专题02 二次函数中三角形与四边形面积最值问题-2018中考数学二次函数压轴试题分类精析

1、专题2二次函数中三角形与四边形面积最值问题一、解决此类题目的基本步骤与思路抓住目标三角形，根据动点设点坐标根据所设未知数去表示三角形的底和高一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式根据二次函数性质求出最大值.注意事项：1简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。二、二次函数问题中三角形面积最值问题(一)例题演示1.如图，已知抛物线y二a(x+2)(x-4)(a为常数，且a0)与x轴从左至右依次交于A

2、,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y一应x+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为-5.3求抛物线的函数表达式；P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求APBD面积的最大值.【解析】：本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数的面积最值问题。根据二次函数交点式得出A,B点坐标，从而求出一次函数解析式，根据已知的D点横坐标求出纵坐标从而求出抛物线解析式。用三角形的面积公式建立函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得最大值。解答：抛物线y二a(x+2)(x4)令y=0,解得x=-2或x=4，A(2,0),B(4,0).直线y=弓x+b经过点B（4,。），卑x4+b=0，解得3

3、直线BD解析式为：y=x+当x=5时，y=3，.:D(5,33)点D(5,3)在抛物线y二a(x+2)(x4)上,a(-5+2)(-54)=3a=空9TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 33抛物线的函数表达式为：y=-(x+2)(x4)=3x2x HYPERLINK l bookmark14 999932383 HYPERLINK l bookmark18 (2)设P(m,m2m)999SBPD侧),1)BPD面积的最大值为f试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左经过点A的直线1：y=

4、kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线1的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.2)点E为直线1下方抛物线上一点，当DE的面积的最大值为25时，求抛物线的函数表达式;【解析】U)先对二次函数解析式进行处理提取无求出与X轴交点坐标，做DF丄X轴与F,根据平行线分线段成比例可求出D点坐标，再利用待定系数法求出直线解析式先设E(x；ax22ax3a)可知HE=(ax-a)(ax22ax3d)=ax1+3zzx+4i?根据直线和抛物线解析式求出D点横坐标，由SA=SA.EH-SAEH由列出函数解析式:根据最值确定a的值即可；再求

5、得点P的纵坐标为彳m2-彳可得线段PF的长；解答：1)A(1,0).CD=4AC,点D的横坐标为4yD=5aD(4,5a).直线l的函数表达式为y=ax+a(2)过点E作EHy轴，交直线l于点H设E(x,ax22ax3a),则H(x,ax+a).HE=(ax+a)-(ax2-2ax-3a)=-ax2+3ax+4aTOC o 1-5 h z553125 HYPERLINK l bookmark38 S=S+S=(-ax2+3ax+4a)=-a(x-)2+a.ADEAEHDEH HYPERLINK l bookmark40 125125252/.ADE的面积的最大值为a，:a=，解得a=.45/抛

6、物线的函数表达式为y=5x2-5x5.中考链接】3.如图，直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4(aV0)经过点B.求该抛物线的函数表达式；已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；【解析】(1)利用直线1的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；(2)过点M作ME丄y轴于点E,交AB于点D,所以ABM的面积为*DMOB,设M的坐标为(m,-m2+2m+3),用含m的式子表示DM,然后求出S与m的函数关系式，即可求出

7、S的最大值，其中m的取值范围是0VmV3；解答：(1)令x=0代入y=-3x+3,y=3,B(0,3),把B(0,3)代入y=ax2-2ax+a+4,3=a+4,a=-1，二次函数解析式为：y=-x2+2x+3；(2)令y=0代入y=-x2+2x+3，.0=-x2+2x+3，.x=-1或3，抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3,/M在抛物线上，且在第一象限内，0VmV3,过点M作ME丄y轴于点E,交AB于点D,由题意知：M的坐标为(m-m2+2m+3)D的纵坐标为：-m2+2m+3把y=-m2+2m+3代入y=-3x+3D的坐标为(-m2+2m+3)DM=m-*DMBE+*DMOE=*DM(BE

8、+OE)DMOB=*x_；+5叭3=25T0VmV3,当m=|时，S有最大值，最大值为四边形面积最值问题的处理方法核心步骤：对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究，然后用求三角形面积最值问题的方法来求解例题演示14.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c经过VABC的三个顶点，其中点A(O,1),点B(9,10),AC/x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;11【解析】：(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)设点P(m,3m2+2m+1)，表示出PE=m2-3m,再用S四边形AECP=SAAEC+SAAPC=ACXPE，建立函数关系式，求出最大值即可解答：(1)T点A(0，1).B(-9，10)在抛物线上，.代入解析式求出b=2，c=1，抛物线的解析式为yx2+2x+1(2)TACx轴，A(0,1).=Wx2+2x+1=l,.x=6,x=0,.点C的坐标(-6,1),12点A(0,1).B(-9,10),直线AB的解析式为y=-x+1,设点P(m,“m2+2m+1).E(m,-m+1)11PE二-m+1-(彳m2+2m+1)=-m2-3