中考数学-以等腰或直角三角形为背景的计算与证明

1、以等腰或直角三角形为背景的计算与证明类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明【教材原型】把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形你能办到吗？请画示意图说明剪法(浙教版八上P64作业题第6题)解：如答图，作ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BEBD，连结ED，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的三个三角形都是等腰三角形教材原型答图【思想方法】等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边的计算【中考变形】1如图Z101，ABC中，ABAC，DE垂

2、直平分AB，BEAC，AFBC，则EFC_.【解析】DE垂直平分AB，AEBE.BEAC，ABE是等腰直角三角形，BACABE45.又ABAC，45图Z101CBEABCABE67.54522.5.ABAC，AFBC，BFCF，BFEF，BEFCBE22.5，EFCBEFCBE22.522.545.2河北如图Z102，BOC9，点A在OB上，且OA1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；图Z102这样画下去，直到

3、得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n_.【解析】由题意可知，AOA1A，A1AA2A1，则AOA1OA1A，A1AA2A1A2A，BOC9，A1AB18，A2A1C27，A3A2B36，A4A3C45，9n90，解得n10，故答案为9.9【中考预测】已知：如图Z103，ABC中，ABAC，A100，BD是ABC的平分线，点E是BC上一点，且BDBE.求DEC的度数图Z103BEBD，DEC180DEB18080100.故DEC的度数是100.类型之二以直角三角形为背景的计算与证明【教材原型】已知：如图Z104，在ABC中，ADBC于点D，E为AC上一点，且BFAC，DFDC.求

4、证：BEAC.(浙教版八上P82作业题第5题)证明：ADBC，ADCBDF90，又BFAC，DFDC，RtBDFRtADC(HL)，DBFDAC，图Z104BFDAFE(对顶角相等)，AEFBDF90，即BEAC.【思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用【中考变形】1金华如图Z105，将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90，得到ABC，连结AA，若120，则B的度数是 ( )A70 B65 C60 D55【解析】RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90得到ABC，ACAC，ACA是等腰直角三角形，CAA45，ABC1CAA204565，由旋转的性质，

5、得BABC65.B图Z1052如图Z106，ADBC于点D，D为BC的中点，连结AB，ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若AOC125，则ABC_.【解析】ADBC，AOC125，CAOCADC1259035.D为BC的中点，ADBC，OBOC，OBCC35.OB平分ABC，ABC2OBC23570.图Z106703黄冈模拟已知：如图Z107，在ABC，ADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE，点C，D，E三点在同一直线上，连结BD.求证：(1)BADCAE；(2)试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明解：(1)证明：BACDAE90，BACCADDAECAD，即BADCAE，又A

6、BAC，ADAE，BADCAE(SAS)；图Z107(2)BD，CE特殊的位置关系为BDCE.证明如下：由(1)知BADCAE，ADBE.DAE90，EADE90，ADBADE90，即BDE90.BD，CE特殊的位置关系为BDCE.4如图Z108，在ABC中，ABCB，ABC90，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BEBD，连结AE，DE，DC.(1)求证：ABECBD；(2)若CAE30，求BDC的度数解：(1)证明：ABC90，DBE180ABC1809090，ABECBD.ABECBD；图Z108(2)ABCB，ABC90，ABC是等腰直角三角形，ECA45.CAE30，BEAEC

7、AEAC，BEA453075.由(1)知BDCBEA，BDC75.5菏泽如图Z109，已知ABC90，D是直线AB上的点，ADBC.(1)如图，过点A作AFAB，并截取AFBD，连结DC，DF，CF，判断CDF的形状并证明；(2)如图，E是直线BC上一点，且CEBD，直线AE，CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由图Z109解：(1)CDF是等腰直角三角形，理由如下：AFAB，ABC90，FADDBC，FADDBC(SAS)，FDDC，又DCBBDC90，FDADCB，BDCFDA90，FDC90.CDF是等腰直角三角形；(2)APD的度数是固定

8、值，理由如下：作AFAB于A，使AFBD，连结DF，CF，如答图，AFAD，ABC90，FADDBC，在FAD与DBC中，FADDBC(SAS)，中考变形5答图FDDC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDADCB，BDCDCB90，BDCFDA90，CDF是等腰直角三角形，FCD45，AFCE，且AFBD，BDCE，四边形AFCE是平行四边形，AECF，APDFCD45.6重庆如图Z1010在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D.CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且ACFCBG.求证：(1)AFCG；(2)CF2DE.

9、图Z1010证明：(1)ACB90，CG平分ACB，ACBC.BCGCAB45，又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA)，AFCG；(2)延长CG交AB于点H.ACBC，CG平分ACB，CHAB，H为AB中点，又ADAB，CHAD，G为BD中点，DEGC，E为AC中点，AEEC，中考变形6答图又AEDCEG，AEDCEG，DEEG，DG2DE，BGDG2DE，由(1)得CFBG，CF2DE.【中考预测】一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图Z1011，已知在RtABC中，ABBC，ABC90，BOAC于点O.点P，D分别在AO和BC上，PBPD，DEAC于点E.求证：BPOPDE.图Z1011(1)理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；(2)特殊位置，证明结论：若BP平分ABO，其余条件不，求证：APCD；(3)知识迁移，探索新知：若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系(不必写解答过程)