中级微观经济学4效用

1、中级微观经济学4效用本章要点效用函数 边际效用边际替代率关键词：效用函数8/20/20222本章要求判断效用函数的单调变换。认识常见几种偏好的效用函数：完全替代偏好、完全互补偏好、拟线形偏好、柯布道格拉斯偏好。效用函数，画出无差异曲线。效用函数，计算边际效用和边际替代率。8/20/20223效用现代消费理论使用偏好的概念来研究消费者的行为，而效用是描述消费者偏好的一种方法。8/20/20224 人类行为偏好 无差异曲线效用函数8/20/20225消费者的偏好有两种描述方法，一种是无差异曲线几何方法，另一种是效用函数数学方法。在现代经济学中，效用和效用函数仅仅被看作是描述偏好的一种数学方法。8/

2、20/20226关于效用的不同观点基数效用论：用绝对值来度量效用。序数效用论：关注于数值的相对排序关系。8/20/20227基数效用19世纪末、20世纪初，西方经济学家普遍使用基数效用的概念。基数：1，2，3，不仅可以进展比较，还可以进展加总、求和等数学运算。8/20/20228基数效用的缺陷主观价值的测量难题“我们之所以利用数字，无非要使一种说明起来比较困难、而又是历来缺乏研究的心理领域中的现象，能更容易地被加以论证罢了。 门格尔效用的绝对值不能测量。 帕累托8/20/20229对于构造需求函数而言，核心问题是消费品之间的选择，因此可以通过观察人们的主观偏好特征来排列商品的效用等级。而基数效

3、用的特征便于加总、求和对此那么完全是多余的。序数效用就可以胜任。8/20/202210序数效用序数：第一、第二、第三只表示顺序、等级，本身的数字量是没有任何意义的。8/20/202211消费者对各种可行消费方案可以排出个好坏次序，第一好、第二好、第三好即不管他能否说出满足程度到底有多少，但总可以说出“这种消费比那种消费更好一些，或较差一些，或没有什么差异。消费者对消费方案作出的这种评价和比较，就是消费者偏好。当然，这种评价不具有基数效用那样的绝对意义。德布鲁Debreu，1954证明，仅仅依赖偏好关系，就可以很好地定义效用概念，并且推导出了新古典的消费需求理论。8/20/202212从此，效用

4、不再是消费问题的原点，而成为描述偏好、乃至于消费者选择行为的一种方法。现代经济学主要以序数效用论作为需求理论的根底。“既然基数效用并不是描述选择行为所必需的，而且也没有任何令人信服的方法来指派基数效用，所以我们将完全坚持序数效用的分析框架 范里安，第45页。消费者的偏好那么构成消费者选择行为的出发点，效用成了描述消费者偏好的一种方法。8/20/202213效用函数Utility Functions一个效用函数对于每一组可能的消费束赋予一个数字，使得更受偏好的消费束得到更大的数字。效用函数的存在性：如果消费者偏好具有完备性、反身性、传递性、连续性和强单调性，那么存在一个能代表该偏好的连续效用函数

5、。1983年的经济学诺奖获得者吉拉德.德布鲁Gerard Debreu 1954)证明了这一点。具体证明方法参见任何一本高级微观经济学教科书。8/20/202214效用函数Utility Functions一个效用函数U(x) 代表一种偏好关系 x x U(x) U(x) x x U(x) U(4,1) = U(2,2) = 4;即 (2,3) (4,1) (2,2)。8/20/202218U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).定义 V = U2那么V(x1,x2) = x12x22 并且 V(2,3) = 36 V(4,1) = V(2,2) = 16因此，同样

6、有(2,3) (4,1) (2,2).V 和 U代表同一种排列顺序，因此，代表同一种偏好关系。pp8/20/202219U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).定义 W = 2U + 10.那么 W(x1,x2) = 2x1x2+10 那么 W(2,3) = 22 W(4,1) = W(2,2) = 18。 再次,(2,3) (4,1) (2,2)。W 和 U， V 代表同一种排序，从而代表同一种偏好关系。pp8/20/202220效用函数的单调变换如果 是一个代表某一偏好的效用函数，且 是一个递增的函数，那么 代表了同样的偏好关系。 因为： 当且仅当 根据效用函数

7、的定义， 也是代表了该偏好的效用函数。 8/20/202221因此，任何效用函数的正单调变换后的函数是代表原偏好关系的一个效用函数。8/20/202222单调变化的例子：对原效用函数乘以一个正数，对原效用函数加上任意数，对原效用函数取奇次幂等。8/20/202223判断单调变换的方法1判断单调变换的方法1 适用于效用函数是一元函数时，判断单调变换 教材43页： 求导，如果导数大于零，那么是单调变换，否那么不是。 例题：课后作业第2题 教材55页 8/20/2022248/20/202225从效用函数到无差异曲线从几何学上讲，效用函数是给无差异曲线标记数字的方法，较高效用的无差异曲线得到较大的数

8、字。因此，从效用函数到无差异曲线很简单，只需画出效用函数的等值曲线就可以了！ K=3K=28/20/202226从无差异曲线得出效用函数从无差异曲线得出效用函数较困难，但我们可以考虑几种常见的例子:8/20/202227效用函数的例子完全替代 u(x1,x2) = ax1 + bx2.完全互补u(x1,x2) = minax1,bx2拟线性函数u(x1,x2) = v(x1) + x2柯布道格拉斯Cobb-Douglas，C-D)函数 u(x1,x2) = x1c x2d 8/20/202228完全替代Perfect Substitution 55991313x1x2x1 + x2 = 5x1

9、 + x2 = 9x1 + x2 = 13全部是线性的平行线重要的是商品的总数量，因此 u(x1,x2) = x1 + x28/20/202229完全替代Perfect Substitution 8/20/202230问题写出以下消费者的效用函数，并画出无差异曲线。1、王刚愿意用商品x1来代替商品x2 ，但是为了补偿所放弃的1单位商品x1 ，要求获得2单位的商品x2.8/20/202231问题1x2x121Slope=dx2/dx1 =-2效用函数为：ux1,x2 = 2x1+ x28/20/202232问题2、李楠既喜欢喝汽水x1 ，又喜欢吃冰棍x2 ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。

10、8/20/202233问题2x2x123Slope=dx2/dx1 =-2/3所以，效用函数为：ux1,x2 = 2/3x1+ x2或： ux1,x2 = 2x1+ 3x28/20/202234完全互补perfect complementarityx2x145ominx1,x2 = 8358358minx1,x2 = 5minx1,x2 = 3全部是L型的，其顶点在从原点出发的一条射线上重要的是最少的那一种商品决定了你的效用！因此u(x1,x2) = minx1,x28/20/202235完全互补perfect complementarity8/20/202236完全互补perfect com

11、plementarityx2糖x1茶45ominx1,1/2x2 = 2122minx1,1/2x2 = 141，22，4X1=1/2x28/20/202237问题张强每喝2杯水x就要吃3根冰棍y。写出他的效用函数并画出无差异曲线。8/20/202238 x:y=2:3 3x=2yxy3x=2ymin3x, 2y2，33x=2y8/20/202239拟线性quasi-linear效用函数形式为 u(x1,x2) = v(x1) + x2的效用函数仅仅对于 x2 是线性的，对于x1却是非线性的，因此，称为拟线性效用函数。例如： u(x1,x2) = 2x11/2 + x2。8/20/202240

12、拟线性偏好的无差异曲线x2x1每一条曲线是对其他曲线的垂直平移。v(x1) + x2=k1v(x1) + x2=k2v(x1) + x2=k38/20/202241C-D偏好的效用函数任何形式为 U(x1,x2) = x1c x2d，c 0 且 d 0 的效用函数被称为柯布道格拉斯效用函数Cobb-Douglas utility function 。 例如 U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (c = d = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (c = 1, d = 3)8/20/202242柯布道格拉斯无差异曲线x2x18/20/202243当然，柯布-道格拉斯效用函数

13、的单调变换也表示同一个偏好。常见的两个例子： 1 v(x1,x2) = lnx1c x2d =clnx1+dlnx2 2 v(x1,x2) = x1a x21-a8/20/202244总结完全替代 u(x1,x2) = ax1 + bx2完全互补u(x1,x2) = minax1,bx2拟线性函数u(x1,x2) = v(x1) + x2柯布道格拉斯Cobb-Douglas，C-D)函数 u(x1,x2) = x1c x2d 请记住这些根本效用函数，如果某些效用函数经过单调变换，可以得到类似的效用函数，就表示一样的偏好。例子：课后作业第4-6题8/20/2022455、CES效用函数8/20/

14、202246边际效用Marginal Utilities边际量是 “增量 incremental 。商品 i 的边际效用指当其消费数量改变，所引发的总效用量改变量和消费数量改变量的比例；即： 8/20/202247边际效用Marginal Utilities如果效用函数为 U(x1,x2) = x11/2 x22， 那么8/20/202248例如，效用函数 Ux1,x2= x1+x2， Ux1,x2= 2x1+2x2。代表同样的偏好。但计算出的边际效用不同。Ux1,x2= x1+x2 MU1=1Ux1,x2= 2x1+2x2 MU1=28/20/202249边际效用和边际替代率 Margina

15、l Utilities and Marginal Rates-of-Substitution无差异曲线的一般公式化为 U(x1,x2) k, k是常数。全微分得：8/20/202250边际效用和边际替代率所以，这就是边际替代率MRS。8/20/202251边际效用和边际替代率：举例假定 U(x1,x2) = x1x2。那么所以8/20/202252边际效用和边际替代率：举例 MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1.x1x28616U = 8U = 36U(x1,x2) = x1x2;8/20/202253拟线性效用函数的边际替代率拟线性效用函数的

16、形式为 U(x1,x2) = f(x1) + x2。所以8/20/202254拟线性效用函数的边际替代率x2x1MRS = - f (x1) 和 x2无关。对于同一个x1，任何一条无差异曲线上的MRS 都一样。MRS = -f(x1)x1x1MRS =- f(x1)8/20/202255单调变换和边际替代率 对一个效用函数进展单调变换所产生的新效用函数和原效用函数代表同一种偏好关系。当对效用函数进展单调变换之后，边际替代率发生了怎样的变化?8/20/202256单调变换和边际替代率对于效用函数 U(x1,x2) = x1x2 ，边际替代率为 MRS = - x2/x1.对它进展单调变换： V = U2; 即： V(x1,x2) = x12x22。效用函数V的边际替代率是多少?效用函数V和 U的边际替代率是一样的！8/20/202257