节学习目标1理解复函的导数的概念、解析函数的概念。2掌握复变函数解析的充要条件，并能应用函数解析的充要条件判别函数的解析性和可导性。3了解解析函数与调和函数的关系；掌握从已知调和函数求出解析函数的方法。4了解指数函数、对数函数、三角函数、幂函数的定义和性质.二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括解析函数的概念及哥西黎曼条件、解析函数与调和函数的关系、初等解析函数三个部分。知道解析函数的概念，并且要深入掌握哥西黎曼条件，哥西黎曼条件是本章容的重要部分。哥西黎曼条件为下列公式uvuv,.xyyx，记为CR条件。知道CR条件后，对函

9、数可微的充分必要条件能更进一步了解。即函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点zxiy可微的充分必要条件是二元实函数u(x,y),v(x,y)于(x,y)可微并满足C00000R条件。这是本章的重点，要掌握它的定义、定理以及应用。掌握解析函数和调和函数之间的关系。知道任何一个在区域D上解析的函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。即满足条件.-可修遍-.0，2u2u2v2vx2y2x2y20。对已知实虚部，再求解函数的习题，或已知函数，虚部的题要掌握，要学会计算。对于初等解析函数部分，一些基本的解析函数，如幂函数zn，指数函数ez，三角函数sinz,cos

10、z,双曲函数sinhz,coshz,，等等。它们都可以看成是相应实变函数在复数域中的推广。要掌握如何将相应实变函数推广到复数域这些函数的解析性这些函数作为复变函数所特有的性质并且掌握初等多值函数的计算。三、章节考试大纲第一节导数的定义哥西黎曼条件解析函数的定义第二节共厄调和函数的求法共厄调和函数的几何意义第三节初等单值函数初等多值函数四、章节练习题（一）计算题1.已知u3x2yy3,f(i)1，求解析函数f(z)uiv。2.设z1，规定0arg(z1)2，求(2),(i),(0),(i)。第三章哥西定理哥西积分一、章节学习目标1.掌握复变函数积分的定义、基本性质及计算方法。2.记住并能熟练地运

11、用公式ldzzan2i,n10,n1。3.牢固地掌握哥西定理及其推广定理。4掌握哥西积分公式及其推广定理。5掌握解析函数的任意阶导数的存在性。6熟练地运用哥西积分公式和柯西导数公式计算复变函数的围道积分。7解析函数在平面场中的应用。二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括复变积分的概念及其简单性质、哥西积分及其推广、哥西积分.-可修遍-.公式及其推广、解析函数再平面场中的应用四个方面。会计算一般的积分，并且要掌握哥西积分定理，知道哥西定理的使用条件和围。若函数fz在单连通区域D上解析，C是D的任意一条分段光滑的围线，则cfzdz0。在运用哥西定理解题的时候，要分清积分路径所包含的围，注意函数f

12、z在区域D是否解析。只有当满足所有条件时，才能运用哥西定理。对于哥西定理的推广这一部分的容是一样的运用原理。此外，书本上例题5也是很重要的容，通过此例题的结论ldzzan2i,n10,n1也可求积分的值，是很重要的结论。因此需要将此结论深入理解并记住，并将书上例题掌握。d可以改写成cza对于哥西积分公式f(z)1f()2iczf(z)dz2if(a)这个公式表明，对于在某界闭域上解析的函数，它在区域一点的值可用它在边界上的值表示出来。这是解析函数的一个基本性质。借用此公式可以计算某些围线积分。对解析函数在平面场中的应用部分需要掌握复位势的定义概念，并会计算例题。三、章节考试大纲第一节哥西积分的

13、定义及其计算方法复变积分的简单性质第二节哥西积分定理不定积分哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式解析函数的无限次可微性模的最大值原理哥西不等式维尔定理摩勒纳定理第四节什么叫平面场复位势举例四、章节练习题（一）选择题1下列积分不为零的是（）。1z0.5zA；Bdz1z0.5z2dz；C1z0.5zdz；Dzz1dz21。（二）填空题1.z1dzz5。（三）计算题1.计算积分Rezdz，其中积分路径如右图示，c（1）C为连结O点到1i点的直线段.-可修遍-.（2）C为连结O点到1点再到1i点的折线2.计算0cosxexxdx.cz21，此处C是z2。3.计算积分Idz第四章解析函数的幂

14、级数表示一、章节学习目标1.了解在复数围级数及级数的收敛、发散、绝对收敛、一致收敛及有关性质，会使用收敛判据。2.正确确定幂级数的收敛半径，并了解幂级数的性质。3.掌握泰勒级数与解析函数的关系及泰勒展开的方法。4.掌握罗朗级数与奇点存在的关系。5.罗朗级数展开的方法。6.理解其收敛半径与孤立奇点的关系。7.孤立奇点的类型。8.精确地判断孤立奇点的类型，掌握其特点。二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括函数项级数的基本性质、幂级数与解析函数、罗朗级数、单值函数的孤立奇点四个方面。了解幂级数与解析函数的关系，知道解析函数可以表示成幂级数。根据解析函数的解析围，有两种展开方法可将解析函数表示成幂级

15、数。(一)泰勒定理在区域D解析,aD，只要圆K:zaR含于D，则fz在K能展成幂级设fzf(n)(a)f(z)c(za)n数，其中系数,n!nn0nc,n0,1,2,并且展式是唯一的，此展式称为是fz在a点的泰勒展式，这样确定的系数称为泰勒系数。可通过上述定理将一个解析函数展开成幂级数。泰勒展开总结：1、泰勒级数在解析圆域进行展开。2、展开式是唯一的，可用各种方法展开。.-可修遍-.3、展开式在其可展区域是收敛的。（二）罗朗定理在圆环H:rzaR(r0,R)的解析函数fz必可展成级数f(z)c(za)c12i(a)n1nnn其中nf()d,n0,1,2,称为罗朗系数,右边的级数称为罗朗级数。为

16、圆周arR，并且展式是唯一的,即及圆环H唯一地决定了系数n。fzc罗朗级数展开总结1、罗朗级数在孤立奇点的一个环域进行展开。2、展开式是唯一的，可用各种方法展开。3、展开式在其可展区域是收敛的。4、展开式一般是一个双边级数。上述两种方法都可以将解析函数展开为幂级数，但是有所差异，要明白两者之间的差异。能正确地判断孤立奇点的类型，掌握其特点。三、章节考试大纲第一节数项级数一致收敛的函数项级数第二节幂级数的敛散性解析函数的幂级数表示第三节双边幂级数的收敛圆环解析函数的罗朗展式罗朗展式举例第四节孤立奇点的三种类型可去奇点极点本性奇点解析函数在无穷远点的性质四、章节练习题（一）填空题1.ezn0znn

17、!的收敛区间为。z的奇点。resf1(1)nzn2.就奇点的类型而言，z是函数3.1zn0的收敛区间。fzcosz。1.将z25z6在上展成罗朗级数；（二）计算题1z22.将函数f(z)1在（1）z1（2）1z2展成罗朗级数。(z1)(z2).-可修遍-.第五章残数及其应用一、章节学习目标1.理解残数的概念，掌握残数的计算的方法。2.掌握残数定理，并能正确应用于计算复变函数的围道积分。3.了解无穷远点的残数的性质和定理。4.掌握利用残数计算实积分的一般方法，学会根据实际情况适当的选择辅助函数和积分围道来计算实定积分。二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括残数、利用残数计算实积分两个方面。对残

18、数的概念要理解，知道残数定理的具体容，并能掌握残数的计算方法。设fz以有限点a为孤立奇点，则在a点的某无心领域可以展成罗朗级数f(z)c(za)n,0zaR.我们称此展式中za的系数c1为fz在a点nn1f(z)dzf(z)dzz的残数(或留数)，记为Reasf(z)c1112ic故也可将2ic作为残数的定义。利用残数的定义可以直接求解残数。设fz在围线C所包围的区域D上除点aa,a1,2n外解析，并且在C上每一点也解析，f(z)dz2iResf(z)则cnk1zak。此即为残数定理，利用残数定理，可以求解一些难计算的积分。了解无穷远点的残数的性质和定理，知道无穷远点也可看作式函数的孤立奇点，

19、根据孤立奇点的性质来判断无穷远点的残数的性质和定理。掌握利用残数计算实积分的一般方法，学会根据实际情况适当的选择辅助函数和积分围道来计算实定积分。三、章节考试大纲第一节残数的性质和残数定理残数的求法无穷远点的残数Rcos,sind的计算第二节20f(x)dx的计算实轴上有奇点的类型其它例子四、章节练习题（一）填空题.-可修遍-.Res1.z0ezz2。2.函数z12ez21在z1处的残数为。3.函数fz1zz12在z0,1,处的留数分别为resf0，resf1，resf（二）计算题1.计算02d3cos；2.计算Isinxdxx24x5；第七章一维波动方程的付氏解一、章节学习目标1.掌握用数理

20、方程描绘研究物理问题的一般步骤。2.掌握一维波动方程的推导和建立方程的一般方法。3.能正确写出波动方程的定解问题和定解条件。4.掌握利用分离变量法求解齐次定解问题。5.掌握利用付里叶解法求解齐次定解问题。6.能够得出非齐次方程的解。二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括一维波动方程弦振动方程的建立、齐次方程混合问题的付里叶解法、强迫振动非齐次方程的求解三个方面。对一维波动方程的建立这一部分，需要掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步骤。一般有如下四个步骤：1.实例2.弦的数学物理模型3.振动方程的建立4.定解条件的提出利用上面四个步骤即可根据实例导出一维波动方程。能正确写出波动方程的定解问题

21、和定解条件。对于一个实际问题，不仅要学会如何由现象看到本质，列出方程，而且还要根据实例中的条件，写出波动方程的定解问题和定解条件。掌握分离变量法的步骤，并利用分离变量法求解齐次及非齐次方程的定解问题。.-可修遍-.分离变量法分为以下四个步骤：（一）分离变量（二）求解关于X(x)的特征值，再解T(t)，然后利用叠加原理作无穷级数T(t)X(x)nn（三）由初始条件确定上述无穷级数的待定系数k0三、章节考试大纲第一节、弦振动方程的建立定解条件的提出第二节、利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题付氏解的物理意义四、章节练习题（一）选择题1.下列方程是波动方程的是（）。Aa2uuttxxf；But

22、a2uxxf；Ca2u；Duutxxtta2ux。2.用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（）A分离变量解单变量本征值问题得单变量解得分离变量解；B分离变量得单变量解解单变量本征值问题得分离变量解；C解单变量本征值问题得单变量解分离变量得分离变量解；D解单变量本征值问题分离变量得单变量解得分离变量解。3.定解问题utta2uxx(-x,t0)ux,00,utx,01的解为（）。A2tBt2CtDt14.2弹性杆原长为l，一端固定，另一端被拉离平衡位置b而静止，放手任其振。动，将其平衡位置选在x轴上，则其定解条件可写作以下三种情况的哪一种（）AUx00，Ut0lb;B.UUx0t00,

23、0,UxlUtt0lb(x);.-可修遍-xxl0tt00;Ux,Uy(0)0-.U0,Ux0bC.t0l（二）填空题1.一维波动方程的齐次边界条件为。2.波动方程的付里叶解中频率最低的项称为，振动最强的位置称为。yy0y(a)03.本征方程的本征值为。ua2uu(x,0)sin,u(x,0)sinll1.求解定解解问题（三）计算题ttxxu(0,t)0,u(l,t)0 xxt(t0)(0 xl)2.29长为l两端固定的弦，弦中力为T。在xx0处受到一横向力F作用后开始振动，求解该振动问题。第八章热传导方程的付氏解一、章节学习目标1.能建立热传导方程2.理解其初始条件与边界条件3.求混合问题的

24、付氏解4.初值问题的付氏解法5.一端由界的热传导问题二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括热传导方程和扩散方程的建立、混合问题的付里叶解法、初值问题的付氏解法、一端有界的热传导问题四个方面。能够由实例建立热传导方程。能理解其初始条件与边界条件。复习用分离变量法解混合问题了解热传导方程的初值问题以及掌握其付氏解法。tux,0 xua2u对于无边界热传导方程的初值问题：xxx,t0 x，其中x为一已知函数。如果方程描述一个热传导方程，则此初值问题表示：已知一个无限长的细杆在初始时刻的温度分布，而求其以后的温度分布。.-可修遍-.掌握分离变量法求解定解问题。对一端有界的热传导问题需要会解其定解问题

25、。三、章节考试大纲第一节、热传导方程的建立扩散方程的建立定解条件第二节、混合问题的付氏解法第三节、付氏积分利用付氏积分解热传导方程的初值问题付氏解的物理意义第四节、定解问题的解举例四、章节练习题（一）填空题热传导方程的齐次初值条件为。第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解一、章节学习目标1.二维拉氏方程直角坐标与极坐标之间的关系.2.理解其狄利克雷问题.3.求狄利克雷问题的付氏解4.理解函数的定义.5.掌握函数的性质.6.证明弱收敛序列的弱极限二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括圆的狄利克雷问题、函数两个方面。知道二维拉氏方程直角坐标与极坐标之间的关系。二维的拉普拉斯方程在直角坐标下

26、的表示为xx，在极坐标下的表示为，根据上两式可知二维拉uu0yy11uuu0rruuu00rl,02rrul,f02氏方程的两种不同表示之间的关系。理解其狄利克雷问题。对边值问题11rrr2其中f为已知函数，并有f2f。上述边值问题，习惯上称为圆的狄利克雷问题。求狄利克雷问题的付氏解。仍然是用分离变量法进行，要注意与前面分离变量法的不同。.-可修遍-.理解函数的定义，掌握函数的性质。函数是指具有以下性质的函数:（1）.x0,x0,x0。（2）.xdx1。（3）.函数的量纲x1x。知道什么是弱收敛序列的弱极限，并且会证明。三、章节考试大纲第一节、定解问题的提法定解问题的付氏解法第二节、函数的引入

27、函数的性质把函数看作是弱收敛序列的弱极限高维空间中的函数及函数的其它性质四、章节练习题（一）选择题1.二维拉普拉斯方程的定解问题是（）。A哥西问题；B狄拉克问题；n趋于某值aC混合问题；D狄里克雷问题。2.一函数序列的序参量时有(x)f(n,x)dx(x)f(x)dx则我们称（）。naAf(n,x)收敛于f(x)；Bf(n,x)绝对收敛于f(x)；Cf(n,x)弱收敛于f(x)；Df(n,x)条件收敛于f(x)。3.下列函数f(x)不是函数的是（）Af(x)1eixdx2Bf(x)extdt0Cf(x)0 x0 x0Df(x)dx1.-可修遍-a0-.（二）填空题写出三维直坐标下的拉普拉斯方程

28、。（三）计算题弱12a2x(x)a4x41.证明；u22.求解定解解问题11uu0(0a,02)u(a,)Asin第十章波动方程的达朗贝尔解一、章节学习目标1.会导出并记住波动方程的通解。2.掌握达朗贝尔公式的应用3.理解达氏解的意义.4.了解三维波动方程的初值条件及其泊松公式.二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法、高维波动方程两个方面。会导出并记住波动方程的通解。xatd掌握达朗贝尔公式的应用。ux,txatxat212axat的形式.方程的解表示成fxat这个式子称为达朗贝尔公式或者达朗贝尔解，简称达氏解。达朗贝尔解法的思路容易理解，先求出通解，然后从中

29、挑选特解。理解达氏解的意义.自由弦振动方程的解,总可以写成ux,tfxatfxat121的形式时,振动的波形是以常速度a向右传播,fxat1所描述的振动规律,称为右传播规律或正形波。同样fxat2所描述的振动规律,称为左传播波或逆行波。了解三维波动方程的初值条件及其泊松公式.三维波动方程的初值问题：.-可修遍-tt-.ua2ua2uuux,y,z,t0 xxyyzzux,y,z,0 x,y,zx,y,zutx,y,z,0 x,y,zx,y,z其中x,y,z,x,y,z为已知函数。uM,tux,y,z,t,ds,dstt4a2t220014a2t2200其泊松公式为t4,d,dt2t004200

30、tt三、章节考试大纲第一节、达朗贝尔解的推出达朗贝尔解的物理意义举例依赖区间决定区域和影响区域第二节、三维波动方程的初值问题降维法四、章节练习题（一）计算题ua2ux,t0 xxux,0sinxxux,0 x21.求解tx。xxux,0 xu2u3u0 xyyyux,0sinx2求解y第十三章付里叶变换一、章节学习目标1理解付氏变换的意义2能求其付里叶变换3理解函数的付里叶变换4.掌握付里叶变换的应用5.了解基本解的物理意义6.知道基本解的定义.-可修遍-.二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括付氏变换的定义及其基本性质、用付氏变换解数理方程举例。基本解三个方面的容。理解付氏变换的意义。定义

31、F()1f(x)dx,f(x)eixF()eixd.其逆变换为2。F称为fx的付里叶变换或象,而fx称为F的逆付氏变换或原象。利用付氏变换的定义可以求得函数的付氏变换或逆变换。理解函数的付里叶变换。函数的付里叶变换Fxxeixdxeixx01会利用付里叶变换的性质求某些函数的付里叶变换。了解基本解的物理意义。知道基本解的定义函数1r1(x)2(y)2(z)2代表单位点电荷所产生的电位，除(,)这一个点之外，它处处满足拉普拉斯方程uuuu0 xxyyzz。而u(x,y,z)D(,)ddd(x)2(y)2(z)2则代表区域D中密度为1(x,y,z)的电荷所产生的电位，它满足泊松方程u4。由此可见，

32、函数在r求解拉普拉斯方程和泊松方程时起了很重要的作用，人们把它称为三维拉普拉斯方程或泊松方程的基本解。三、章节考试大纲第一节、付氏变换的定义付氏变换的基本性质n维付氏变换函数的付氏变换第二节、用付氏变换解数理方程举例第三节、基本解的物理意义基本解的定义非定常型非齐次方程的基本解四、章节练习题（一）计算题tua2uxxu(x,0)(x)(x,t0)(x)1.求解热传导方程的哥西问题.2求(xa)（a是常数）的付里叶变换；.-可修遍-.第十四章拉普拉斯变换一、章节学习目标1.理解拉氏变换的意义2.能用拉普拉斯求变换3.拉普拉斯变换的性质4.掌握运用拉普拉斯变换解数学物理方程。二、章节重点、要点本部

33、分学习的主要容包括拉氏变换的定义和它的逆变换、拉氏变换的基本性质及其应用举例、展开定理三个方面的容。付氏变换在信号处理领域有重要的应用，但其应用围却受到限制，它既要求函数在整个实轴上有定义，又要求函数满足狄氏条件，这对于以时间为指数增长的函数无能为力。能否找一个既类似于付氏变换，又能克服以上困难的一种变换？故有了拉普拉斯变换。拉普拉斯变换和付氏变换之间有差异，主要是原象和象之间的关系。原象：付氏变换的原象函数的自变量一般为空间坐标，拉氏变换的原象函数的自变量一般为时间。象：付氏变换的象函数是一以实变量的复函，拉氏变换的象函数是以一复变量pi的复函。要熟练掌握拉普拉斯变换的定义，会根据定义计算拉

34、氏变换和逆拉氏变换。掌握运用拉普拉斯变换解数学物理方程。对拉普拉斯变换的运用需要将书上例题弄懂，会做题。首先掌握课本例题1-5，再利用例1-5题结论和性质直接进行计算。三、章节考试大纲第一节、付氏变换与拉氏变换拉氏变换的定义拉氏变换的存在定理和反演定理第二节、拉氏变换的基本性质及其应用举例第三节、展开定理用反演公式解数理方程举例四、章节练习题（一）计算题1.求test（s是常数）的拉普拉斯变推换。p2求p22p5的逆拉普拉斯变推换。第十五章勒让德多项式球函数.-可修遍-勒氏多项式的另一种表示法,即所谓的洛德利格公式。2iC2n(z)n1勒氏多项式的施列夫利积分表达式，或简称为施氏积分.-.一、

35、章节学习目标1了解勒让德方程推出过程2.知道勒让德多项式的定义3记住勒让德多项式的微分式和积分式。4.掌握勒让德多项式的各项性质如递推公式、母函数关系、正交归一性、展开定理及其运用。5掌握连带勒让德多项式、球函数的定义及它们的正交归一和展开定理。6.掌握u0在球坐标系中的分离变量的解，并用之于具体的物理问题。二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括勒让德微分方程及勒让德多项式、勒让德多项式的母函数及其递推公式、按勒让德多项式展开、连带勒让德多项式和拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题五个方面的容。记住勒让德多项式的定义。记住勒让德多项式的微分式和积分式。1dnP(x)(x21)n.n1(21

36、)nP(z)dn掌握勒让德多项式的各项性质如递推公式、母函数关系、正交归一性、展开定理及其运用。把G(x,z)112xzz2(或者1/r)称为勒让德多项式的母函数勒氏多项式序列,P(x),在区间-1,1上正交,即递推公式(2n1)xP(x)nP(x)(n1)P(x)nn1n1P(x)xP(x)nP(x),n1nnnP(x)xP(x)P(x),n1n1nn1,2,3,.P(x),P(x),01n11P(x)P(x)dx0m,n0,1,2,.(mn),mn2n11勒让德多项式的归一性1P2(x)dx2,n0,1,2,n掌握连带勒让德多项式、球函数的定义及它们的正交归一和展开定理。掌握u0在球坐标系

37、中的分离变量的解，并用之于具体的物理问题。.-可修遍-.三、章节考试大纲第一节、勒让德微分方程的导出幂级数解好勒让德多项式的定义勒让德多形式的微分表达式洛德利格公式勒让德多项式的施列夫积分表达式第二节、勒让德多项式的母函数勒让德多项式的递推公式第三节、勒让德多项式的正交性勒让德多项式的归一性展开定理的叙述第四节、连带勒让德多项式的定义连带勒让德多项式的正交性和归一性第五节、利用连带勒让德多项式Pn(x)得出方程(15.1)的解(15.1)和(15.2)的解m确定出定解问题四、章节练习题（一）计算题一个半径为a的球壳上的电势分布为usin2，试计算ra与ra两区域的电势分布。其0中u为常数。0第

38、十六章贝塞尔函数柱函数一、章节学习目标1.柱面问题定解条件2.阶贝塞耳微分方程的形式3.贝塞耳函数前两项的表达式4.理解塞耳函数的母函数及其递推公式5掌握贝塞耳函数的母函数、主要递推公式、正交性、展开定理及其应用。6.掌握u0在柱坐标系中的分离变量的解，并用之于具体的物理问题。二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括贝赛耳微分方程及贝赛耳函数、贝赛耳函数的母函数及其递推公式、按贝赛耳函数展开、第二类和第三类贝赛耳函数、变形（或虚变量）贝赛耳函数和贝赛耳函数的渐近公式五个方面的容。了解柱面问题定解条件ttua2(uu)0 x2y2l2,t0 xxyyut016.2x2y2l2016.1(0 x2

39、y2l2),u(x,y,0)(x,y),u(x,y,0)(x,y)t16.3其中l为已知正数,和为已知函数.这个定解问题因与z坐标无关,故又称为柱面问题.-可修遍-.了解阶贝塞耳微分方程的形式v20,16.10r2RrR(k2r2v2)R0,16.11R(l)0.16.12dx16.13d2ydy2xx(x2y2)y0,dx2方程(16.11)和(16.13)都称为v阶贝塞耳微分方程。掌握贝塞耳函数前两项的表达式xv(1)kx2kJ(x),2k!(vk1)2vk0称为v阶贝塞耳函数.(16.19)J(x)12(2!)22(3!)220 x21x41x6,J(x)22!22!3!21x1x31x

40、5.掌握贝塞耳函数的母函数、主要递推公式、正交性、展开定理及其应用。贝塞耳函数的母函数G(x,z)e贝塞耳函数的递推公式x1(z)2zddxxvJv(x)xvJv1(x).ddxxvJv(x)xvJv1(x).vJ(x)xJ(x)xJvvv1(x),vJ(x)xJ(x)xJvvv1(x).u0在柱坐标系中的分离变量的解，并用之于具体的物理问题。三、章节考试大纲第一节、贝赛耳微分方程的导出幂级数解和贝赛耳函数的定义第二节、贝赛耳函数的母函数贝赛耳函数的积分表达式贝赛耳函数的递推公式半奇数阶贝塞尔函数第三节、贝赛耳函数的零点贝赛耳函数的正交性贝赛耳函数的归一性展开定理的叙述圆膜振动问题四、章节练习

41、题（一）计算题.-可修遍-uu，求柱体稳定的温度分布。-.一个半径为a高为h的圆柱体，下底和侧面保持温度为零度，上底的温度分布为0考试样题（2套）数学物理方法试卷A卷得分评卷人一、选择题（每小题2分，共10分）1.复变函数在奇点展开时没有主要部分，奇点是何种类型A本性奇点B非孤立奇点2由对数函数的定义有C可去奇点D极点。AzLnzLnzLnz1212BLnz22LnzzDLnzLnz0CLnz12LnzLnz123.下列方程是波动方程的是Aa2uuttxxf；Bua2uftxx；Cuta2uxx；Dutta2ux。4用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是A分离变量解单变量本征值问题得单

42、变量解得分离变量解；B分离变量得单变量解解单变量本征值问题得分离变量解；C解单变量本征值问题得单变量解分离变量得分离变量解；D解单变量本征值问题分离变量得单变量解得分离变量解。5一函数序列的序参量n趋于某值a时有na(x)f(n,x)dx(x)f(x)dx则我们称Af(n,x)收敛于f(x)；Bf(n,x)绝对收敛于f(x)；Cf(n,x)弱收敛于f(x)；Df(n,x)条件收敛于f(x)。得分模为。评卷人二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）1.复数1i的幅角为，.-可修遍-.2.就奇点的类型而言，z是函数fzcoszz的奇点。resf。13一维波动方程的齐次边界条件为。

43、4热传导方程的齐次初值条件为5已知P(x)1,P(x)x,则P(x)0126勒让德多项式P(x)的模Nll71P(x)P(x)dx51102得分评卷人三、简答题（每小题10分，共40分。）1.计算积分Rezdz，其中积分路径如下图示，c（1）C为连结O点到1i点的直线段（2）C为连结O点到1点再到1i点的折线cz21，此处C是z2。2.计算积分Idz3.将函数f(z)1(z1)(z2)在（1）z1（2）1z2展成罗朗级数。ttu(x,0)x,u(x,0)0,0 xl4.求(xa)（a是常数）的付里叶变换；得分评卷人四、计算题（每小题15分，共30分。）1.利用付里叶级数法求解定解问题u(x,t

44、)a2u(x,t),0 xl,t0 xxu(0,t)0,u(l,t)0,t0t2.半径为a的球壳上电势分布为usin2，u为常数，试计算球壳的电势00分布。数学物理方法试卷A卷答案一、选择题（每小题2分，共10分）1.C2.C3.A4.A5.C二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）.-可修遍-.42k,k0,1,21.;2;2.本性奇点;resf1;P(x)dx;2;7.0;15.(3x21);6.22Rezdzt(1i)dt1iRezdzRezdzRezdztdtidt1i2以为半径作两个圆周C,C，将上述2cz21c2z21。3.(0)0,(l)0；4.u(x,0)(x

45、)(0 xl)1121l2l1三、简答题（每一小题10分，共40分。）1.解：（1）C可表为z(1i)t,0t1故Rezt，dz(1i)dt。1c02（2）C分为两段为：C:zt.0t1，1C:z1ti.0t1211cC1C2002.解：在圆z2，函数1除z21z1外均为解析。今以z1为中心112定理应用于复围线CCC即得12dzdzdzc1z21;2iiz212c1z1c1z12又c1dz1dzdz12ii，最后可得212c2z1c2z12c2zdz1dzdz1cz21c2z21ii03.解：（1）在z1，f(z)dzdzdzc1z21111z2z11z1z2(1)2.-可修遍-.z1znn

46、0n22nn0(11)zn2n1n0z2111zz21（2）在1z2，f(z)11z11121z1zn1122zznn0n0u(x,0)x,u(x,0)0,0 xl，（3）根据（2）式可得u(x,t)T(t)sinnx（,4）llll（5）lDsin4.解：F()(xa)eixdxeia,四、计算题（每小题15分，共30分。）u(x,t)a2u(x,t),0 xl,t0（1）ttxx1解：u(0,t)0,u(l,t)0,t0，（2）tnn1将（4）代入（1）得：T(t)(na)2T(t)sinnx0,nnn1natnatT(t)Ccos,nnn将（5）代入（4）得：u(x,t)Ccosl（6）

47、natnlDnsinn1由（3）和（6）得：natlsinnx,lln1Csinnxx,nn1nalDsinnx0,nn,D0（7）2lnx2(1)n1lldxl0故Cnnxsin,u(x,t)2l(1)n1n1cos2u(r,)0,ra,0（1）,u(a,)u0sin2,0（2）,将（7）代入（6）中得：natnxlsinl02.解：当ra时，该问题可化为如下定解问题limu(r,)有限值，（3）r0满足（1）（3）式的解的普遍形式是：.-可修遍-u(r,)ArlP(cos)（4）,由（2）（4）得：u(a,)AalP(cos)usin2（5）,-.lll0ll0l0usin2u(1cos2

48、)u(1x2)000又因为uP(x)P(x)P(x)20032130uP(x)P(x)0332220故比较（5）式两边系数可得：30u,A0,当l0,2时。（6）3a20A2u,A022l将（6）代入（4）得：33a20u(r,)22uP(cos)ur2P(cos)0022r230au1P(cos)2数学物理方法试卷B卷得分评卷人一、选择题（每小题2分，共10分）1.复变函数在奇点展开时没有主要部分，奇点是何种奇点A本性奇点B非孤立奇点2下列积分不为零的是C可去奇点D极点。A1z0.5zdz；B1z0.5z2dz；C1z0.5zdz；Dz1dzz21。3二维拉普拉斯方程的定解问题是A哥西问题；

49、B狄拉克问题；C混合问题；D狄里克雷问题。4下列表述中不正确的是sinzAz3在z0处是二阶极点；B某复变函数在开复平面有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；.-可修遍-.D某复变函数在某处为m阶极点，则其倒函数在该奇点处为m阶零点。zz2z315级数1!2!3!znn!的收敛半径为AB0C1Dn1!n!。得分评卷人二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）1.已知函数f(z)x33xy2i(3x2yy3)，则f(z)的实部是2.就奇点的类型而言，z0为zsin2z的则zn为zsin2z的在z0处的残数为则积分3.coszcoszz

50、3z1z3dz12.计算积分dz(C:z2)。4.已知P(x)1,P(x)x,则P(x)0125.勒让德多项式P(x)的模Nll6.写出三维直角坐标系下的拉普拉斯方程7.1P(x)P(x)dx51102得分评卷人三、简答题（每一小题10分，共40分。）1.已知u3x2yy3,f(i)1，求解析函数f(z)uiv。2z2z1c(z1)23.将函数f(z)1在（1）z1（2）1z2展成罗朗级数。(z1)(z2)4.求下列函数的拉普拉斯变换（1）.sint（2）.cost得分评卷人四、计算题（每一小题15分，共30分。）1.利用分离变量法求解定解问题.-可修遍-u(x,0)usin,u(x,0)0,

51、0 xll-.ua2u,0 xl,t0ttxxu(0,t)0,u(l,t)0,t03x0t2.半径为a的球壳，球壳上电势保持usin2cos2，u为常数，试求球壳00的电势分布。0,01（Y1,0481,13,Ysinei,Y1,134cos,Y38sinei2,2152,1sincosei,Y2,0(cos21)155Ysin2ei2,Y328162,12,2Y158sincosei,Y1532sin2ei2,）数学物理方法试卷B卷答案一、选择题（每小题2分，共10分）1.C2.C3.D4.C5.A二、填空题（将正确答案写在横线上，每一空2分，共20分。）1.f(z)x33xy2)；2.一阶

52、极点；二阶极点；3.11；i；4.(3x21)22;2uuu05.1P(1l2x)dx12;2l1；6.xxyyzz;7.0;1.解：因u6xy,3x23y2，又因6xy故v3xy2(x)。v三、简答题（每一小题10分，共40分。）uvuxyyxu3y2(x)3y23x2xy(x)3x2，故(x)x3cv(x,y)3xy2x3cf(z)uiv3x2yy3i(3xy2x3c)又f(i)1,zi，即，x0,y1.-可修遍-.f(i)(uiv)zi1ic1，c=0f(z)3x2yy3i(3xy2x3)2ic(z)(n1)d可知2.解：根据解析函数的无限次可微性，f(n)(z)n!f()(z1)2dz

53、2if(z)2i(2z2z1)2i*36i2z2z1cz23.解：（1）在z1，f(z)11z111z1z2(1)2z2n(11znn0n2n0n012n1)znz21z1zn（2）在1z2，f(z)11122zznn0n01z111112z12(1z)LeitLeit2i4.解：（1）LsintL2ieiteit12ipi111pip22LeitLeit2（2）LcostL212pipiua2u,0 xl,t0，（1）l,u(x,0)0,0 xl，（3）u(x,0)usineiteit111pp22四、计算题（每一小题15分，共30分。）ttxx1.解：u(0,t)0,u(l,t)0,t0，

54、（2）3x0t令u(x,t)X(x)T(t)分别代入（1）（2）中得：.-可修遍-T(t)a2T(t)0，（5）X(0)0,X(l)0，（6）l，（8）-.X(x)X(x)0，（4）（4）（6）构成本征值问题，其本征值为n,n1,2,3，（7）l本征函数为X(x)sinnxnlBsinl，（9）将（7）代入（5）得：T(t)Acosnatnnnnatu(x,t)Acosl，（10）n1nnatnatnxlBnsinlsinAsinu(x,0)naBsinll由（10）和（3）得：u(x,0)nxtnn1n10,nnxlu0sin3xl,将A,B代入（10）得：u(x,t)ucos比较系数得Au

55、,A0,当n3时30nB0,n1,2,nnn03at3xlsinl2u(r,)0,ra,0,02（1）u(a,)u0sin2cos2，2（2）limu(r,)有限值，2（3）2.解：该问题可化为定解问题00r0满足（1）（3）的解的一般形式u(r,)ArlY(,),(4)lmlmlm由（2）（4）得.-可修遍-220-.u(a,)AalY(,)usin2cos2lmlm0lm1usin2ei21usin2ei2015Y(,)uu802,20815Y2,2(,)比较两边系数得,Aua215,A0,l2,m2时（5）A22u0a28152,20lm8u(r,)u8r215a将（5）代入（4）得Y(

56、,)Y0222,2(,)章节练习题答案第一章练习题答案（一）选择题1.B2.C（二）填空题1.4，2；2.以原点为中心的单位圆：z1第二章练习题答案（一）计算1.解：因u6xy,u3x23y2，又因vu6xyxyyxx3y2(x)故v3xy2(x)。vuy3y23x2(x)3x2，故(x)x3cv(x,y)3xy2x3cf(z)uiv3x2yy3i(3xy2x3c)又f(i)1,zi，即，x0,y1f(i)(uiv)zi1ic1，c=02.解：arg12arg(z1),因为0arg(z1)2，所以.-可修遍-.arg(z1)0,(2)1,arg(z1)ziz23,(i)42e3i/8,4arg

57、(z1),(0)ei/2i,arg(z1)ziz05,(i)42e5i/8.4Rezdzt(1i)dt1iRezdzRezdzRezdztdtidt1i2fzlimfzlimlimi1第三章练习题答案（一）选择题1.C（二）填空题1.0（三）计算题1.解：（1）C可表为z(1i)t,0t1故Rezt，dz(1i)dt。1c02（2）C分为两段为：C:zt.0t1，1C:z1ti.0t1211cC1C200eizezz2.解：考虑函数的积分。因为eizezieizezz0z0z0z1所以z0为可去奇点，则有dxR0eixex2eiReieRei0 xReidRei0Rexeixixdix010e

58、xeixdixRexeixdxRix0 xR0cosxexisinxxdx2ReixexdxRcosxexisinxdx0 x0 x3.-可修遍-.20eiReieReidReieiRcosisineRcosisinRei2eRsineRcos2R042分故当R时将（2）（4）诸式一并代入（1）式有20cosxexxdx0所以0cosxexxdx0以为半径作两个圆周C,C，将上述2cz21c2z21。3.解：在圆z2，函数1除z21z1外均为解析。今以z1为中心112定理应用于复围线CCC即得12dzdzdzc1z212iiz212c1z1c1z12又c1dz1dzdz12ii，最后可得z21

59、2c2z1c2z12c2dz1dzdz1cz21c2z21ii0dzdzdzc1z21第四章练习题答案（一）填空题1.全平面；2.本性奇点；resf13.z1（二）计算题1.解：z2.-可修遍-1-.1z25z61z3z21131z1()12.解：（1）在z1，f(z)11z3322n0n011321zznzn2()1z2z111z2(1)2z1znn22nn0n0(11)zn2n1n0（2）在1z2，f(z)1z2z11z21111112z1z1zn1122zznn0n0d124Res第五章练习题答案（一）填空题1.1；2.2e；3.1，-1，0；（二）计算题1.解203cosdzz1zz1

60、iz322dziz1z26z1dziz1(z322)(z322)1z322(z322)(z322)22.-可修遍-.2解：对照公式知，此处fz1,p1z24z5，奇点为z2i，且当z时fz0，故有dx2iresf2iei2i2ixeixeiz|24x52z4z2ie12i2icos1isin12ieI从而有xsinxdxsin124x5e第七章练习题答案（一）选择题1.A；2.A；3.C；（二）填空题1.(0)0,(l)02.谐波，波腹；3.n22a2（三）计算题1.解：所求问题是波动方程的混合问题，其付氏解为：u(x,t)(acoslll其中，n1nnananxtbsint)sinna()s